Herzlich willkommen zu diesem Video.
Es geht heute um die negative Binomialverteilung, die auch nach Blaise
Pascal, die Pascalverteilung genannt wird.
Diese Verteilung ist eine wichtige, diskrete Verteilung und sie spielt
unter anderem eine Rolle bei der Modellierung von Schadenverteilungen
im Versicherungswesen.
Ich möchte diese Verteilung einführen, sehr einfach anhand einer
Bernoulli -Kette.
Die Situation ist folgende.
Wir beobachten eine Bernoulli-Kette mit Trefferwahrscheinlichkeit p,
wobei p größer 0 und kleiner 1 ist.
Wir haben also die Situation von unabhängigen Versuchen mit zwei
möglichen Ausgängen, Treffer und Niete wollen wir die nennen.
Der Treffer hat die Wahrscheinlichkeit p, die Niete die
Wahrscheinlichkeit 1-b.
Im Folgenden sei r eine feste, nicht negative ganze Zahl und wir
fragen uns, welche Verteilung besitzt die Anzahl, die wollen wir mit x
bezeichnen, Groß x, der Nieten vor dem ersten Treffer.
Der wichtigste Spezialfall hier, das ist der, dass wir die Anzahl der
Nieten vor dem ersten Treffer zählen.
In dem Fall entsteht die geometrische Verteilung und dazu gibt es ein
eigenes Video.
Interessant ist also hier der Fall r größer gleich 2.
Nun, was bedeutet, dass x den Wert k annimmt?
Das ist genau dann der Fall, wenn wir k Nieten vor dem Erdentreffer
haben.
Ich möchte das mal so darstellen, diese Sternchen sind Plätze für
Nullen und Einsen.
Ganz am Ende steht eine 1, das soll der Erdtreffer sein.
Vor diesem Erdentreffer sind also r-1 Treffer und steht ja da x gleich
k, k Nieten.
Das heißt, von diesen Sternchen gibt es insgesamt k Nullen und r-1
Einsen.
Und wie groß ist denn die Wahrscheinlichkeit für eine ganz konkrete
Folge aus k Nullen, r-1 Einsen und einer 1 am Ende?
Die dürfen wir nicht vergessen.
Die Wahrscheinlichkeit ist, für jede Null ist sie 1-p und für jede 1
ist sie p.
Das heißt, wir haben hier 1-p in Klammern hoch k mal p hoch r-1 und
dann noch mal p für die letzte 1.
Das ist die Wahrscheinlichkeit für eine konkrete Folge aus k Nullen
und r-1 Einsen und einer 1 am Ende.
Und wir müssen uns jetzt noch überlegen, wie viele Möglichkeiten gibt
es denn aus diesen insgesamt k plus r minus 1 Sternen diesen Plätzen k
Nullen auszuwählen.
Und die anderen Plätze werden dann mit Einsen besetzt und die Anzahl
dieser Auswahlen von k Nullen aus diesen k plus r minus 1 Plätzen ist
der Binomialkoeffizient k plus r minus 1 über k.
Und schon haben wir die negative Binomialverteilung hergeleitet.
Ich möchte jetzt eine formale Definition geben und gleich zwei
Eigenschaften dieser Verteilung vorstellen.
Man sagt, eine Zufallsvariable x besitze eine negative
Binomialverteilung mit Parametern r und p.
Dabei ist r eine natürliche Zahl und p größer 0 und kleiner 1.
Wir schreiben dafür kurz x Schlange nb für negative
Binomialverteilung.
Jetzt kommen die beiden Parameter r und p, falls gilt.
Die Wahrscheinlichkeit, dass x den Wert k annimmt, ist dieser
Binomialkoeffizient k plus r minus 1 über k mal p hoch r mal 1 minus p
hoch k.
Und das soll gelten für jede nicht negative ganze Zahl.
Die beiden Eigenschaften der negativen Binomialverteilung, die ich
auch herleiten möchte, sind folgende.
