WEBVTT 00:00.250 --> 00:04.350 In diesem Video geht es um den ersten Mittelwertsatz und wie wir mit 00:04.350 --> 00:07.730 seiner Hilfe die Ableitung von Funktionen an gewissen kritischen 00:07.730 --> 00:09.350 Punkten berechnen können. 00:11.290 --> 00:14.350 Starten wir mit einer Wiederholung des ersten Mittelwertsatzes. 00:15.830 --> 00:19.490 Dieser macht eine Aussage über eine Funktion f, die auf einem 00:19.490 --> 00:23.570 abgeschlossenen Intervall zwischen a und b stetig ist und auf dem 00:23.570 --> 00:26.490 offenen Intervall zwischen a und b differenzierbar. 00:27.290 --> 00:31.410 Dann ist die Aussage des Satzes, dass wir einen Punkt xi zwischen a 00:31.410 --> 00:35.970 und b finden, an welchem die Ableitung der Funktion mit der 00:35.970 --> 00:41.450 Sekantensteigung zwischen den Punkten a, f und a und b, f von b 00:41.450 --> 00:42.390 übereinstimmt. 00:43.430 --> 00:47.390 Also hier rechts, dieser Quotient, ist nichts anderes als die 00:47.390 --> 01:01.900 Sekantensteigung zwischen den Punkten a, f von a und b, f von b. 01:04.930 --> 01:07.310 Zur Verdeutlichung nochmal ein kurzes Bild. 01:17.240 --> 01:19.420 Wir sehen hier den Graphen der Funktion f. 01:20.480 --> 01:22.500 Das ist der Punkt a, f von a. 01:23.340 --> 01:26.500 Und hier ist der Punkt b, f von b. 01:28.160 --> 01:31.160 Diese Kante zwischen den beiden Punkten ist diese gerade hier. 01:32.820 --> 01:38.180 Und die Aussage ist nun, wir finden eine Stelle xi zwischen a und b, 01:39.400 --> 01:43.740 an welcher die Steigung der Tangente an den Graphen von f mit der 01:43.740 --> 01:44.840 Steigung der Sekante übereinstimmt. 01:46.020 --> 01:48.700 Das heißt, diese beiden Geraden sind dann parallel. 01:49.720 --> 01:52.940 Diesen Satz werden wir nun dazu einsetzen, die Ableitung einer 01:52.940 --> 01:58.380 Funktion f an einer Stelle x0 zu berechnen, wobei wir aber annehmen, 01:58.520 --> 02:01.920 dass wir die Funktion f bereits an allen anderen Punkten abgeleitet 02:01.920 --> 02:06.920 haben und wir die Ableitung an diesem Punkt x0 stetig fortsetzen 02:06.920 --> 02:07.240 können. 02:09.180 --> 02:10.880 Das Setting ist das folgende. 02:11.640 --> 02:16.060 Hier ist die Funktion f definiert auf dem offenen Intervall zwischen 02:16.060 --> 02:19.100 zwei Punkten a und b und als stetig vorausgesetzt. 02:20.380 --> 02:24.880 Weiter brauchen wir einen Punkt x0 zwischen a und b und wir nehmen an, 02:25.000 --> 02:29.620 dass die Funktion f überall außer im Punkt x0 differenzierbar ist. 02:30.980 --> 02:35.000 Zu guter Letzt setzen wir noch voraus, dass wir die Ableitung der 02:35.000 --> 02:38.680 Funktion f im Punkt x0 stetig fortsetzen können. 02:38.680 --> 02:45.640 Das heißt, wir nehmen an, dass der Limes x gegen x0 f' von x existiert 02:45.640 --> 02:48.400 und bezeichnen diese Größe jetzt als Gamma. 