WEBVTT 00:07.480 --> 00:10.480 Guten Morgen, meine Damen und Herren, wie erwartet sind nicht allzu 00:10.480 --> 00:10.940 viel da. 00:11.720 --> 00:15.120 Deshalb begrüßen wir jetzt mal ausnahmsweise diejenigen, die uns 00:15.120 --> 00:16.920 später am Bildschirm irgendwie sehen. 00:19.440 --> 00:21.440 Machen wir also den Schlussspurt des Jahres. 00:22.120 --> 00:23.860 Ist heute sonst noch eine Veranstaltung? 00:26.360 --> 00:26.520 Wie? 00:29.120 --> 00:31.040 Ah, da bin ich immerhin nicht der Einzige. 00:32.240 --> 00:38.860 So, in der letzten Vorlesung hatten wir die ebene Bewegung eines 00:38.860 --> 00:49.580 starren Körpers betrachtet und hatten, ich mal das nochmal so an, uns 00:49.580 --> 00:55.100 dazu zunächst mal einen Bezugspunkt, ich habe den mal A genannt, auf 00:55.100 --> 00:56.100 dem Körper gewählt. 00:59.500 --> 01:05.540 Das war dann der Ortsvektor zum Punkt A. 01:06.700 --> 01:21.300 Dann hatten wir den Punkt B und den Vektor von A nach B haben wir als 01:21.300 --> 01:23.400 RAB bezeichnet. 01:23.960 --> 01:29.640 Dann haben wir gesagt, ja gut, wir nehmen mal an. 01:29.920 --> 01:38.900 Hier haben wir ein Massenelement dm und dann ergab sich zunächst 01:44.500 --> 01:48.000 mal für das Massenelement bzw. 01:48.600 --> 01:57.980 dann nach Integration über alle Massenelemente gerade integral über 01:57.980 --> 02:02.720 die gesamte Masse und das war dann die Beschleunigung des Punktes A 02:02.720 --> 02:17.120 plus Omega Punkt Kreuz RAB plus und dann das doppelte Kreuzprodukt 02:17.120 --> 02:37.780 Omega Kreuz Omega Kreuz RAB, DM, gleich Integral über alle äußeren 02:37.780 --> 02:45.680 Kräfte, DFA plus eben ein Integral über die inneren Kräfte, DFI. 02:47.000 --> 02:56.100 Und dann hatten wir gesagt, ja gut, das hier verschwindet, drittes 02:56.100 --> 03:03.960 jüdische Gesetz, und dann, das ergab gerade die Summe aller äußeren am 03:03.960 --> 03:08.740 Körper angreifenden Kräfte, bezeichnen wir das mal mit FA. 03:10.100 --> 03:14.320 Wenn man setzt den einzelnen Integralen auf der linken Seite der 03:14.320 --> 03:28.750 Gleichung zu, dann haben wir zunächst mal Integral AADM integriert 03:28.750 --> 03:30.030 über die gesamte Masse. 03:30.890 --> 03:34.670 Da sehen wir, die Beschleunigung des Punktes A, die ist natürlich 03:34.670 --> 03:37.230 unabhängig davon, welches Massenelement wir betrachten. 03:38.350 --> 03:45.190 Deshalb gibt es AA Integral über die gesamte Masse DM. 03:45.770 --> 03:49.630 Da wissen wir, die Masse integriert gibt gerade die Gesamtmasse des 03:49.630 --> 03:50.070 Körpers. 03:50.670 --> 03:53.810 Das heißt, wenn wir die mit M bezeichnen, erhalten wir an der Stelle M 03:53.810 --> 03:58.070 mal Beschleunigung des Bezugspunktes A. 04:03.320 --> 04:09.280 Dann haben wir als nächstes Omega Punkt Kreuz RAB, also Integral über 04:09.280 --> 04:10.300 die gesamte Masse. 04:11.000 --> 04:15.880 Omega Punkt Kreuz RAB DM. 04:17.280 --> 04:23.940 Nun, da wissen wir, die Winkelbeschleunigung Omega Punkt, das ist ja 04:23.940 --> 04:26.920 eine Größe des Körpers, hängt also auch nicht davon ab, welches 04:26.920 --> 04:28.280 Massenelement wir betrachten. 04:29.560 --> 04:33.320 Deshalb können wir das bei der Integration über die Masse aus dem 04:33.320 --> 04:38.280 Integral rausziehen, sodass dann letztendlich folgt Omega Punkt Kreuz 04:38.280 --> 04:44.800 Integral RAB DM. 04:46.560 --> 04:51.040 Jetzt müssen wir uns wieder an die TM1 zurückerinnern, nämlich das 04:51.040 --> 04:56.460 Integral RAB integriert über alle Massenelemente des Körpers gibt dann 04:56.460 --> 05:01.140 gerade, und so war der Schwerpunkt definiert, Gesamtmasse des Körpers 05:01.140 --> 05:06.360 mal den Vektor vom Bezugspunkt A zum Schwerpunkt S. 05:22.900 --> 05:28.520 Gibt also Das heißt, die Masse war eine Skalargröße, also die könnten 05:28.520 --> 05:31.500 wir jetzt hier stehen lassen oder könnten das rausziehen oder auch 05:31.500 --> 05:32.640 ausklammern, je nachdem. 