WEBVTT 00:00.000 --> 00:04.120 Ganz herzlich willkommen zu diesem Video über Bernoulli-Versuche. 00:04.660 --> 00:06.640 Es geht um sogenannte Runs. 00:07.080 --> 00:09.080 Ich werde gleich sagen, was ein Run ist. 00:09.520 --> 00:12.360 Und wir werden einige interessante Dinge entdecken. 00:13.160 --> 00:15.040 Die Situation ist die folgende. 00:15.420 --> 00:19.960 Wir haben eine Folge stochastisch unabhängiger Zufallsvariablen, die 00:19.960 --> 00:22.240 alle die gleiche Verteilung besitzen. 00:23.160 --> 00:27.160 Jedes xj nimmt mit Wahrscheinlichkeit p den Wert 1 und mit 00:27.160 --> 00:33.220 Wahrscheinlichkeit 1-p den Wert 0 an, wobei ich 1-p immer durch q 00:33.220 --> 00:33.940 abkürze. 00:34.720 --> 00:39.200 Das gilt für jedes j und ich setze voraus, dass p größer als 0 und 00:39.200 --> 00:40.420 kleiner als 1 ist. 00:41.300 --> 00:45.880 Deuten wir die 1 als Treffer und die 0 als Niete, so haben wir es also 00:45.880 --> 00:49.280 mit unabhängigen Bernoulli-Versuchen mit Trefferwahrscheinlichkeit p 00:49.280 --> 00:49.840 zu tun. 00:50.620 --> 00:51.820 Was ist nun ein Run? 00:52.480 --> 00:56.640 Ein deutsches Wort hierfür ist Iteration, aber auch im Deutschen hat 00:56.640 --> 00:58.460 sich der Begriff Run durchgesetzt. 00:59.100 --> 01:03.500 Ein Run ist eine Sequenz maximaler Länge von Einsen bzw. 01:03.820 --> 01:04.200 Nullen. 01:05.100 --> 01:09.160 Was uns in diesem Video interessiert, sind die zufälligen Längen des 01:09.160 --> 01:13.840 ersten und des zweiten Runs und ich setze dafür kurz L1 bzw. 01:14.140 --> 01:14.720 L2. 01:15.920 --> 01:18.340 Machen wir zum Verständnis ein einfaches Beispiel. 01:19.160 --> 01:25.640 Wenn die Folge der Bernoulli-Versuche mit 0 0 1 1 1 0 beginnt, so ist 01:25.640 --> 01:31.000 L1 gleich 2, denn die beiden ersten Symbole sind gleich und danach 01:31.000 --> 01:34.340 geschieht ein Wechsel, das heißt der zweite Run beginnt. 01:34.900 --> 01:38.820 Und da sieht man drei gleiche Symbole, bevor es wieder wechselt. 01:39.460 --> 01:41.260 L2 ist also gleich 3. 01:42.400 --> 01:46.140 Ich gebe jetzt einmal die formalen Definitionen der Längen des ersten 01:46.140 --> 01:47.600 und des zweiten Runs an. 01:48.200 --> 01:51.680 Beide hängen von der Folge der Zufallsvariablen xj ab. 01:51.680 --> 01:56.400 Ich werde die Definitionen aber nicht ausführlich kommentieren, da wir 01:56.400 --> 01:59.560 sie in der Folge nicht benötigen und sie nicht zum Verständnis 01:59.560 --> 02:00.240 beitragen. 02:00.960 --> 02:06.040 L1 ist die größte natürliche Zahl n, so dass entweder das Produkt der 02:06.040 --> 02:11.300 xj über j von 1 bis n gleich 1 ist oder das entsprechende Produkt der 02:11.300 --> 02:12.460 1 minus xj. 02:13.460 --> 02:18.700 Bei L2 ist es die größte Zahl n, so dass entweder dieses Produkt 02:18.700 --> 02:21.080 gleich 1 ist oder dieses. 02:21.940 --> 02:26.220 Man beachte bei L2 die Indizes der Zufallsvariablen, die die 02:26.220 --> 02:27.800 jeweiligen Produkte bilden. 02:28.200 --> 02:31.200 Sie laufen ab dem Index L1 plus 1. 