02:49.900 --> 02:54.840 Die Aussage des Satzes ist nun, dass die Funktion f auch im Punkt x0 02:54.840 --> 02:59.800 differenzierbar ist und der Ableitungswert im Punkt x0 genau dieser 02:59.800 --> 03:02.000 Grenzwert der Ableitung Gamma ist. 03:03.720 --> 03:09.380 In dieser Situation sehen wir sofort, dass dann die Ableitung von f am 03:09.380 --> 03:13.240 Punkt x0 stetig sein muss, denn der Wert der Ableitung an der 03:13.240 --> 03:16.980 entsprechenden Stelle stimmt mit dem Grenzwert der Ableitung überein. 03:18.880 --> 03:22.260 Und damit erkennen wir vielleicht auch, dass dieser Satz hier nicht 03:22.260 --> 03:26.300 immer anwendbar ist, denn eine Ableitung muss ja nicht zwangsläufig 03:26.300 --> 03:26.980 stetig sein. 03:26.980 --> 03:31.600 Wenn also beispielsweise dieser Grenzwert der Ableitung an der 03:31.600 --> 03:35.380 kritischen Stelle x0 nicht existiert, dann liefert dieser Satz hier 03:35.380 --> 03:36.360 auch keine Aussage. 03:37.720 --> 03:40.980 Dennoch kann es sein, dass die Funktion an dieser Stelle trotzdem 03:40.980 --> 03:42.120 differenzierbar ist. 03:43.200 --> 03:46.460 Wir können es eben nur nicht mit Hilfe dieses Satzes hier beweisen und 03:46.460 --> 03:49.660 den Ableitungswert nicht mit Hilfe dieses Grenzwerts hier berechnen. 03:50.540 --> 03:53.780 Kommen wir direkt zum Beweis dieses Satzes, den wir mit Hilfe des 03:53.780 --> 03:55.480 ersten Mittelwertsatzes führen können. 03:58.080 --> 04:02.120 Starten wir zunächst einmal mit einem Punkt x im Definitionsbereich, 04:02.680 --> 04:04.320 der allerdings nicht gleich x0 ist. 04:05.080 --> 04:09.340 Es sei also x zwischen a und b, wobei x0 ausgeschlossen ist. 04:10.480 --> 04:15.320 Im ersten Schritt des Beweises wenden wir nun den Mittelwertsatz auf 04:15.320 --> 04:18.500 das Intervall zwischen x und x0 an. 04:19.700 --> 04:23.820 Das dürfen wir auch tun, weil die Funktion ja als stetig vorausgesetzt 04:23.820 --> 04:28.060 wurde, damit insbesondere stetig auf dem Intervall zwischen x und x0 04:28.060 --> 04:33.060 ist und weiterhin überall außer als in x0 als differenzierbar 04:33.060 --> 04:34.180 vorausgesetzt wurde. 04:34.920 --> 04:38.840 Das heißt zwischen x und x0 ist f auch differenzierbar. 04:39.480 --> 04:43.580 Mit anderen Worten, der erste Mittelwertsatz ist in dieser Situation 04:43.580 --> 04:44.400 anwendbar. 04:47.730 --> 04:58.250 Und nach dem ersten Mittelwertsatz existiert dann eine Stelle xi 04:58.250 --> 05:09.920 zwischen den Punkten x und x0 mit der Eigenschaft, dass diese 05:09.920 --> 05:16.940 Kantensteigung f von x minus f von x0 dividiert durch x minus x0 05:16.940 --> 05:22.480 gleich der Ableitung der Funktion f an der Stelle xi entspricht. 05:23.780 --> 05:27.880 Wir haben hier nicht vorausgesetzt, dass x größer oder kleiner als x0 05:27.880 --> 05:28.460 sein muss. 05:29.100 --> 05:32.140 Das heißt, wir können hier nicht das Intervall zwischen x und x0 05:32.140 --> 05:37.460 schreiben, sondern schreiben vorsichtiger zwischen x und x0, weil wir 05:37.460 --> 05:40.480 eben nicht wissen, welche der beiden Punkte kleiner oder größer ist. 05:41.360 --> 05:45.340 Wie hilft uns diese Tatsache nun bei der Berechnung der Ableitung von 05:45.340 --> 05:46.640 f an der Stelle x0? 