Bewegt sich ein Körper, hat er kinetische Energie.
Die Berechnung der kinetischen Energie bei Parallelverschiebungen oder
Translation haben wir bereits kennengelernt.
Diese kinetische Energie ist gegeben als ½ m mal v².
Wenn ein Massenpunkt sich auf einer Kreisbahn bewegt, können wir für v
die Bahngeschwindigkeit v gleich Ω mal r einsetzen und erhalten die
kinetische Energie des Massenpunktes auf einer Kreisbahn.
Diese kinetische Energie ist an ½ m mal Ω mal r in Klammern zum
Quadrat und das ist ½ mr² mal Ω².
Diese spezielle Form der kinetischen Energie wird auch
Rotationsenergie genannt.
Wie im vorhergehenden Video erläutert wurde, kann man die Bewegung
eines ausgedehnten Körpers beschreiben als Kombination aus einer
Translation des Schwerpunkts und einer Rotation um eine Achse durch
den Schwerpunkt.
Dementsprechend setzt sich die gesamte kinetische Energie zusammen aus
der Translationsenergie des Schwerpunkts und der Rotationsenergie des
Körpers.
In aller Regel verwendet man dafür die verkürzten Schreibweisen e
-trans und e-rot und bezeichnet die gesamte kinetische Energie als e
-kin.
Dann gilt, die kinetische Energie e-kin ist e-trans plus e-rot und das
ist ½ mvs² plus e-rot, wobei vs die Geschwindigkeit des Schwerpunkts
darstellt.
Nach der Aufteilung der Bewegung eines Körpers in einer Translations-
und einer Rotationsbewegung gibt die Rotationsenergie den Teil des
kinetischen Energie eines Körpers an, der aus der Drehung um seinen
Schwerpunkt resultiert.
Jeder Massenpunkt des Körpers trägt zu dieser Energie bei.
Aufgrund einer Drehbewegung mit der Winkelgeschwindigkeit besitzt der
Massenpunkt i die Geschwindigkeit Vi gemäß Vi gleich Omega mal Ri,
wobei Ri die Abstände der Massenpunkte von der Drehachse sind.
Jeder einzelne Massenpunkt hat daher die Rotationsenergie e-rot i
gleich ½ m i Ri² mal Omega².
Die gesamte Rotationsenergie erhält man, wenn man die kinetischen
Energien aller Massenpunkte aufsummiert.
e-rot ist dann die Summe über i gleich 1 bis n von ½ m i Ri² mal
Omega² und da wir das ½ vor die Summe ziehen können und das Omega²
ausklammern, weil es für alle identisch ist, ½ Summe über i m i Ri² in
Klammern mal Omega².
Offenbar trägt ein Massenpunkt umso mehr zur Rotationsenergie bei, je
größer sein Abstand zur Drehachse ist.
Betrachten wir als Beispiel den Unterschied zwischen einem
Hohlzylinder, bei dem die Massenpunkte gleichmäßig verteilt auf dem
Zylindermantel liegen, und einem Vollzylinder, bei dem die
Massenpunkte homogen im Volumen des Zylinders verteilt sind.
Bei identischer Masse und gleicher Rotationsgeschwindigkeit besitzt
der Hohlzylinder eine größere Rotationsenergie als der Vollzylinder,
denn beim Hohlzylinder haben alle Massenpunkte denselben Abstand zur
Drehachse, nämlich den Zylinderradius r, während beim Vollzylinder die
Abstände kleiner oder gleich r sind.
Daher rollt ein Vollzylinder schneller eine schiefe Ebene hinunter als
ein Hohlzylinder.
Beim Herabrollen wird potenzielle Energie in kinetische Energie
umgewandelt.
Dies führt beim Vollzylinder zu einer größeren
Rotationsgeschwindigkeit als beim Hohlzylinder.