02:32.340 --> 02:36.440 Auf der nächsten Folie möchte ich das Ergebnis einer Simulation 02:36.440 --> 02:37.080 vorstellen. 02:37.740 --> 02:42.540 Ich habe dazu 80 Mal im Computer Bernoulli-Versuche simuliert, wobei 02:42.540 --> 02:45.500 die Trefferwahrscheinlichkeit p gleich 0,1 ist. 02:45.500 --> 02:51.200 Für die 80 Längen der jeweils ersten Runs haben sich dabei diese Werte 02:51.200 --> 02:51.640 ergeben. 02:52.680 --> 02:57.340 Man sieht, dass die Werte stark schwanken, sie liegen zwischen 1 und 02:57.340 --> 02:57.880 70. 02:58.620 --> 03:02.860 Das arithmetische Mittel, also der Durchschnitt dieser Werte, ist auf 03:02.860 --> 03:06.100 zwei Nachkommastellen genau gleich 9,69. 03:07.260 --> 03:12.820 Ich zeige jetzt die Längen der jeweils zweiten Runs und da zunächst 03:12.820 --> 03:16.160 alle Fälle, bei denen die Länge gleich 1 ist. 03:17.220 --> 03:21.180 Was auf den ersten Blick überrascht ist, dass die Länge des zweiten 03:21.180 --> 03:26.900 Runs sehr häufig nämlich 68 Mal gleich 1 ist und nur in zwölf Fällen 03:26.900 --> 03:28.140 größer als 1. 03:28.760 --> 03:31.160 Diese zwölf Werte habe ich rot markiert. 03:32.380 --> 03:37.920 Das Mittel über alle Längen des zweiten Runs ist 1,93 und damit 03:37.920 --> 03:41.720 deutlich kleiner als der Mittelwert der Längen des ersten Runs. 03:42.660 --> 03:43.640 Woran kann das liegen? 03:45.380 --> 03:49.480 Nun, der erste Run beginnt mit Wahrscheinlichkeit 0,9 mit einer Niete, 03:49.640 --> 03:53.920 also mit dem Symbol 0 und mit großer Wahrscheinlichkeit werden sich 03:53.920 --> 03:55.820 danach weitere Nieten einstellen. 03:56.500 --> 04:00.460 Wenn aber der Wechsel zum zweiten Run erfolgt, hat man einen Treffer 04:00.460 --> 04:01.120 beobachtet. 04:02.120 --> 04:05.580 Ein weiterer Treffer tritt aber nur mit der kleinen Wahrscheinlichkeit 04:05.580 --> 04:10.940 von 0,1 auf und so beträgt die Wahrscheinlichkeit 0,9, dass der zweite 04:10.940 --> 04:15.980 Run nur die Mindestlänge 1 besitzt, wenn er mit einer 1 startet. 04:16.780 --> 04:21.100 Wir werden uns jetzt mit der Verteilung der Zufallsgrößen L1 und L2 04:21.100 --> 04:25.080 beschäftigen und unter anderem die interessante Entdeckung machen, 04:25.560 --> 04:30.180 dass der Erwartungswert von L2 ganz unabhängig von p immer gleich 2 04:30.180 --> 04:30.540 ist. 04:31.540 --> 04:35.400 Für die Verteilung von L1 müssen wir Folgendes beachten. 04:36.500 --> 04:42.760 Das Ereignis L1 gleich k tritt genau dann ein, wenn entweder k mal ein 04:42.760 --> 04:48.620 Treffer und dann eine Niete oder k mal eine Niete und dann ein Treffer 04:48.620 --> 04:49.120 auftreten. 