Falls wir also solche eine negative Binomialverteilung vorliegen
haben, dann gelten Teil a, der Erwartungswert von x ist r mal 1 minus
p durch p und b, die Varianz von x ist r mal 1 minus p dividiert durch
p Quadrat.
Insbesondere erkennt man, diese Varianz ist größer als der
Erwartungswert.
Bevor diese Herleitung erfolgt, die wird abfallen am Ende aufgrund von
Überlegungen, die wir vorher anstellen.
Wir müssen hier gar nicht groß rechnen, das wird sich zeigen.
Ich möchte zunächst sagen, warum heißt denn diese Verteilung überhaupt
negative Binomialverteilung?
Die Überlegung ist folgende.
Ich schreibe mal dieses k plus r minus 1 über k, diesen
Binomialkoeffizienten, aus mit Hilfe von Fakultäten.
Zunächst hat man k plus r minus 1 Fakultät, dafür schreibe ich r plus
k minus 1 Fakultät, ich drehe also nur k und r um bei der Summe.
Dann muss ich durch k Fakultät teilen und dann habe ich noch k plus r
minus 1 minus k Fakultät, also r minus 1 Fakultät.
Da schreiben wir jetzt so 1 durch k Fakultät und jetzt sieht man im
Zähler bei diesem r plus k minus 1 Fakultät, das ist das Produkt der
Zahlen von 1 bis r plus k minus 1.
Da steckt das Produkt der Zahlen von 1 bis r minus 1 drin, was im
Nenner steht und da können wir eine ganze Menge wegkürzen.
Was übrig bleibt ist im Zähler das r, dann r plus 1, ich habe diese
aufsteigenden Faktoren r plus 2 und so weiter bis r plus k minus 2 und
dann noch r plus k minus 1.
Da schreibe ich jetzt wie folgt, man sieht hier ein minus 1 hoch k
durch k Fakultät, das k Fakultät erkennt man, ich kann das mit der
Multiplikation minus 1 hoch k korrigieren, indem ich noch einmal mit
minus 1 hoch k multipliziere und man sieht, was rechts drüber steht,
dies r mal r plus 1 und so weiter bis r plus k minus 1, das sind k
Faktoren.
Ich multipliziere jetzt jeden dieser k Faktoren mit minus 1, also r
wird mit minus 1 multipliziert, minus r, dann r plus 1, das ergibt
minus r minus 1 und so weiter.
Der vorletzte Faktor mit minus 1 multipliziert ist minus r minus in
Klammern k minus 2 und der letzte Faktor minus r minus k minus 1.
Wenn ich jetzt gedanklich mal für das minus r x setze, dann steht hier
x mal x minus 1 und so weiter und so weiter und am Ende x minus k
minus 1.
Also beginnend bei x gibt es k absteigende Faktoren und wenn man das
durch k Fakultät teilt, dann ist das die Definition des allgemeinen
Binomialkoeffizienten x über k für jede beliebige reelle Zahl x.
Also ist das hier minus 1 hoch k mal minus r über k.
Man sieht also ein Binomialkoeffizienten mit einem negativen oberen
Teil minus r und aus diesem Grunde heißt die Verteilung negative
Binomialverteilung.
Ich möchte kurz Stabdiagramme dieser Verteilung zeigen.
Zum einen hier p gleich 0,8 und r gleich 2.
Wir zählen also die Nieten vor dem zweiten Treffer und die
Trefferwahrscheinlichkeit ist 0,8.
Man sieht insbesondere die Wahrscheinlichkeit für x gleich 0, das
bedeutet ja gleich zwei Treffer, keine Niete.
Die Trefferwahrscheinlichkeit ist 0,8.
Zwei Treffer heißt 0,8 mal 0,8 ist 0,64.
Rechts davon sieht man jetzt das Stabdiagramm.
In dem Fall ist r gleich 2 und p ist 0,5.
Man erkennt hier die Wahrscheinlichkeit für keine Niete vor dem
zweiten Treffer und eine Niete vor dem zweiten Treffer sind gleich,
ist jeweils ein Viertel.