05:47.360 --> 05:51.940 Die Ableitung von f an der Stelle x0 bekommen wir, wenn wir diesen 05:51.940 --> 05:56.940 linken Quotienten hier im Grenzwert x gegen x0 betrachten. 05:57.660 --> 05:59.840 Denn genau so war die Ableitung ja definiert. 06:00.500 --> 06:04.520 Das heißt, unsere Hoffnung ist, diesen Grenzwert nun bilden zu können 06:04.520 --> 06:09.320 und dabei auszunutzen, dass dieser Quotient hier gleich der Ableitung 06:09.320 --> 06:10.880 hier rechts entspricht. 06:12.240 --> 06:15.280 Auf den ersten Blick hängt diese Ableitung hier rechts jedoch gar 06:15.280 --> 06:16.180 nicht von x ab. 06:16.580 --> 06:18.700 Wir lassen ja gleich x gegen x0 laufen. 06:19.300 --> 06:23.220 Das ist aber doch der Fall, denn diese Zwischenstelle xi liegt ja 06:23.220 --> 06:25.220 immer zwischen x und x0. 06:25.960 --> 06:30.560 Das heißt, je näher das x dem x0 kommt, desto näher muss auch das xi 06:30.560 --> 06:31.680 dem x0 kommen. 06:32.740 --> 06:36.620 Also die Abhängigkeit von x steckt hier rechts in der Zwischenstelle 06:36.620 --> 06:37.260 xi drin. 06:40.180 --> 06:44.940 Und da also xi, was in Wahrheit auch als xi von x geschrieben werden 06:44.940 --> 06:52.220 kann, also abhängig von x ist, zwischen x und x0 liegt, 06:57.230 --> 07:04.670 folgt, dass das xi von x ebenfalls gegen x0 konvergiert, wenn das x 07:04.670 --> 07:06.050 gegen x0 konvergiert. 07:06.910 --> 07:09.810 Ihm bleibt gar nichts anderes übrig, weil es ja immer zwischen x und 07:09.810 --> 07:10.750 x0 sein muss. 07:11.650 --> 07:15.690 Das heißt, wenn wir hier oben den Grenzwert x gegen x0 bilden, dann 07:15.690 --> 07:19.370 geht dieses xi in der Ableitung von f gegen x0. 07:19.970 --> 07:25.850 Die Ableitung von f war an der Stelle x0 jedoch als stetig fortsetzbar 07:25.850 --> 07:29.610 angenommen, weil dieser Grenzwert hier existiert. 07:30.370 --> 07:34.210 Das heißt aber weiter, dass wenn wir hier den Grenzwert x gegen x0 07:34.210 --> 07:37.670 bilden, dann geht das xi gegen x0 und damit geht diese ganze rechte 07:37.670 --> 07:39.650 Seite hier gegen das Gamma. 07:42.700 --> 07:46.800 Und da die Ableitung auf der rechten Seite gleich dem Quotienten auf 07:46.800 --> 07:50.280 der linken Seite ist, muss dann auch dieser linke Quotient im 07:50.280 --> 07:52.980 Grenzwert x gegen x0 gegen Gamma konvergieren. 07:56.140 --> 08:00.520 Also es folgt mit der Voraussetzung, 08:08.480 --> 08:17.560 dass der Grenzwert x gegen x0 von der Ableitung gleich Gamma ist, dass 08:17.560 --> 08:26.100 Gamma gleich dem Grenzwert x gegen x0 f' von xi ist. 08:26.340 --> 08:28.380 Grenzwert der rechten Seite hier. 08:29.320 --> 08:34.880 Und das ist natürlich auch gleich dem Grenzwert x gegen x0 von dem 08:34.880 --> 08:39.540 Quotienten auf der linken Seite, also diesem Ausdruck hier. 08:45.680 --> 08:49.660 Nun, das hier, dieser Grenzwert ist aber nichts anderes als die 08:49.660 --> 08:52.560 Ableitung der Funktion f an der Stelle x0. 