Herzlich willkommen zu diesem Video mit dem Titel Der verwirrte
Passagier.
Ich möchte dazu eine kleine Geschichte zum Besten geben.
Vor einigen Jahren war ich auf einem Workshop, als mir das Problem,
über das ich gleich erzähle, dankenswerterweise zugetragen wurde.
Zu meiner Schande muss ich gestehen, dass ich nicht sofort die
wunderbar einfache Lösung gesehen habe, aber so ist das manchmal.
Nachdem aber auch bei mir der sprichwörtliche Groschen gefallen war,
habe ich dann in der Literatur nachgesehen und dort findet man die
Fragestellung und auch Verallgemeinerungen davon unter den Stichworten
Lost Boarding Pass oder Absent-Minded Passengers.
Um was geht es?
Wir betrachten mal folgendes Gedankenexperiment.
Ein Flugzeug hat N Plätze, die von 1 bis N nummeriert sind.
Die Passagiere steigen in der Reihenfolge der Sitzplatznummern ein.
Also das Flugzeug ist voll besetzt und zunächst steigt der Passagier
mit der Nummer 1 ein, dann der mit der Nummer 2 und so weiter.
Aber das Problem ist, der erste Passagier ist verwirrt oder hat seine
Bordkarte verloren und wählt rein zufällig einen dieser N Plätze aus.
Nun jeder weitere Passagier, der jetzt einsteigt, also zunächst mal
der mit der Nummer 2, dann der mit der Nummer 3 und so weiter, er
steuert seinen Platz an.
Wenn er frei ist, setzt er sich dorthin, ansonsten sucht er sich unter
den dann noch freien Plätzen rein zufällig einen aus.
Und die Frage, die sich stellt ist, mit welcher Wahrscheinlichkeit
erhält der letzte Passagier seinen Platz?
Wir bezeichnen diese Wahrscheinlichkeit mal mit P N und mein erstes
spontanes Bauchgefühl war, diese Wahrscheinlichkeit wird immer
kleiner, je größer das Flugzeug ist.
Sie sollte mit wachsendem N gegen 0 konvergieren.
Und wenn das Flugzeug nur zwei Plätze hat gedanklich, Platz 1 und 2,
dann bekommt natürlich Passagier Nummer 2, der als zweiter und damit
letzter einsteigt, seinen Platz genau dann, wenn sich der erste, der
einsteigt, auf den Platz einsetzt und die Wahrscheinlichkeit ist ein
Halb.
Was passiert bei drei Plätzen?
Gehen wir mal ganz langsam vor.
Es gibt folgende Sitzplatzverteilung.
Die Plätze des Flugzeugs sind mit 1 bis 3 nummeriert.
Und ich trage gleich die Wahrscheinlichkeit für diese verschiedenen
Sitzplatzverteilungen ein.
Wir gehen mal durch, was der erste Einsteigende macht.
Wenn er sich auf Platz 1 setzt, das passiert mit Wahrscheinlichkeit
ein Drittel, dann ist der Rest festgelegt, denn Passagier 2 findet
seinen Platz und auch Passagier 3.
Das heißt, die einzige Stochastik ist in der Wahl des Platzes 1 von
Passagier 1 und die Wahrscheinlichkeit ist ein Drittel.
Ich habe diese Wahrscheinlichkeit rot eingefärbt, weil in diesem Fall
der letzte Passagier wirklich seinen Platz erhält.
Die zweite Möglichkeit ist, dass sich der erste Passagier auf Platz 2
setzt.
Und die Wahrscheinlichkeit ist auch ein Drittel, aber jetzt kommt
Stochastik ins Spiel, nämlich Passagier 2 findet seinen Platz besetzt
vor.
Er kann sich auf den ersten oder auf den dritten Platz setzen.
Beides hat die Wahrscheinlichkeit ein Halb.
Er setzt sich auf den ersten Platz, spielen wir diesen Fall durch,
dann erhält natürlich Passagier 3 seinen Platz.
Die Wahrscheinlichkeit ist ein Drittel mal ein Halb, also ein
Sechstel.
Und im anderen Fall, wir bleiben dabei, dass Passagier 1 sich auf
Platz 2 setzt, dann kann sich Passagier 2 auf Platz 3 setzen.
Das passiert dann auch mit Wahrscheinlichkeit ein Halb und jetzt
erhält der letzte, der einsteigt, seinen Platz nicht.