04:50.040 --> 04:53.540 Da sich diese beiden Fälle ausschließen, ist die Wahrscheinlichkeit, 04:53.540 --> 05:01.240 dass L1 den Wert k annimmt, gleich p hoch k mal q plus q hoch k mal p 05:01.240 --> 05:03.360 und das für jedes k. 05:04.460 --> 05:08.840 Ein Stabdiagramm der Verteilung von L1 sieht im Fall p gleich ein 05:08.840 --> 05:09.940 Viertel so aus. 05:11.180 --> 05:14.800 Man sieht, dass der Wert k gleich 1 die größte Wahrscheinlichkeit 05:14.800 --> 05:18.620 besitzt, was auch aufgrund der hergeleiteten Formel klar wird. 05:18.620 --> 05:24.040 Diese Wahrscheinlichkeit ist 2 mal p mal q und damit höchstens gleich 05:24.040 --> 05:27.920 ein Halb, nämlich dann, wenn p gleich ein Halb ist. 05:29.120 --> 05:33.540 Eine Möglichkeit, den Erwartungswert von L1 zu erhalten, ist nach der 05:33.540 --> 05:37.760 Formel Summe aus Wert mal Wahrscheinlichkeit dieser Ausdruck. 05:38.360 --> 05:41.360 Man muss dann den Wert dieser unendlichen Reihe bestimmen. 05:42.860 --> 05:47.460 Klammert man p mal q aus, so kann man das Ganze als Summe zweier 05:47.460 --> 05:50.100 Reihen schreiben, was dann so aussieht. 05:51.180 --> 05:54.940 Diese Reihen sind jeweils Ableitungen der geometrischen Reihe mit 05:54.940 --> 05:59.220 bekannten Formeln und das verwende ich jetzt für das nächste 05:59.220 --> 06:00.300 Gleichheitszeichen. 06:03.400 --> 06:09.020 Da 1 minus p gleich q und 1 minus q gleich p ist, ergibt sich nach 06:09.020 --> 06:15.160 Kürzen diese Summe, die man nach Einführen des Hauptnenners auch so 06:15.160 --> 06:15.900 schreiben kann. 06:17.300 --> 06:20.380 Damit folgt nach direkter Rechnung diese Darstellung für den 06:20.380 --> 06:22.080 Erwartungswert von L1. 06:22.840 --> 06:27.340 Man sieht leicht ein, dass der kleinstmögliche Erwartungswert gleich 2 06:27.340 --> 06:31.840 ist und dieser Wert wird genau dann angenommen, wenn p gleich ein Halb 06:31.840 --> 06:32.120 ist. 06:33.200 --> 06:37.620 Setzen wir speziell p gleich 0,1, so ergibt sich auf zwei 06:37.620 --> 06:40.680 Nachkommastellen gerechnet der Wert 9,11. 06:42.080 --> 06:45.100 In der Simulation hatten wir aus 80 Wiederholungen den 06:45.100 --> 06:47.500 Durchschnittswert 9,69 erhalten. 06:48.260 --> 06:50.720 Diesen Durchschnittswert können wir als Schätzwert für den 06:50.720 --> 06:52.040 Erwartungswert ansehen. 06:52.920 --> 06:56.980 Ich möchte jetzt zeigen, dass man auch eleganter an den Erwartungswert 06:56.980 --> 07:01.920 von L1 kommen kann, und zwar durch eine Methode, die man als Bedingen 07:01.920 --> 07:06.360 nach x1, also dem Ergebnis des ersten der Bernoulli-Versuche, 07:06.500 --> 07:07.400 bezeichnen kann. 07:08.460 --> 07:12.340 Den Erwartungswert von L1 kann man nämlich nach einem allgemeinen 07:12.340 --> 07:16.900 Ansatz, der manchmal auch als Formel vom totalen Erwartungswert oder 07:16.900 --> 07:20.300 als Mittelwertsregel bezeichnet wird, so darstellen. 07:21.000 --> 07:25.800 Es ist der Erwartungswert von L1 gleich p mal den bedingten 07:25.800 --> 07:31.760 Erwartungswert von L1 unter der Bedingung x1 gleich 1 plus q mal den 07:31.760 --> 07:36.160 bedingten Erwartungswert von L1 unter der Bedingung x1 gleich 0. 07:37.600 --> 07:40.820 Was passiert aber unter der Bedingung x1 gleich 1? 07:41.320 --> 07:45.840 Dann besteht der erste Run aus Einsen und dieser Run wird beendet, 07:45.880 --> 07:47.020 wenn eine Niete auftritt. 