Dann gehen wir wieder zu p gleich 0,8 über.
In dem Fall ist jetzt r gleich 3.
Wir zählen jetzt die Zahl der Nieten vor dem dritten Treffer.
Dann ergibt sich dieses Stabdiagramm.
Und nochmal r gleich 3, Zahl der Nieten vor dem dritten Treffer.
Hier ist p gleich 0,5.
Das sind einige Beispiele von Stabdiagrammen von negativen
Binomialverteilungen.
Und ich möchte jetzt einige Dinge mathematisch herleiten.
Wir machen jetzt einen kleinen Ausflug in die Analysis.
Zunächst mal ein Memo.
Wir haben diese Darstellung des Binomialkoeffizienten k plus r minus 1
über k.
Und noch ein weiteres Memo.
Wir benötigen die Binomialreihe, zu der es ein eigenes Video gibt,
nämlich 1 plus x hoch Alpha.
Alpha ist eine beliebig reelle Zahl.
x ist der Betrag nach kleiner 1.
Das ist diese Potenzreihe, Summe k von 0 bis unendlich.
Alpha über k mal x hoch k.
Das ist die berühmte Binomialreihe.
Wir können hiermit sehr schnell nachweisen, dass die Summe der
Wahrscheinlichkeiten, dass x den Wert k annimmt, über alle k von 0 bis
unendlich gleich 1 ist.
Nämlich diese Summe ist gleich.
Wir setzen jetzt ein, was wir wissen über die Verteilung.
k plus r minus 1 über k mal p hoch r mal 1 minus p hoch k.
Und jetzt schreibe ich diesen Binomialkoeffizienten nur um, wie im
Memo.
Das bedeutet, es ist diese Summe k von 0 bis unendlich.
Und jetzt minus 1 hoch k mal minus r über k.
Den Rest lasse ich.
p hoch r mal 1 minus p hoch k.
Jetzt erkennt man, p hoch r, das hängt nicht von k ab, das kann ich
vor die Summe ziehen.
Dann habe ich die Summe k von 0 bis unendlich.
Ich schreibe jetzt minus r über k zunächst mal.
Und man sieht, dieses minus 1 hoch k kann ich zusammenfassen mit 1
minus p hoch k, weil es der gleiche Exponent ist, zu minus in Klammern
1 minus p in Klammern hoch k.
Und wenn man jetzt in das zweite Memo sieht, mit der Potenzreihe,
alpha über k, das alpha ist minus r und das x ist dieses minus in
Klammern 1 minus p.
Das bedeutet, das ist p hoch r mal, jetzt kommt das zweite Memo, 1
plus und jetzt minus 1 minus p in Klammern.
Das Ganze hoch minus r, alpha ist minus r.
Man erkennt, was da vorne steht, in der Klammer 1 plus minus 1 hebt
sich weg.
Und dann minus minus p ist p, also steht da p hoch r mal p hoch minus
r und das ist 1.
Das heißt, wir haben sehr schnell mithilfe der Binomialreihe
nachgewiesen, dass die Summe der Wahrscheinlichkeiten gleich 1 ist.
Wir benötigen für ein wichtiges Gesetz im Zusammenhang mit dieser
Verteilung noch ein wenig Analysis.
Ich möchte das auf die nächste Folie nehmen.
Nochmal als Memo diese Binomialreihe, Summe alpha über k mal x hoch k.
Wenn wir jetzt alpha gleich minus r setzen, dann entsteht 1 plus x
hoch minus r als diese Summe.
Wir machen das gleiche mit alpha gleich minus s, wobei r und s jetzt
natürliche Zahlen sind.
Dann entsteht 1 plus x hoch minus s und ich nehme jetzt einen anderen
Summationsindex, n von 0 bis und endlich minus s über n mal x hoch n.
Wir machen das gleiche noch einmal mit alpha gleich minus r minus s,
also minus in Klammern r plus s.
Ich nehme noch einen weiteren Summationsindex, sagen wir jetzt k, k
von 0 bis und endlich, minus in Klammern r plus s über k mal x hoch k.