Das heißt, wir haben diese Platzverteilung und die Wahrscheinlichkeit
auch hierfür ist ein Sechstel.
Nun, die Möglichkeit, dass sich Passagier 1 auf den dritten Platz
setzt, ist hier gegeben.
Die Wahrscheinlichkeit hierfür ist auch ein Drittel.
Und jetzt findet Passagier 2 seinen Platz, das ist deterministisch,
und für Passagier 3 bleibt nur Platz 1 übrig.
Das heißt, in diesem Fall erhält er seinen Platz auch nicht.
Die Wahrscheinlichkeit für diese Konstellation ist ein Drittel.
Das war die Wahrscheinlichkeit, dass Passagier 1 sich auf Platz 3
setzt und der Rest war deterministisch, also die ist ein Drittel.
Man sieht also die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Flugzeug mit
drei Plätzen der letzte Passagier seinen Platz erhält.
Die Wahrscheinlichkeit ist P3.
Das ist Summe dieser beiden rot eingefärbten Wahrscheinlichkeiten,
also ein Drittel plus ein Sechstel und das ist ein Halb.
Das heißt, wir sehen auch bei einem Flugzeug mit drei Plätzen ist die
Wahrscheinlichkeit ein Halb.
Was passiert bei vier Plätzen?
Sehen wir uns das auch noch an.
Es gibt folgende Sitzverteilungen.
Auch hier gehen wir der Reihe nach vor, was der erste einsteigende
Passagier macht.
Setzt er sich auf seinen Platz?
Die Wahrscheinlichkeit ist jetzt ein Viertel, denn es sind vier
Plätze.
Dann ist der Rest festgelegt, jeder erhält seinen Platz.
Die Wahrscheinlichkeit für diese Konstellation ist ein Viertel.
Und wenn er sich auf Platz 2 setzt, der erste, jetzt haben wir für
Passagier 2 drei Möglichkeiten, die gleich wahrscheinlich sind.
Nämlich er findet seinen Platz besetzt vor, er kann sich auf Platz 1
setzen, die Wahrscheinlichkeit ist ein Drittel.
Das heißt, wir haben jetzt schon über die Pfadhegel das Produkt der
Wahrscheinlichkeiten, ein Drittel mal ein Viertel, das ist ein
Zwölftel.
Aber der Rest ist festgelegt.
Passagier 3 findet seinen Platz und damit auch Passagier 4.
Die Wahrscheinlichkeit für diese Sitzverteilung ist ein Zwölftel.
Nun die andere Möglichkeit, dass wir jetzt diesen Fall haben, dass
Passagier 2 sich auf Platz 3 setzt.
Bislang sind wir auch bei der Wahrscheinlichkeit ein Zwölftel, aber
jetzt haben wir für Passagier 3 zwei gleichwahrscheinliche
Möglichkeiten.
Das liefert nochmal den Faktor 1,5 einmal diese Möglichkeit.
Das heißt, die Wahrscheinlichkeit für diese Konstellation ist ein 24.
Und die andere.
Wir gehen also wieder hiervon aus und jetzt setzt sich Passagier 3 auf
Platz 4, kommt dahin und dann muss Passagier 4 auf Platz 1.
Die Wahrscheinlichkeit ist auch ein 24.
Jetzt die Möglichkeit, dass Passagier 1 sich auf Platz 2 setzt.
Und jetzt kommt Passagier 2, er setzt sich jetzt auf den letzten
Platz.
Bislang ist nach der Pfadregel die Wahrscheinlichkeit hierfür auch ein
Viertel mal ein Drittel, also ein Zwölftel.
Jetzt steigt Passagier 3 ein, er findet seinen Platz frei vor, kann
sich hinsetzen und Passagier 4 kommt auf Platz 1.
Die Wahrscheinlichkeit hierfür ist also auch ein Zwölftel.
Jetzt kommen die Fälle, in denen sich Passagier 1 auf den dritten
Platz setzt.
Passagier 2 findet seinen Platz, kann sich setzen.
Bislang ist die Wahrscheinlichkeit ein Viertel für diese
Konstellation.
Und jetzt kommt Passagier 3 und er hat zwei Möglichkeiten, die
gleichwahrscheinlich sind.
Er kann sich dort hinsetzen und dann kommt Passagier 4 auf Platz 1.
Die Wahrscheinlichkeit hierfür ist ein Viertel mal ein Halb, also ein
Achtel.