07:47.680 --> 07:52.480 Man wartet also unter der Bedingung x1 gleich 1 auf die erste Niete. 07:52.480 --> 07:57.020 Das Warten auf die erste Niete führt auf die geometrische Verteilung, 07:57.380 --> 07:59.640 zu der ich ein eigenes Video gemacht habe. 08:00.560 --> 08:05.420 Die Länge des ersten Runs unter der Bedingung x1 gleich 1 ist also 1, 08:05.720 --> 08:10.520 denn wir haben ja schon eine 1 vorliegen, plus die Anzahl der Versuche 08:10.520 --> 08:14.920 bis zum ersten Treffer, wobei der Treffer jetzt de facto eine Niete 08:14.920 --> 08:17.340 ist und die Wahrscheinlichkeit q besitzt. 08:18.060 --> 08:21.580 Dieser bedingte Erwartungswert ist also 1 durch q. 08:22.900 --> 08:27.640 Unter Vertauschung der Rollen von p und q ist dann ganz analog der 08:27.640 --> 08:30.920 zweite bedingte Erwartungswert gleich 1 durch p. 08:31.860 --> 08:37.580 Einsetzen in die obige Gleichung ergibt dann p mal 1 durch q plus q 08:37.580 --> 08:42.360 mal 1 durch p, also das Resultat, was wir schon erhalten haben. 08:43.320 --> 08:46.960 Wir haben aber noch eine wichtige Einsicht in die Struktur der 08:46.960 --> 08:48.580 Verteilung von L1 erhalten. 08:48.580 --> 08:54.460 Wenn wir die Indikatorfunktion des Ereignisses, dass x1 gleich 1 ist, 08:54.800 --> 08:59.860 also der erste Versuch einen Treffer ergibt, mit u abkürzen, so nimmt 08:59.860 --> 09:04.240 u die Werte 1 und 0 an, und zwar mit den Wahrscheinlichkeiten p 09:04.240 --> 09:05.540 beziehungsweise q. 09:06.480 --> 09:10.920 Bezeichnen wir allgemein mit w tau die Anzahl der Versuche bis 09:10.920 --> 09:14.820 einschließlich zum ersten Treffer, bei Bennulli-Versuchen mit 09:14.820 --> 09:19.380 Trefferwahrscheinlichkeit tau, so gilt folgende Verteilungsgleichheit. 09:20.320 --> 09:25.600 Die Zufallsvariable L1 besitzt die gleiche Verteilung, das kennzeichne 09:25.600 --> 09:32.280 ich mit dieser Tilde, wie u mal wq plus 1 minus u mal wp, wobei die 09:32.280 --> 09:36.860 Zufallsvariablen u, wq und wp stochastisch unabhängig sind. 09:37.560 --> 09:38.640 Warum ist das so? 09:39.640 --> 09:45.420 Nun, da u nur die Werte 1 und 0 annimmt, ist de facto nur einer der 09:45.420 --> 09:48.040 Summanden rechts von der Tilde wirksam. 09:48.800 --> 09:53.540 Ist u gleich 1, so fällt der zweite Summand weg, und L1 hat die 09:53.540 --> 09:57.480 gleiche Verteilung wie die Anzahl der Versuche bis zur ersten Niete, 09:57.840 --> 10:01.940 die Trefferwahrscheinlichkeit ist hier gleich q, und im Fall u gleich 10:01.940 --> 10:06.140 0, in dem die Bennulli-Versuche mit einer 0 beginnen, ist nur der 10:06.140 --> 10:10.800 zweite Summand wirksam und hier wartet man auf den ersten Treffer und 10:10.800 --> 10:13.900 die zufällige Wartezeit hierfür ist wp. 10:14.920 --> 10:18.300 Die stochastische Unabhängigkeit dieser drei Zufallsgrößen folgt 10:18.300 --> 10:22.020 daraus, dass die xj alle stochastisch unabhängig sind. 10:22.860 --> 10:27.240 Man nennt übrigens eine solche Darstellung eine Verteilungsmischung. 