Herzlich willkommen zu diesem Video mit dem Titel Das Maximum beim
Stabdiagramm der Binomialverteilung.
Um was geht es?
Man sieht hier die Verteilung einer binomialverteilten Zufallsgröße x
mit Parametern n und p in Form eines Stabdiagramms veranschaulicht.
Die Länge des an einer Stelle k angebrachten Stabes ist dabei die
Wahrscheinlichkeit, dass x den Wert k annimmt.
Üblicherweise findet man momentan in der Schule hierzu sogenannte
Histogramme.
Da beim Histogramm Flächen eine Rolle spielen und diskrete
Verteilungen begrifflich nichts mit Flächen zu tun haben, verwende
ich, wie auch früher in Schulbüchern üblich, das Stabdiagramm.
Im oberen Beispiel wird offenbar das Maximum im Stabdiagramm für k
gleich 14 und nur für diesen Wert angenommen.
Ich sage momentan noch nicht, welche Werte von n und p hier vorliegen,
sondern möchte zunächst aus einem aktuellen Schulbuch zitieren.
Falls n mal p, also der Erwartungswert der Binomialverteilung,
ganzzahlig ist, so hat diese Trefferanzahl die höchste
Wahrscheinlichkeit.
Andernfalls hat eine der benachtbarten Trefferanzahlen die höchste
Wahrscheinlichkeit.
Aufgrund dieser Formulierung wird nicht klar, ob im zweiten Fall beide
benachbarten Trefferanzahlen die größte Wahrscheinlichkeit besitzen
oder nur eine von beiden.
In diesem Schulbuch wird auch keinerlei Begründung für diese Aussagen
gegeben.
Die Mathematik ist aber eine kreative Wissenschaft und sie lebt von
Ideen.
Dieses Video ist unter anderem für alle Schülerinnen und Schüler
gedacht, die sich damit nicht zufrieden geben und fragen, warum ist
das so?
Sehen wir uns hierzu ein Schulbuch aus dem Jahre 1992 an.
Dort steht, falls n plus 1 mal p ganzzahlig ist, so nimmt p von x
gleich k den maximalen Wert für k gleich n plus 1 mal p minus 1 und k
gleich n plus 1 mal p an.
Andernfalls liegt das einzige Maximum bei der größten ganzen Zahl k,
die kleiner oder gleich n plus 1 mal p ist.
Zu dieser speziellen Klammer sage ich gleich noch etwas.
Diese Aussagen sehen etwas anders aus als oben und sie wurden
begründet, also bewiesen.
Wir werden gleich sehen, wie diese Begründung aussieht.
Doch zunächst zu der speziellen Klammer.
Man definiert für jede reelle Zahl x diesen Ausdruck als größte ganze
Zahl m, die kleiner oder gleich x ist und nennt diese Klammer die
untere Gauss-Klammer.
Die Funktion, die jedem x die untere Gauss-Klammer von x zuordnet,
heißt Floor-Funktion.
Man geht also von einer reellen Zahl x gleichsam auf den Boden der
nächstkleineren ganzen Zahl herunter.
Für x gleich 4,3 ist die untere Gauss-Klammer von x somit gleich 4.
Man rundet also ab.
x kann aber auch negativ sein, zum Beispiel minus 8,6.
In dem Fall ist die untere Gauss-Klammer von x gleich minus 9.
Ist x eine ganze Zahl, so muss man nichts tun.
Die untere Gauss-Klammer von x ist dann x selbst.
Ich lege jetzt offen, welche Werte von n und p dem obigen Stabdiagramm
zugrunde liegen, nämlich 20 und 0,7.
Das Produkt aus n und p, also der Erwartungswert von x, ist 14 und
damit ganzzahlig.
Ich bringe hier einmal einen roten Pfeil an der Stelle n mal p an.
Und man findet die erste Aussage im Schulbuch von 2016 bestätigt.
Für das andere Schulbuch kommt es offenbar auf n plus 1 mal p an.
Für n gleich 20 und p gleich 0,7 ist n plus 1 mal p gleich 14,7 und
damit keine ganze Zahl.