08:54.020 --> 08:57.420 Damit ist also insgesamt f differenzierbar in x0, 09:04.340 --> 09:06.420 da ja dieser Grenzwert hier existiert. 09:08.000 --> 09:11.720 Und der Wert der Ableitung an der Stelle ist das Gamma. 09:13.760 --> 09:16.020 Womit der Beweis des Satzes beendet ist. 09:16.980 --> 09:20.180 Im Zusammenhang mit diesem Satz können wir noch zwei Bemerkungen 09:20.180 --> 09:20.580 machen. 09:22.080 --> 09:26.560 Fordern wir beispielsweise hier in den Voraussetzungen nicht, dass 09:26.560 --> 09:29.800 dieser Grenzwert existiert, sondern dass nur der linksseitige 09:29.800 --> 09:35.880 Grenzwert existiert, also linksseitig x von unten gegen x0 f' von x. 09:36.600 --> 09:40.200 Dann erhalten wir mit derselben Argumentation, dass dann die 09:40.200 --> 09:44.780 linksseitige Ableitung von f an der Stelle x0 gleich Gamma ist. 09:45.920 --> 09:49.000 Ganz analog bekommen wir auch eine Aussage für die rechtseitige 09:49.000 --> 09:52.200 Ableitung, wobei wir dann natürlich hier den rechtseitigen Grenzwert 09:52.200 --> 09:52.520 brauchen. 09:54.240 --> 09:55.960 Der Beweis funktioniert ganz genauso. 09:56.760 --> 09:59.860 Als nächstes sei noch angemerkt, dass falls dieser Grenzwert hier 09:59.860 --> 10:04.800 nicht existiert, die Funktion f an der Stelle x0 dennoch 10:04.800 --> 10:06.120 differenzierbar sein kann. 10:07.100 --> 10:09.540 Wir können es in diesem Fall eben nur nicht mit Hilfe dieses Satzes 10:09.540 --> 10:10.140 hier beweisen. 10:11.040 --> 10:14.200 Was wir jedoch sicher ausschließen können ist, dass in diesem Fall die 10:14.200 --> 10:16.520 Ableitung in x0 stetig ist. 10:17.140 --> 10:19.600 Denn das kann ja nicht sein, wenn dieser Grenzwert hier nicht 10:19.600 --> 10:20.100 existiert. 10:22.400 --> 10:25.140 Zusammengefasst erhalten wir also diese beiden Bemerkungen hier. 10:26.100 --> 10:29.400 Wenn wir im Kontext des oberen Satzes nur die Existenz des 10:29.400 --> 10:35.660 linksseitigen Grenzwerts x von unten gegen x0 f' von x fordern, dann 10:35.660 --> 10:40.280 erhalten wir lediglich, dass f in x0 linksseitig differenzierbar ist 10:40.280 --> 10:44.120 und die linksseitige Ableitung genau diesem Grenzwert hier oben 10:44.120 --> 10:44.740 entspricht. 10:45.640 --> 10:50.260 Analoges gilt für die rechtseitige Ableitung unter der Existenz des 10:50.260 --> 10:51.380 rechtseitigen Grenzwerts. 10:52.260 --> 10:56.720 Falls der Grenzwert nicht existiert, dann können wir nicht 10:56.720 --> 10:59.380 ausschließen, dass die Funktion differenzierbar ist. 10:59.720 --> 11:03.880 Sie könnte trotzdem differenzierbar sein, aber die Ableitung wird in 11:03.880 --> 11:06.200 diesem Fall nicht stetig sein in diesem Punkt. 