Aber auch diese Möglichkeit haben wir, dass sich jetzt Passagier 3 auf
Platz 1 setzt und dann kommt natürlich der letzte Passagier auf seinen
Platz, auf Platz 4.
Auch hierfür ist die Wahrscheinlichkeit ein Achtel.
Nun, wenn sich Passagier 1, das ist der letzte Fall, auf Platz 4
setzt, dann kann Passagier 2 einsteigen, Passagier 3 einsteigen und
Passagier 4 kommt auf den ersten Platz.
Die Wahrscheinlichkeit hierfür ist auch ein Viertel, denn die
Stochastik war nur bestimmt durch die Platzwahl von Passagier 1.
Man sieht offenbar, an diesen möglichen Fällen und weiteren gibt es
nicht, dass der letzte Passagier entweder auf seinem Platz sitzt oder
auf Platz 1.
Es ist kein anderer Platz möglich.
Und wenn wir die Wahrscheinlichkeiten hier zusammenzählen, dann haben
wir P4, das heißt jetzt die rot gekennzeichneten Wahrscheinlichkeiten.
Wenn wir die alle zusammenzählen, dann ergibt sich auch ein Halb,
interessanterweise.
So, die Frage ist, hätten wir überhaupt rechnen müssen?
Gilt Pn gleich ein Halb für jedes n größer gleich 2?
Und es wird gleich wie Schuppen von den Augen fallen, dass das gilt.
Nehmen wir an, das Flugzeug habe 20 Plätze, nummeriert von 1 bis 20.
Passagier 1 steigt ein.
Er kann sich auf seinen Platz setzen.
Dann können alle anderen Platz nehmen auf ihren Plätzen und auch der
letzte erhält natürlich seinen Platz.
Oder er kann sich auf den Platz des letzten Passagiers setzen, dann
erhält der natürlich seinen Platz nicht.
Diese beiden Fälle sind spiegelbildlich.
Wenn einer von ihnen eintritt, einer von diesen beiden, dann mit
gleicher Wahrscheinlichkeit.
Nun nehmen wir an, Passagier 1 setzt sich auf irgendeinen anderen
Platz, sagen wir Platz 12.
Was passiert jetzt?
Passagier 2 findet seinen Platz unbesetzt vor, kann sich setzen.
Passagier 3 ebenfalls.
Alle anderen Passagiere auch, die kommen bis einschließlich Passagier
11.
Jetzt kommt Passagier 12, findet seinen Platz besetzt vor.
Er kann sich auf Platz 1 setzen, dann erhält der letzte Einsteigende
seinen Platz.
Er kann sich auf dessen Platz setzen, dann erhält er ihn nicht.
Beide Fälle sind wieder spiegelbildlich.
Wenn einer von ihnen passiert, von diesen beiden, dann mit gleicher
Wahrscheinlichkeit ein Halb.
Und setzen wir Passagier 12 auf Platz 16.
Jetzt bleibt alles in der Schwebe.
Passagier 13 steigt ein, findet seinen Platz unbesetzt vor.
Passagier 14 auch, Passagier 15 auch.
Und jetzt liegt es an Passagier 16, sich zu entscheiden.
Er wählt rein zufällig einen der noch verbleibenden Plätze.
Setzt er sich auf Platz 1?
Dann erhält der letzte Passagier seinen Platz.
Setzt er sich auf dessen Platz, erhält er ihn nicht.
Diese beiden Fälle sind wieder spiegelbildlich.
Nehmen wir an, Passagier 16 setzt sich auf Platz Nummer 19.
Nun jetzt können die Passagieren mit den Nummern 17 und 18 einsteigen.
Und jetzt liegt es an Passagier Nummer 19, dem vorletzten, eine echte
Münze zu werfen und sich zu entscheiden zwischen den Plätzen 1 und 20.
Diese Entscheidung hätte natürlich schon vorher fallen können, aber
das Entscheidende ist, diese Plätze mit den Nummern 2 bis 19 stiften
letztlich nur Verwirrung.
Die Entscheidung darüber, ob der letzte Passagier seinen Platz erhält,
fällt letztlich durch den Wurf einer echten Münze.
Wem dieses Video gefallen hat, der kann ja mal darüber nachdenken, mit
welcher Wahrscheinlichkeit der vorletzte einsteigende Passagier seinen
Platz erhält.