10:28.040 --> 10:31.100 Man kann sich das Entstehen dieser Verteilung in zwei Stufen 10:31.100 --> 10:31.720 vorstellen. 10:31.720 --> 10:37.220 In der ersten Stufe gibt Meister Zufall das Ergebnis für u an, also 1 10:37.220 --> 10:40.660 oder 0, und dann gibt es zwei verschiedene Würfel. 10:41.200 --> 10:45.240 Würfel 1 zeigt mit Wahrscheinlichkeit q eine 6, Würfel 2 mit 10:45.240 --> 10:46.120 Wahrscheinlichkeit p. 10:46.700 --> 10:51.780 Im Fall u gleich 1 erhält man Würfel 1, im Fall u gleich 0 Würfel 2, 10:52.160 --> 10:55.720 und man wirft dann so lange, bis die erste 6 auftritt. 10:57.300 --> 11:02.240 Als unmittelbare Folgerung erhalten wir den Erwartungswert von L1 auf 11:02.240 --> 11:03.440 eine weitere Weise. 11:04.340 --> 11:10.220 Da die Zufallsgrößen L1 und u mal wq plus 1 minus u mal wp die gleiche 11:10.220 --> 11:13.880 Verteilung besitzen, haben sie auch den gleichen Erwartungswert. 11:14.840 --> 11:18.160 Da der Erwartungswert einer Summe von Zufallsgrößen gleich der Summe 11:18.160 --> 11:22.560 der Erwartungswerte der Summanden ist und der Erwartungswert des 11:22.560 --> 11:26.520 Produktes von unabhängigen Zufallsgrößen gleich dem Produkt der 11:26.520 --> 11:31.640 Erwartungswerte der einzelnen Faktoren ist der Erwartungswert von L1 11:31.640 --> 11:38.100 gleich dem Erwartungswert von u mal dem Erwartungswert von wq plus 1 11:38.100 --> 11:42.160 minus dem Erwartungswert von u mal dem Erwartungswert von wp. 11:42.160 --> 11:48.380 Und da der Erwartungswert von u gleich p ist, ist das gleich p mal 1 11:48.380 --> 11:52.360 durch q plus q mal 1 durch p, was wir schon wissen. 11:53.800 --> 11:57.740 Bevor wir weitermachen, sollte man sich Folgendes vor Augen halten. 11:58.620 --> 12:04.740 Da u nur die Werte 1 und 0 annimmt, gilt zum einen u² gleich u, aber 12:04.740 --> 12:07.860 auch u mal 1 minus u gleich 0. 12:09.120 --> 12:11.920 Wir kommen jetzt zur Varianz von L1. 12:12.520 --> 12:16.040 Hierzu möchte ich zunächst an einige Dinge erinnern, die wir hatten. 12:16.580 --> 12:21.760 Das ist zum einen diese Verteilungsgleichheit und zum anderen diese 12:21.760 --> 12:24.540 Darstellung für den Erwartungswert von L1. 12:25.400 --> 12:29.340 Das zweite Memo betrifft den Erwartungswert und die Varianz der mit w 12:29.340 --> 12:33.880 tau bezeichneten Anzahl von Bernoulli-Versuchen bis der erste Treffer 12:33.880 --> 12:38.420 auftritt, wobei tau die Trefferwahrscheinlichkeit ist und der Versuch, 12:38.480 --> 12:40.860 der den Treffer ergibt, mitgezählt wird. 12:41.520 --> 12:44.060 Diese Größen sind durch diese Formeln gegeben. 12:45.020 --> 12:48.280 Hier kann man sich etwa mein Video über die geometrische Verteilung 12:48.280 --> 12:48.780 ansehen. 12:49.840 --> 12:53.060 Wie kommt man möglichst einfach an die Varianz von L1? 12:53.940 --> 12:58.680 Die Varianz von L1 ist nach einem allgemeinen Sachverhalt gleich dem 12:58.680 --> 13:04.480 Erwartungswert von L1² vermindert um das Quadrat des Erwartungswertes. 