11:06.760 --> 11:10.360 Denn dafür müsste ja insbesondere dieser Grenzwert hier existieren. 11:11.520 --> 11:15.100 Die Anwendung dieses Satzes und auch die Bemerkung, die wir am Ende 11:15.100 --> 11:18.760 gemacht haben, wollen wir nun noch mit Hilfe von zwei Beispielen 11:18.760 --> 11:19.380 verdeutlichen. 11:20.420 --> 11:26.140 Zunächst betrachten wir die ganz einfache Funktion f von R Sie ist als 11:26.140 --> 11:30.580 ein Viertel mal x definiert, wenn x danach gleich ist als 1, und ein 11:30.580 --> 11:33.680 Viertel mal x², wenn x größer ist als 1. 11:35.680 --> 11:39.840 Wir sehen sofort, die Funktion ist überall stetig, insbesondere an der 11:39.840 --> 11:43.660 Stelle 1, denn nähern wir uns dieser Stelle von unten an, erhalten wir 11:43.660 --> 11:46.880 als Grenzwert ein Viertel, genauso wie wenn wir uns von oben dieser 11:46.880 --> 11:49.720 Stelle nähern, wir erhalten ebenfalls den Grenzwert ein Viertel. 11:50.400 --> 11:54.300 Schließen wir die Stelle x gleich 1 aus, sehen wir auch sofort, dass f 11:54.300 --> 11:56.420 überall sonst differenzierbar ist. 11:57.320 --> 11:58.980 Das können wir direkt festhalten. 12:00.560 --> 12:03.120 Also dann gilt für die Ableitung von f, 12:06.180 --> 12:10.540 dass sie gegeben ist durch ein Viertel, falls x echt kleiner ist als 12:10.540 --> 12:19.780 1, und als zweimal ein Viertel mal x, also in dem unteren Fall, wenn x 12:19.780 --> 12:21.000 größer ist als 1. 12:22.560 --> 12:24.860 Nun wollen wir mit Hilfe des Satzes bzw. 12:25.220 --> 12:28.820 der Bemerkung die Stelle x gleich 1 noch näher betrachten. 12:29.480 --> 12:32.620 Schauen wir uns zunächst mal den linksseitigen und den rechtseitigen 12:32.620 --> 12:36.280 Grenzwert der Ableitung an der Stelle x gleich 1 an. 12:42.060 --> 12:47.160 Nähern wir uns der Stelle von links, also x von unten gegen 1 und 12:47.160 --> 12:52.080 betrachten die Ableitung von f, dann erhalten wir als Grenzwert ein 12:52.080 --> 12:52.400 Viertel. 12:52.500 --> 12:53.920 Wir sind hier in diesem oberen Fall. 12:56.810 --> 13:02.810 Bei der Annäherung von rechts, also x von oben gegen 1, f' von x, sind 13:02.810 --> 13:03.950 wir in diesem unteren Fall. 13:04.850 --> 13:09.990 Nähern wir uns hier von rechts mit x der 1, erhalten wir als Grenzwert 13:09.990 --> 13:10.510 ein Halb. 13:12.710 --> 13:15.990 Und ganz offensichtlich sehen wir, dass ein Viertel nicht gleich ein 13:15.990 --> 13:18.830 Halb ist, also diese beiden Grenzwerte hier nicht übereinstimmen. 13:18.830 --> 13:24.270 Der allgemeine Grenzwert x gegen 1 kann jedoch nicht existieren, weil 13:24.270 --> 13:27.350 der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert nicht übereinstimmen. 13:28.650 --> 13:36.610 Das heißt, der Grenzwert Limx gegen 1, f' von x, existiert nicht. 