Für dieses Schulbuch liegt also der zweite Fall vor, dass nämlich n
plus 1 mal p nicht ganzzahlig ist.
Und dann steht ja da, dass das einzige Maximum an der Stelle der
unteren Gauss-Klammer von n plus 1 mal p angenommen wird.
Die untere Gauss-Klammer von 14,7 ist aber 14.
Somit ist unsere Beobachtung auch im Einklang mit der Aussage des
zweiten Schulbuchs.
Machen wir noch ein zweites Beispiel und zwar mit n gleich 20 und p
gleich 1,3.
In diesem Fall ist der Erwartungswert n mal p gleich 20,3, also 6,2
und ich deute die Stelle auch in diesem Fall mit einem roten Pfeil an.
Man erkennt im Bild, dass jetzt zwei benachbarte Werte von k die
größte Wahrscheinlichkeit liefern, nämlich k gleich 6 und k gleich 7.
Diese Feststellung ist im Einklang mit der Aussage des ersten
Schulbuchs.
Dort steht zwar, eine der beiden benachbarten Trefferanzahlen hat die
höchste Wahrscheinlichkeit, aber wenn wir das Wort eine als mindestens
eine interpretieren, ist alles in Ordnung.
Das ältere Schulbuch ist hier genauer.
In unserem Fall ist ja n plus 1 gleich 21 und n plus 1 mal ein Drittel
ist 7 und damit ganzzahlig.
Und was steht für diesen Fall im Buch?
p von x gleich k wird maximal für k gleich n plus 1 mal p minus 1 und
k gleich n plus 1 mal p und das sind in unserem Fall die Werte 6 und
7.
Ich nehme einmal das, was wir zeigen wollen, als Memos auf die nächste
Folie.
Wenn n plus 1 mal p keine ganze Zahl ist, dann wird behauptet, dass
das einzige Maximum im Stabdiagramm bei der unteren Gaussklammer von n
plus 1 mal p liegt.
Ist hingegen n plus 1 mal p eine ganze Zahl, so soll es zwei gleich
lange Stäbchen maximaler Länge geben, nämlich für n plus 1 mal p minus
1 und n plus 1 mal p.
Sehen wir uns das Ganze genauer an.
Wir schließen die Fälle p gleich 0 und p gleich 1 aus, denn dann nimmt
x mit Wahrscheinlichkeit 1 den Wert 0 bzw.
den Wert n an.
Im Stabdiagramm gibt es also jeweils nur ein Stäbchen.
Ich kürze im Folgenden die Wahrscheinlichkeit, dass x den Wert k
annimmt, mit Lk ab.
Lk ist also die Länge des Stäbchens an der Stelle k, deshalb auch der
Buchstabe L für Länge.
Jetzt kommt die einzige, aber entscheidende Idee.
Wir vergleichen zwei direkt benachbarte Stäbchenlängen, indem wir
einen Quotienten bilden.
Es gilt, wenn wir Lk plus 1 durch Lk teilen.
Ich setze mal ein, was Lk plus 1 ist.
Das ist dieser Ausdruck.
Und Lk kann ich direkt von oben abschreiben, d.h.
der Nenner ist das, was oben steht.
Und jetzt erkennt man, dass sich sehr viel wegkürzt.
p hoch k plus 1 steht im Zähler.
Im Nenner steht p hoch k.
Es bleibt ein p übrig.
Im Nenner ist der Exponent von 1 minus p um 1 größer als der im
Zähler.
Es bleibt also im Nenner ein 1 minus p übrig.
Und wenn man die Binomialkoeffizienten ausrechnet, kürzt sich auch
sehr viel weg.
Es kommt Folgendes heraus.
Es ist dieser Ausdruck.
Wir vergleichen jetzt diesen Quotienten mit dem Wert 1.
Ist er größer 1, dann ist Lk plus 1 größer als Lk.
Ist der Quotient gleich 1, dann ist Lk plus 1 gleich Lk.
Und ist er kleiner 1, dann ist Lk plus 1 kleiner als Lk.
Wenn man sich das, was rechts steht, ansieht, dann müssen wir Zähler
und Nenner vergleichen.