13:05.000 --> 13:08.700 Da wir den Erwartungswert schon kennen, kommt es nur auf diesen 13:08.700 --> 13:09.720 Erwartungswert an. 13:10.940 --> 13:14.540 Wegen der Verteilungsgleichheit im ersten Memo gilt dieses 13:14.540 --> 13:18.520 Gleichheitszeichen und jetzt rechnen wir das Quadrat nach der 13:18.520 --> 13:19.940 binomischen Formel aus. 13:19.940 --> 13:26.840 Wegen u² gleich u ist u mal wq in Klammern zum Quadrat gleich u mal 13:26.840 --> 13:33.180 wq² und der gemischte Term fällt wegen u mal 1-u gleich 0 weg. 13:34.040 --> 13:39.800 Es gilt aber auch 1-u in Klammern zum Quadrat gleich 1-u und so bleibt 13:39.800 --> 13:43.120 noch 1-u mal wp² übrig. 13:44.040 --> 13:50.020 Da u, wq und wp stochastisch unabhängig sind, folgt nach den bekannten 13:50.020 --> 13:54.080 Rechenregeln über den Erwartungswert dieses Gleichheitszeichen. 13:55.820 --> 14:00.120 Und jetzt nutzen wir aus, dass der Erwartungswert von u gleich p ist 14:00.120 --> 14:05.040 und der Erwartungswert von wq² gleich der Summe dieser beiden 14:05.040 --> 14:05.980 Ausdrücke ist. 14:06.920 --> 14:10.640 Analog ergibt sich für den zweiten Summanden diese Darstellung. 14:12.620 --> 14:18.060 Nach dem zweiten Memo sind alle auftretenden Größen bekannt und wir 14:18.060 --> 14:19.640 erhalten dieses Gleichheitszeichen. 14:23.390 --> 14:27.590 Mit ein wenig Rechnung ergibt sich jetzt dieser Ausdruck für die 14:27.590 --> 14:28.970 Varianz von L1. 14:30.310 --> 14:34.510 Ein wenig Analysis zeigt, dass die Varianz immer mindestens gleich 2 14:34.510 --> 14:39.010 ist und diese untere Schranke genau dann angenommen wird, wenn p 14:39.010 --> 14:40.230 gleich ein Halb ist. 14:41.470 --> 14:46.710 Wir kommen jetzt zur Verteilung von L2 und betrachten für ein k größer 14:46.710 --> 14:49.710 gleich 1 das Ereignis L2 gleich k. 14:50.670 --> 14:55.170 Dieses zerlegen wir in die beiden sich ausschließenden Fälle, dass der 14:55.170 --> 14:58.890 erste Bernoulli-Versuch einen Treffer oder eine Niete ergibt. 15:00.210 --> 15:04.450 Die Wahrscheinlichkeit, dass der zweite Run die Länge k hat, ergibt 15:04.450 --> 15:07.370 sich damit als Summe von zwei Wahrscheinlichkeiten. 15:07.370 --> 15:11.650 Die Wahrscheinlichkeit, dass x1 gleich 1 ist, ist p. 15:12.570 --> 15:17.190 Irgendwann ist der erste Run beendet, auf dessen Länge kommt es hier 15:17.190 --> 15:21.130 nicht an und dann beginnt der zweite Run und zwar mit einer 0, da der 15:21.130 --> 15:23.090 erste Run mit einer 1 begonnen hat. 15:23.810 --> 15:29.930 Damit dieser zweite Run exakt die Länge k hat, müssen noch k-1 Nullen 15:29.930 --> 15:34.750 hinzukommen und danach muss ein Treffer auftreten, damit ein weiterer 15:34.750 --> 15:35.590 Run beginnt. 15:35.590 --> 15:41.050 Die Wahrscheinlichkeit hierfür ist q hoch k-1 mal p. 15:42.290 --> 15:47.130 Entsprechend argumentiert man nur unter Vertauschung von p und q für 15:47.130 --> 15:52.890 den zweiten Summanden, für den sich q mal p hoch k-1 mal q ergibt. 15:53.990 --> 15:57.110 Wir können das etwas kompakter hinschreiben und erhalten diesen 15:57.110 --> 15:59.510 Ausdruck für die Verteilung von L2. 