Auf der anderen Seite, x ist jetzt immer betragsmäßig kleiner 1, ist
natürlich 1 plus x hoch minus r plus s in Klammern gleich 1 plus x
hoch minus r mal 1 plus x hoch minus s.
Und wenn wir die beiden Potenzreihen in der zweiten Seite einsetzen,
dann entsteht eine Doppelsumme.
Jetzt laufen m und n von 0 bis und endlich und entsteht da minus r
über m mal minus s über n mal x hoch m plus n.
Und jetzt machen wir das, was man in der Analyse die Cauchy
-Produktbildung nennt.
Wir sortieren nach gleichen Potenzen von m plus n, die nennen wir k,
dann läuft k von 0 bis und endlich.
Und jetzt haben wir eine endliche Summe j von 0 bis k minus r über j
mal minus s über k minus j und dann mal x hoch k.
Das lernt man in der Analyse 1, das ist die Cauchy-Produktbildung.
Und wenn man jetzt einen Koeffizientenvergleich durchführt mit der
dritten Zeile, dann ergibt sich die wichtige Formel minus r plus s
Klammern über k ist die Summe j von 0 bis k minus r über j mal minus s
über k minus j.
Und die benötigen wir im Folgenden.
Wir möchten jetzt wieder etwas Stochastik betreiben.
Und zwar wissen wir, es gilt diese negative Binomialverteilung mit 1
und p, wenn wir auf den ersten Treffer warten und die Nieten davor
zählen.
Das ist die geometrische Verteilung mit Parameter p.
Und stellt sich die Frage, besteht ein Zusammenhang zwischen dieser
negativen Binomialverteilung und der geometrischen Verteilung, wenn r
größer gleich 2 ist?
Und der Zusammenhang ist offensichtlich.
Ich habe mal hier den Anfang einer Bernoulli-Kette notiert.
Man sieht, die Treffer sind blau und die Nieten sind rot.
Und zwar habe ich das gemacht bis zum fünften Treffer.
Man erkennt, vor dem ersten Treffer gibt es zwei Nieten.
Dann gibt es zwischen dem ersten und dem zweiten Treffer Nieten.
Das sind vier Stück.
Dann nochmal zwei Nieten zwischen dem zweiten und dem dritten Treffer.
Dann fünf Nieten zwischen dem dritten und dem vierten Treffer.
Und dann sieben Nieten zwischen dem vierten und dem fünften Treffer.
Ich bezeichne mit x1 die Anzahl der Nieten vor dem ersten Treffer.
Gedanklich jetzt, als Zufallsvariable.
Mit x2 die Anzahl der Nieten zwischen dem ersten und dem zweiten
Treffer.
Unter Umständen nimmt x2 den Wert 0 an.
In diesem Fall haben wir jetzt 4 beobachtet.
Dann die Anzahl der Nieten zwischen dem zweiten und dem dritten
Treffer mit x3.
Zwischen dem dritten und dem vierten Treffer mit x4.
Zwischen dem vierten und dem fünften Treffer mit x5 und so weiter.
Die Vermutung könnte folgendes sein.
Wir wissen, so eine Bernoulli-Kette hat kein Gedächtnis.
Wenn wir die Zahl der Nieten vor dem ernten Treffer zählen, dann setzt
sie sich ja additiv zusammen aus den Nieten vor dem ersten Treffer,
zwischen dem ersten und dem zweiten Treffer und so weiter und dann der
Zahl der Nieten zwischen dem r-ersten und dem ernten Treffer.
Die Vermutung ist also, wenn x negativ binomial verteilt ist mit
Parametern r und p, so sollte x die gleiche Verteilung haben wie diese
Summe x1++ und so weiter plus xr und dabei sind x1 bis xr stochastisch
unabhängig und jeweils geometrisch verteilt.
Wir formulieren das mal als Struktur- und Additionsgesetz für diese
negative Binomialverteilung.
Teil a.