Im Zähler steht n minus k in Klammern mal p, also n mal p minus k mal
p.
Im Nenner findet sich aber auch minus k mal p.
Das kann man sich schon wegdenken.
Das bedeutet, wir vergleichen de facto n mal p, was im Zähler übrig
bleibt, mit k plus 1 minus p, was im Nenner übrig bleibt.
Und wir erhalten, dieser Quotient ist genau dann größer,
beziehungsweise gleich, beziehungsweise kleiner als 1.
Das sind also drei Fälle.
Dann und nur dann, wenn k kleiner ist, beziehungsweise gleich,
beziehungsweise größer als n plus 1 in Klammern mal p minus 1.
Das bedeutet, solange k kleiner ist als ein bestimmter Wert, ist Lk
plus 1 größer als Lk.
Das heißt, die Stäbchenlängen wachsen.
Sie könnten auch mal gleich sein, zwei Stäbchenlängen, wenn nämlich k
gleich n plus 1 mal p minus 1 ist und danach für größeres k werden sie
kleiner.
Wir machen uns das klar anhand des Zahlenstrahls.
Man sieht hier k aufgetragen.
Und ich trage jetzt mal drei äquidistante ganze Zahlen ein.
Das sollen ganze Zahlen sein.
Sehen wir uns jetzt mal den ersten Fall an.
Da steht im Memo, n plus 1 mal p ist keine ganze Zahl.
Das heißt, n plus 1 mal p liegt zwischen zwei ganzen Zahlen.
Hier zum Beispiel.
Dann kann ich auch sofort sehen, wo n plus 1 mal p minus 1 ist.
Ich muss eins subtrahieren und ich lande hier.
Auch n plus 1 mal p minus 1 ist keine ganze Zahl.
Wenn wir jetzt in die Zeile darüber sehen, dann sehen wir, Lk plus 1
ist größer als Lk.
Der Quotient ist größer als 1, solange k kleiner ist als n plus 1 mal
p minus 1.
Also wenn wir diesen Wert von k wählen, den hier, dann können wir
einen weiter nach rechts gehen und das Lk wird größer.
Dann sind wir hier.
Wenn wir jetzt noch einen weiter nach rechts gehen würden, dann
vergrößert sich das nicht mehr, denn dieses k, was wir hier haben, ist
nicht mehr kleiner als n plus 1 mal p minus 1.
Das heißt, in diesem Fall haben wir an dieser Stelle das eindeutige
Maximum erreicht und diese Stelle ist natürlich die untere
Gaussklammer von diesem Wert, denn wir müssen zunächst kleineren
ganzen Zahl übergehen und das ist dieser Wert.
Das heißt, wir haben diese erste Aussage, den ersten Fall
herausbekommen.
Wie sieht es im zweiten Fall aus?
Der zweite Fall besagt, jetzt ist n plus 1 mal p eine ganze Zahl.
Hier sei jetzt n plus 1 mal p.
Dann ist natürlich auch, wenn wir 1 subtrahieren, das ist auch eine
ganze Zahl.
Jetzt passiert Folgendes, wenn wir für k diesen Wert nehmen.
Dieses k ist kleiner als n plus 1 mal p minus 1.
Das ist hier.
Das bedeutet, wenn wir um 1 nach rechts gehen, vergrößert sich der
Quotient und damit hat das Stabdiagramm an dieser Stelle einen
größeren Wert als an dieser Stelle.
Dieses k ist aber gleich n plus 1 mal p minus 1.
Das heißt, in dem Fall ist lk plus 1 dividiert durch lk gleich 1.
Das bedeutet, das Stabdiagramm an dieser Stelle hat die gleiche Höhe
wie an dieser Stelle.
Das heißt, wir haben hier zwei gleich lange Stäbchen und das ist der
zweite Fall im Memo.
Das heißt, wir haben hier das Maximum im Stabdiagramm bei zwei direkt
benachbarten Stellen k.
Und das war schon der ganze Beweis.
Man sieht, die Begründung ist gar nicht so schwierig gewesen.