13:41.740 --> 13:43.280 Was folgt daraus nun? 13:44.360 --> 13:48.420 Mit der Existenz dieses linksseitigen Grenzwerts hier erhalten wir, 13:48.480 --> 13:52.160 dass nach der Bemerkung von gerade eben, die Funktion f an der Stelle 13:52.160 --> 13:56.800 1 linksseitig differenzierbar ist, mit Ableitungswert ein Viertel. 13:58.300 --> 14:01.280 Genauso erhalten wir aus der Existenz dieses rechtsseitigen 14:01.280 --> 14:05.280 Grenzwertes unter Bemerkung von gerade eben, dass die Funktion f an 14:05.280 --> 14:08.560 der Stelle 1 auch rechtsseitig differenzierbar ist, mit dem 14:08.560 --> 14:10.200 Ableitungswert ein Halb. 14:13.920 --> 14:26.840 Also insgesamt ist f an der Stelle x0 gleich 1 links und rechtsseitig 14:26.840 --> 14:43.520 differenzierbar, mit der linksseitigen Ableitung ein Viertel und der 14:43.520 --> 14:47.260 rechtsseitigen Ableitung ein Halb. 14:48.940 --> 14:54.980 Allerdings ist f an der Stelle x0 gleich 1 nicht differenzierbar, denn 14:54.980 --> 14:58.380 wenn es differenzierbar wäre, müssten ja linksseitige und 14:58.380 --> 15:00.260 rechtsseitige Ableitungen übereinstimmen. 15:01.060 --> 15:03.000 Also Differenzierbarkeit liegt nicht vor. 15:19.370 --> 15:21.050 Soviel zu einseitigen Ableitungen. 15:22.490 --> 15:26.090 Im nächsten Beispiel gehen wir auf den zweiten Teil der Bemerkung ein. 15:27.190 --> 15:30.790 Hier werden wir sehen, dass die Ableitung der entsprechenden Funktion 15:30.790 --> 15:36.010 zwar nicht stetig fortsetzbar ist, allerdings dennoch existiert. 15:36.690 --> 15:41.270 Ganz konkret betrachten wir hier das Beispiel der Funktion g, welche 15:41.270 --> 15:46.030 für x ungleich 0, geben es als x hoch 3 mal cosinus pi dividiert durch 15:46.030 --> 15:49.390 x², und der Stelle x gleich 0 als 0. 15:50.390 --> 15:53.470 Auch hier sehen wir schnell, dass die Funktion stetig ist. 15:54.570 --> 15:57.730 Für x ungleich 0 ist die Funktion offensichtlich stetig. 15:58.430 --> 16:02.350 An der Stelle x gleich 0 müssen wir uns noch überlegen, wie verhält 16:02.350 --> 16:04.950 sich die Funktion g für x gegen 0. 16:06.290 --> 16:10.410 Nun, für x gegen 0 wird x hoch 3 ebenfalls gegen 0 konvergieren. 16:11.290 --> 16:15.330 Der Cosinus hier hinten, der ist immer beschränkt, nämlich er bewegt 16:15.330 --> 16:19.370 sich zwischen minus 1 und plus 1, ist betraglich also durch 1 16:19.370 --> 16:20.310 beschränkt. 16:20.890 --> 16:25.450 Damit konvergiert das Ganze hier für x gegen 0 ebenfalls gegen 0. 16:26.290 --> 16:30.130 Und damit ist die Funktion g auch an der Stelle x gleich 0 stetig. 16:37.160 --> 16:39.500 Was gilt für die Ableitung der Funktion g? 16:40.160 --> 16:44.660 An einer Stelle x ungleich 0 können wir sie mit Hilfe der Produkt- und 16:44.660 --> 16:46.960 Kettenregel relativ leicht ableiten. 