Wenn x1 bis xr stochastisch unabhängig sind und jeweils geometrisch
verteilt sind mit Parameter p, so gilt die Summe der xj, j von 1 bis
r, hat eine negative Binomialverteilung mit Parametern r und p.
Und Teil b.
Wenn x und y stochastisch unabhängig sind und x eine negative
Binomialverteilung hat mit Parametern r und p und y eine negative
Binomialverteilung mit Parametern s und p, dann hat die Summe x plus y
eine negative Binomialverteilung mit Parametern r plus s und p.
Man sieht sehr schnell, dass b allgemeiner ist als a aus b folgt a
durch vollständige Induktion über r.
Wir schreiben jetzt nochmal auf, was wir zeigen müssen als Memo, zu
zeigen, wenn x und y stochastisch unabhängig sind, x hat diese
negative Binomialverteilung mit Parametern r und p und y die mit s und
p, dann besitzt die Summe x plus y die negative Binomialverteilung mit
r plus s und p.
Wir nehmen als zweites Memo auf, was wir jetzt benötigen, nämlich
einmal aus der Cauchy-Produktbildung minus r plus s in Klammern über k
ist diese Summe und der Binomialkoeffizient k plus r minus 1 über k
lässt sich schreiben als minus 1 hoch k mal minus r über k.
Zu zeigen ist jetzt folgendes, die Wahrscheinlichkeit, dass x plus y
den Wert k annimmt für jede feste, nicht negative ganze Zahl ist jetzt
minus 1 hoch k mal minus r plus s über k mal p hoch r plus s mal 1
minus p hoch k.
Denn das ist die Darstellung einer negativen Binomialverteilung mit
Parametern r plus s und p.
Nun, wir können mir das zeigen, die Wahrscheinlichkeit, dass x plus y
gleich k ist und jetzt kommt etwas, was man diskrete Faltungsformel
nennt.
Nun, das kann nur sein, x plus y gleich k, wenn x irgendeinen Wert j
annimmt zwischen 0 und k und y dann den Wert k minus j.
Das ergibt diese Summendarstellung, Summe j von 0 bis k,
Wahrscheinlichkeit, dass x den Wert j annimmt mal die
Wahrscheinlichkeit, dass y den Wert k minus j annimmt, wegen der
stochastischen Unabhängigkeit von x und y.
Das ist diese Faltungsformel.
Und jetzt setzen wir nur ein.
Summe j von 0 bis k und die Wahrscheinlichkeit, dass x gleich j ist,
ist mal minus r über j, mal p hoch r, mal 1 minus p hoch j und dass y
den Wert k minus j annimmt, ist minus 1 hoch k minus j mal minus s
über k minus j, mal p hoch s, mal 1 minus p hoch k minus j.
Hier sieht man, ich kann sehr viel, was gar nicht von j abhängt, vor
die Summe ziehen.
Man erkennt, hier steht ein p hoch r und hier steht ein p hoch s und
das zusammen ergibt p hoch r plus s, das kann ich vor die Summe
ziehen.
Dann sieht man hier ein 1 minus p hoch j und hier sieht man hinten ein
1 minus p hoch k minus j.
Wenn ich das miteinander multipliziere, dann erhalte ich 1 minus p in
Klammern hoch k.
Auch das kann ich vor die Summe ziehen.
Dann haben wir noch ein minus 1 hoch j hier vorne und hier ein minus 1
hoch k minus j.
Das zusammen ergibt minus 1 hoch k, auch das kann ich vor die Summe
ziehen.
Das Einzige, was noch jetzt von j abhängt, also Summe über j von 0 bis
k, ist minus r über j mal minus s über k minus j.
Schauen wir ins zweite Memo, da steht genau diese Summe und das ist
minus r plus s über k.
Und das ist genau das, was zu zeigen war.
Ich habe nur die Faktoren vertauscht.
Das bedeutet, wir halten sehr einfach so ein Additionsgesetz für die
negative Binomialverteilung.
Ich nehme das als Memo auf die andere Seite.
x1 bis xr sind stochastisch unabhängig und jeweils geometrisch
verteilt mit Parametern p.