16:01.570 --> 16:05.910 Ein Stabdiagramm dieser Verteilung sieht für p gleich ein Viertel so 16:05.910 --> 16:06.310 aus. 16:07.350 --> 16:11.310 Man erkennt die große Wahrscheinlichkeit dafür, dass der zweite Run 16:11.310 --> 16:17.610 die Länge 1 hat und das ist noch ausgeprägter, wenn p näher bei 0 oder 16:17.610 --> 16:21.470 1 liegt, denn nach obiger Formel ist diese Wahrscheinlichkeit gleich 16:21.470 --> 16:23.790 p² plus q². 16:24.950 --> 16:29.250 Den Erwartungswert von L2 kann man natürlich wieder analytisch über 16:29.250 --> 16:32.930 die Darstellungsformel Summe aus Wert mal Wahrscheinlichkeit erhalten. 16:33.790 --> 16:37.030 Auch hier kommt man beim Rechnen auf die Ableitung der geometrischen 16:37.030 --> 16:37.410 Reihe. 16:38.470 --> 16:43.010 Nach Aufspalten in zwei Summen und Vorziehen von p² bzw. 16:43.430 --> 16:46.430 q² ergibt sich dieser Ausdruck. 16:48.900 --> 16:55.360 Da 1-q gleich p ist und 1-p gleich q, folgt das schon angekündigte 16:55.360 --> 17:00.640 überraschende Resultat, dass der Erwartungswert von L2 unabhängig von 17:00.640 --> 17:02.120 p gleich 2 ist. 17:04.260 --> 17:07.540 Abschließend möchte ich zeigen, dass man den Erwartungswert von L2 17:07.540 --> 17:12.680 analog wie den von L1 auch auf eine andere Weise erhalten kann und 17:12.680 --> 17:15.900 auch relativ einfach zur Varianz von L2 gelangt. 17:15.900 --> 17:21.080 Ich nehme dazu einmal die verteilungsgleiche Darstellung von L1 auf 17:21.080 --> 17:25.140 die nächste Folie und der Innere an die Definition von u. 17:25.940 --> 17:31.080 Jetzt, und das ist ein interessanter Punkt, erhalten wir für L2 eine 17:31.080 --> 17:33.760 ganz analoge verteilungsgleiche Darstellung. 17:34.420 --> 17:39.940 Ich schreibe sie erst einmal hin, nämlich L2 ist verteilungsgleich mit 17:39.940 --> 17:43.880 u mal Wp plus 1-u mal Wq. 17:43.880 --> 17:45.620 Warum gilt das? 17:46.540 --> 17:50.260 Auch hier sieht man, dass nur einer der Summanden stochastisch wirkt. 17:50.900 --> 17:55.400 Ist u gleich 1, so steht auf der rechten Seite Wp, andernfalls Wq. 17:56.660 --> 18:00.800 Ist nämlich u gleich 1, so besteht der erste Run aus Einsen. 18:01.220 --> 18:05.240 Der zweite Run beginnt damit einer Null und insgesamt besteht er aus 18:05.240 --> 18:10.440 so vielen Nullen, wie man benötigt, um einen Treffer zu erzielen und 18:10.440 --> 18:11.860 damit den Run zu beenden. 18:11.860 --> 18:18.260 Diese Zufallsgröße besitzt aber die Verteilung von Wp, so wie wir Wp 18:18.260 --> 18:19.240 definiert haben. 18:19.860 --> 18:23.240 Genau so argumentiert man für den zweiten Summanden. 18:23.680 --> 18:28.400 Man sieht also, dass eine ganz analoge Darstellung wie für L1 gilt nur 18:28.400 --> 18:32.420 mit dem wichtigen Unterschied, dass p und q vertauscht sind. 18:33.360 --> 18:35.640 Wir können hieraus wichtige Folgerungen ziehen. 