16:48.980 --> 16:55.000 Also für x ungleich 0 gilt dann, die Ableitung von g an der Stelle x 16:55.000 --> 16:59.280 ist gegeben als, leiten wir zunächst unter Zuhilfenahme der 16:59.280 --> 17:04.020 Produktregel den vorderen Faktor hier ab und erhalten 3 mal x². 17:05.580 --> 17:09.140 Modifizieren wir das Ganze mit der hinteren Funktion, also Cosinus von 17:09.140 --> 17:10.360 Pi durch x². 17:11.500 --> 17:14.980 Für den nächsten Summanden lassen wir die vordere Funktion x hoch 3 17:14.980 --> 17:17.020 stehen und differenzieren den Cosinus. 17:17.880 --> 17:20.280 Hier verwenden wir die Kettenregel. 17:20.660 --> 17:23.920 Zunächst differenzieren wir die äußere Funktion, den Cosinus und 17:23.920 --> 17:25.260 erhalten minus Sinus. 17:25.260 --> 17:27.340 Das Argument bleibt gleich. 17:28.300 --> 17:29.520 Also Pi durch x². 17:30.360 --> 17:33.780 Jetzt müssen wir noch die innere Funktion nachdifferenzieren und 17:33.780 --> 17:40.120 erhalten dafür Pi mal minus 2 mal x hoch minus 3. 17:41.640 --> 17:43.660 Das können wir noch leicht vereinfachen. 17:43.920 --> 17:49.180 Dann steht hier vorne 3 mal x² mal Cosinus Pi durch x². 17:50.900 --> 17:55.060 Hier hinten hebt sich x hoch minus 3 und x hoch 3 weg, genauso wie das 17:55.060 --> 17:58.960 Vorzeichen minus 2 mit diesem Minus vor dem Sinus verrechnet wird. 17:59.700 --> 18:05.880 Übrig bleibt 2 mal Pi mal Sinus von Pi durch x². 18:07.260 --> 18:11.200 In der Hoffnung, den Satz von gerade eben anwenden zu können, müssten 18:11.200 --> 18:15.620 wir nun den Grenzwert der Ableitung für x gegen 0 betrachten. 18:16.380 --> 18:18.160 Dieser Grenzwert existiert jedoch nicht. 18:18.160 --> 18:21.260 Der vordere Term hier ist unproblematisch. 18:22.060 --> 18:26.940 Wenn x gegen 0 geht, geht x² ebenfalls gegen 0 und der Cosinus ist 18:26.940 --> 18:27.760 weiterhin beschränkt. 18:28.040 --> 18:31.280 Das heißt, der vordere Summand konvergiert für x gegen 0 gegen 0. 18:31.920 --> 18:34.040 Der hintere Summand macht jedoch Schwierigkeiten. 18:34.740 --> 18:38.860 Wenn x gegen 0 geht, wird Pi durch x² gegen Plus und Endlich gehen. 18:39.860 --> 18:44.300 Was dafür sorgt, dass dieser Sinus im Grenzwert immer mehr oszilliert 18:44.300 --> 18:47.700 und insgesamt zur Folge hat, dass der Grenzwert nicht existiert? 18:48.980 --> 18:51.640 Ein entsprechendes Beispiel haben Sie auch schon in der Vorlesung 18:51.640 --> 18:51.940 gesehen. 18:53.160 --> 18:59.820 Also halten wir fest, der Grenzwert der Ableitung limx gegen 0 g' von 18:59.820 --> 19:01.600 x existiert nicht. 19:08.700 --> 19:12.020 Ist dann die Funktion g an der Stelle 0 vielleicht auch gar nicht 19:12.020 --> 19:12.800 differenzierbar? 19:13.800 --> 19:16.760 Um die Differenzierbarkeit von g an der Stelle x gleich 0 zu 19:16.760 --> 19:20.080 überprüfen, müssen wir den Grenzwert des Differenzenquotienten 19:20.080 --> 19:20.840 betrachten. 19:23.000 --> 19:30.980 Dazu sei x ungleich 0 und wir betrachten g an der Stelle x minus g an 19:30.980 --> 19:36.160 der Stelle 0 dividiert durch x minus 0, gleich im Grenzwert für x 19:36.160 --> 19:36.660 gegen 0. 19:38.320 --> 19:40.760 g an der Stelle 0 ist als 0 definiert. 