Dann haben wir gesehen, die Summe hat eine negative Binomialverteilung
mit Parametern r und p.
Und jetzt kommt es, was ich eingangs sagte, um Erwartungswert und
Varianz zu bestimmen, muss ich jetzt gar nicht mehr die Verteilung
bemühen, sondern mit dem Additionsgesetz bekomme ich sofort, wenn x
die negative Binomialverteilung hat mit Parametern r und p, so ist der
Erwartungswert gleich r mal 1-p durch p und die Varianz ist r mal 1-p
dividiert durch p².
Die Begründung ist folgende.
Wenn wir r solche unabhängigen und je geometrisch verteilten
Zufallsvariablen haben, dann wissen wir über die geometrische
Verteilung, diese xj haben einzeln den Erwartungswert 1-p durch p und
einzeln die Varianz 1-p dividiert durch p² für jedes j von 1 bis r.
Da x aber die gleiche Verteilung hat wie diese Summe und damit auch
den gleichen Erwartungswert und die gleiche Varianz folgt, der
Erwartungswert von x ist der Erwartungswert dieser Summe.
Und der Erwartungswert hat die schöne Eigenschaft additiv zu sein, ich
darf eine endliche Summenbildung und die Erwartungswertbildung
vertauschen.
Das ist also die Summe der einzelnen Erwartungswerte.
Die sind alle 1-p durch p und ich habe r Summanden.
Aus dem Grunde ist das r mal 1-p dividiert durch p.
Und bei der Varianz ist es ähnlich.
Die Varianz von x ist die Varianz dieser Summe.
Und da die Zufallsvariablen stochastisch unabhängig sind, die diese
Summe bilden, darf ich auch hier die Varianz und die Summenbildung
vertauschen.
Ich habe Summe der einzelnen Varianzen.
Die sind 1-p durch p².
Ich habe wieder r Summanden.
Also ist das r mal 1-p dividiert durch p².
Ich möchte abschließend noch auf ein kleines Problem eingehen, auf das
man mit dieser Verteilung stoßen könnte, nämlich Achtung!
In einer Bernoulli-Kette beschreibt das x, was wir hier betrachtet
haben, die Anzahl der Nieten vor dem Erdentreffer.
Hier werden also die Treffer nicht mitgezählt.
Wenn wir die Treffer mitzählen, dann entsteht eine Zufallsvariable,
die nenne ich mal y.
Man sieht jetzt x plus r.
Diese Zufallsvariable modelliert die Anzahl der Versuche bis zum
Erdentreffer und zählt die Treffer mit.
Für jedes l, was jetzt r, r plus 1, r plus 2 sein kann, also jede
nicht negative ganze Zahl größer gleich r, gilt die
Wahrscheinlichkeit, dass y den Wert l annimmt.
Nun y ist x plus r, also die Wahrscheinlichkeit, dass x plus r den
Wert l annimmt.
Und das kann ich auflösen nach der Verteilung von x.
Das ist die Wahrscheinlichkeit, dass x den Wert l minus r annimmt.
Jetzt muss ich nur in die Formel für die Verteilung von x gehen.
Und das ist jetzt l minus 1 über r minus 1 mal p hoch r mal 1 minus p
hoch l.
Zum Schluss ein Zahlenbeispiel.
Einkleidung, ein echter Würfel, wird in unabhängiger Folge geworfen.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt die dritte 6 im 16.
Wurf auf?
Und die Antwort in diesem Fall hier ist p gleich 1 Sechstel, r ist 3,
der dritte Treffer, und l ist 16.
Das heißt die Antwort ist, die Wahrscheinlichkeit, dass die dritte 6
im 16.
Wurf auftritt, ist 15 über 2, l minus 1 über r minus 1, mal 1 Sechstel
hoch 3 mal 5 Sechstel hoch 13.
Wenn man hier rechnet, erhält man den Wert 0,054 auf drei
Nachkommastellen, also etwas über 5%.