18:35.640 --> 18:39.800 Zum einen lässt sich der Erwartungswert einfach ausrechnen, denn 18:39.800 --> 18:44.120 dieses Gleichheitszeichen folgt aus obiger Verteilungsgleichheit und 18:44.120 --> 18:48.080 die schon verwendeten Rechenregeln für die Erwartungswertbildung 18:48.080 --> 18:54.940 liefern dann p mal 1 durch p plus q mal 1 durch q und das ist gleich 18:54.940 --> 18:58.080 2, wie wir schon auf anderem Wege erhalten haben. 18:58.720 --> 19:04.240 Um die Varianz zu bestimmen, gehen wir genauso vor wie bei L1 und 19:04.240 --> 19:07.260 bestimmen erst den Erwartungswert von L2². 19:08.000 --> 19:11.520 Mit obiger verteilungsgleichen Darstellung erhalten wir zunächst 19:11.520 --> 19:16.200 dieses Gleichheitszeichen und die binomische Formel liefert analog zu 19:16.200 --> 19:17.980 vorher diese Gleichheit. 19:18.920 --> 19:24.420 Da wir die Erwartungswerte von Wp² und Wq² kennen und schon verwendet 19:24.420 --> 19:26.880 haben, folgt dieser Ausdruck. 19:27.880 --> 19:35.220 Man beachte hier wieder die stochastische Unabhängigkeit von Wq und Wp 19:35.220 --> 19:39.840 und weiter ergibt sich diese Summe. 19:42.140 --> 19:46.880 Subtrahiert man jetzt das Quadrat des Erwartungswertes, also 4, so 19:46.880 --> 19:49.520 ergibt sich diese Darstellung für die Varianz. 19:50.390 --> 19:55.140 Auch hier zeigt ein wenig Analysis, dass diese Varianz mindestens 19:55.140 --> 19:59.660 gleich 2 ist, wobei die untere Schranke genau dann angenommen wird, 19:59.880 --> 20:01.540 wenn p gleich ½ ist. 20:02.080 --> 20:07.420 Außerdem ist die Varianz von L1 größer oder gleich der Varianz von L2, 20:07.800 --> 20:11.760 wobei das Gleichheitszeichen nur für p gleich ½ eintritt. 20:13.160 --> 20:17.320 Abschließend seien ohne Beweis noch einige weitere Eigenschaften von 20:17.320 --> 20:18.420 Runs angegeben. 20:18.420 --> 20:23.480 Die gemeinsame Verteilung von L1 und L2 ist durch diesen Ausdruck 20:23.480 --> 20:30.260 gegeben und die Kovarianz von L1 und L2 ist 4 minus 1 durch p mal q 20:30.260 --> 20:35.620 und das ist kleiner oder gleich 0 und gleich 0 nur für den Fall p 20:35.620 --> 20:36.320 gleich ½. 20:37.320 --> 20:42.100 Ferner sind L1 und L2 nur für den Fall p gleich ½ stochastisch 20:42.100 --> 20:42.840 unabhängig. 20:43.740 --> 20:48.380 Wenn man sich für weitere Runs interessiert, wird es langweilig, denn 20:48.380 --> 20:52.840 die Länge des dritten Runs hat die gleiche Verteilung wie L1 und die 20:52.840 --> 20:57.100 Länge des vierten Runs die gleiche Verteilung wie die von L2 und so 20:57.100 --> 20:57.440 weiter. 20:58.440 --> 21:03.360 Zu guter Letzt ist die Kovarianz zwischen L1 und L3 gerade das 21:03.360 --> 21:08.680 Negative der Kovarianz zwischen L1 und L2 und damit größer oder gleich 21:08.680 --> 21:08.920 0. 21:08.920 --> 21:15.480 L1 und L3 sind also positiv korreliert, was nach allen angestellten 21:15.480 --> 21:17.640 Überlegungen plausibel sein sollte. 21:19.240 --> 21:22.860 Ich bedanke mich ganz herzlich für das Anschauen des Videos. 21:23.760 --> 21:27.820 Wer hiermit Einsichten in Runs bei Bernoulli-Versuchen erhalten hat, 21:28.300 --> 21:31.560 kann dieses Video natürlich sehr gerne weiterempfehlen.