19:41.360 --> 19:46.360 g an der Stelle x ist x hoch 3 mal cosinus pi durch x² und das wird 19:46.360 --> 19:47.140 durch x geteilt. 19:47.560 --> 19:52.940 Also bleibt hier übrig x² mal cosinus von pi durch x². 19:55.940 --> 20:01.200 Der Grenzwert hiervon für x gegen 0, der existiert hier doch und ist 20:01.200 --> 20:07.740 gleich 0, denn x² geht für x gegen 0 gegen 0 und dieser cosinus-Term 20:07.740 --> 20:08.480 hier ist beschränkt. 20:08.860 --> 20:10.900 Das heißt insgesamt geht dieser Ausdruck gegen 0. 20:13.340 --> 20:18.720 Damit ist aber die Funktion g an der Stelle 0 differenzierbar und der 20:18.720 --> 20:20.780 Ableitungswert an der Stelle ist 0. 20:37.300 --> 20:41.020 Dennoch ist die Ableitung der Funktion g an der Stelle 0 nicht stetig, 20:41.320 --> 20:45.620 weil eben genau der Grenzwert der Ableitung, also dieser Grenzwert 20:45.620 --> 20:48.260 hier, an der entsprechenden Stelle nicht existiert. 20:49.080 --> 20:51.220 Das können wir uns auch nochmal am Bild klar machen. 20:52.100 --> 20:56.660 Hier sehen wir zunächst den Graphen der Funktion g. Und man kann auch 20:56.660 --> 21:01.100 einigermaßen erkennen, dass die Funktion g im Ursprung stetig ist. 21:02.220 --> 21:06.360 Im Ursprung war sie ja als 0 definiert, also g von 0 gleich 0. 21:07.000 --> 21:11.000 Und man sieht hier auch, dass der Grenzwert von x gegen 0, 0 sein 21:11.000 --> 21:11.300 muss. 21:12.060 --> 21:14.060 Davon haben wir uns ja gerade eben auch überzeugt. 21:14.440 --> 21:18.780 Betrachten wir jedoch den Graphen der Ableitung der Funktion g. An der 21:18.780 --> 21:21.960 Stelle x gleich 0 sehen wir, dass dieser nicht stetig ist. 21:22.720 --> 21:27.580 An dieser Stelle oszilliert der Graph immer stärker, was dafür sorgt, 21:27.700 --> 21:29.140 dass der Grenzwert nicht existiert. 21:30.120 --> 21:33.760 Dennoch ist die Funktion g an der Stelle x gleich 0 differenzierbar 21:33.760 --> 21:35.340 mit dem Ableitungswert 0. 21:36.060 --> 21:38.840 Das kann man hier im Bild wegen des starken Oszillationsverhalts 21:38.840 --> 21:39.800 natürlich nicht mehr sehen. 21:40.860 --> 21:43.000 Aber davon haben wir uns ja gerade eben überzeugt. 21:45.260 --> 21:48.800 Insgesamt sollte dieses Beispiel verdeutlichen, dass eine Ableitung 21:48.800 --> 21:51.000 durchaus unstetig sein kann. 21:51.640 --> 21:55.600 Sie werden später in der Vorlesung, vermutlich in Mathe 2, jedoch 21:55.600 --> 21:59.280 kennenlernen, dass eine Ableitung trotzdem keine Sprünge machen kann. 22:00.260 --> 22:04.220 Das heißt, die spezielle Unstetigkeitsstelle eines Sprungs kann in 22:04.220 --> 22:05.700 einer Ableitung nicht auftreten. 22:06.520 --> 22:09.320 Dennoch kann eine Ableitung unstetig sein und dann sehen die 22:09.320 --> 22:12.040 Unstetigkeitsstellen eben anders aus und sind keine Sprünge, 22:12.540 --> 22:16.060 beispielsweise eine solche Unstetigkeitsstelle, wie sie hier vorliegt.