Bei den Kreisbewegungen wurde die Bewegung eines Massenpunktes auf
einer Kreisbahn untersucht.
Nun stellt man sich vor, dass ein ausgedehnter Körper aus vielen
Massepunkten zusammengesetzt ist.
Damit besteht seine Drehbewegung aus vielen Kreisbewegungen einzelner
Massenpunkte, die sich alle um eine gemeinsame Achse drehen.
Jeder dieser Massenpunkte Mi hat eine individuelle Position innerhalb
des Körpers, die man mithilfe eines Ortsvektors Ri in einem
kathesischen Koordinatensystem beschreiben kann.
Sucht man unabhängig von der Masse der einzelnen Massenpunkte den
geometrischen Mittelpunkt des ausgedehnten Körpers, kann man ihn als
Mittelwert aller Ortsvektoren betrachten, d.h.
man addiert alle Ortsvektoren und dividiert die Summe durch die Anzahl
n der Vektoren.
Die Koordinate des geometrischen Mittelpunktes ist dann R1 plus R2
plus R3 und so weiter bis Rn geteilt durch n.
Nun können aber die einzelnen Punkte verschiedene Massen haben.
Dann ist der räumliche Mittelpunkt nicht unbedingt gleich dem
Mittelpunkt der Massenverteilung.
Um dies zu berücksichtigen, multipliziert man jeden Ortsvektor mit der
dazugehörigen Masse Mi, führt anschließend die Summation durch und
dividiert durch die Gesamtmasse.
So erhält man ein mit der Massenverteilung gewichtetes Mittel der
Ortsvektoren, den Ortsvektor des sogenannten Schwerpunkts oder
Massenmittelpunkts.
Rs ist gleich M1 R1 plus M2 R2 und so weiter bis Mn Rn geteilt durch
die Gesamtmasse.
In einem homogenen Schwerefeld bewegt sich die Seite mit der schweren
Masse nach unten.
Unterstützt man den Körper jedoch genau in seinem Schwerpunkt,
befindet er sich im Gleichgewicht und kippt nicht.
Auch für die allgemeine Betrachtung von Bewegungen ausgedehnter Körper
spielt der Schwerpunkt eine wichtige Rolle.
Denn Bewegungen können in besonders einfacher Weise als Kombination
einer Translationsbewegung des Körperschwerpunkts und einer
Rotationsbewegung des Körpers um diesen Schwerpunkt dargestellt
werden.
Ein Beispiel.
Zwei Kinder möchten so auf einer Wippe sitzen, dass sie ausbalanciert
ist.
Eines der Kinder ist doppelt so schwer wie das andere.
Wo muss der Drehpunkt der Wippe dann liegen?
Für das Berechnen des Schwerpunktes sucht man sich eine geschickte
Lage des gedachten kathesischen Koordinatensystems.
Legt man den Koordinatenursprung z.B.
in das schwerere der beiden Kinder, lässt sich die Lage des
Schwerpunktes Ls folgendermaßen berechnen.
Ls ist 2mk mal 0 m plus mk mal 3 m geteilt durch 2mk plus mk, wobei mk
die Masse des leichteren Kindes sein soll.
Das ist mk mal 3 m durch mk mal 3 und das ist 1 m.
Dies ist der Abstand zwischen dem Koordinatenursprung und dem
Schwerpunkt, hier also der Abstand zwischen dem schwereren Kind und
dem Schwerpunkt.
Wenn das schwerere Kind mit der Masse 2mk einen halb so großen Abstand
vom Drehpunkt hat wie das leichtere Kind, ist die Wippe im Gleichgewicht.