05:33.640 --> 05:40.980 Kommt noch das Letzte, nämlich Integral, sieht man das von da unten 05:40.980 --> 05:41.280 noch? 05:44.420 --> 05:51.620 Über die gesamte Masse und dann haben wir drinstehen Omega Kreuz Omega 05:51.620 --> 05:57.180 Kreuz RAB DM. 05:58.440 --> 06:06.340 Da sehen wir, das Omega steht ganz auf der Seite, ist konstant für 06:06.340 --> 06:09.160 alle Massenelemente, weil das ja eine Größe des Körpers ist. 06:09.700 --> 06:12.220 Also wir können das erste Omega schon mal rausziehen. 06:13.100 --> 06:17.640 Dann hätten wir Omega Kreuz dem Integral über Omega Kreuz RAB. 06:18.700 --> 06:23.500 Auch da können wir nochmal ein Omega rausziehen, sodass sich 06:23.500 --> 06:35.380 letztendlich ergibt, Omega Kreuz Omega Kreuz Integral über die 06:35.380 --> 06:42.600 Gesamtmasse RAB DM. 06:48.300 --> 06:53.260 Das heißt, Integral RAB DM, das hatten wir hier oben schon, das war 06:53.260 --> 06:57.920 Gesamtmasse mal dem Vektor von Bezugspunkt A zum Schwerpunkt S. 06:58.280 --> 07:08.360 Gibt also dann gerade Omega Kreuz Omega Kreuz Masse mal R von A nach 07:08.360 --> 07:08.680 S. 07:10.000 --> 07:13.560 Wie gesagt, die Masse als Skalargröße, die kann ich wieder 07:13.560 --> 07:18.020 hinschreiben letztendlich und auch aus der Klammer rausziehen, wo ich 07:18.020 --> 07:18.220 will. 07:19.700 --> 07:21.160 Fassen wir mal alles zusammen. 07:34.580 --> 07:42.820 Dann haben wir jetzt Gesamtmasse mal Beschleunigung des Punktes A plus 07:42.820 --> 07:56.260 Masse mal Omega Punkt Kreuz R von A nach S plus Gesamtmasse mal Omega 07:56.260 --> 08:06.540 Kreuz Omega Kreuz RAS gleich Summe aller äußeren Kräfte. 08:08.920 --> 08:12.720 Das heißt, wir können die Masse mal ausdampfen. 08:12.720 --> 08:27.960 Dann haben wir da stehen AA plus Omega Punkt Kreuz RAS plus Omega 08:27.960 --> 08:38.160 Kreuz Omega Kreuz RAS S gleich F A. 08:41.740 --> 08:46.380 Das heißt, wenn wir jetzt mal in Gedanken als Bezugspunkt gerade 08:46.380 --> 08:51.140 unseren Schwerpunkt wählen, dann haben wir hier Beschleunigung des 08:51.140 --> 08:56.000 Schwerpunktes plus Omega-Punkt kreuzt den Vektor vom Schwerpunkt zum 08:56.000 --> 08:58.600 Schwerpunkt, das wäre ja Null, fällt also weg. 08:59.000 --> 09:03.440 Und auch hier R von S nach S wäre Null. 09:05.320 --> 09:09.000 Also dann würde stehen Masse mal Schwerpunktbeschleunigung gleich 09:09.000 --> 09:10.580 Summe aller äußeren Kräfte. 09:12.700 --> 09:15.420 Wir können uns auch ein bisschen allgemeiner auffassen und sagen, ja 09:15.420 --> 09:21.300 gut, in unserer runden Klammer steht ja jetzt gerade drin die 09:21.300 --> 09:24.140 Beschleunigung des Schwerpunktes. 09:25.060 --> 09:25.400 Warum? 09:25.920 --> 09:30.180 Die Beschleunigung des Schwerpunktes ist Beschleunigung des Punktes A 09:30.180 --> 09:35.780 plus Omega-Punkt kreuzt den Vektor von A nach S plus Omega-Kreuz Omega 09:35.780 --> 09:36.980 -Kreuz R A S. 09:37.720 --> 09:38.940 Hatten wir mal hergeleitet. 09:40.400 --> 09:50.700 Also an der Stelle findet sich gerade die Beschleunigung des 09:50.700 --> 09:51.740 Schwerpunktes wieder. 09:56.340 --> 10:08.240 Das heißt, schlussendlich erhalten wir M mal RS2-Punkt oder A von S 10:08.240 --> 10:13.760 gleich Summe aller äußeren Kräfte. 10:15.260 --> 10:18.560 Die Beschleunigung des Schwerpunktes war RS2-Punkt. 10:21.080 --> 10:25.000 Das heißt, das war, was wir zunächst für einen Massenpunkt kennen. 10:25.120 --> 10:27.720 Masse mal Beschleunigung gleich Summe aller äußeren Kräfte. 10:28.020 --> 10:32.140 Heißt jetzt beim starren Körper nicht unbedingt Masse mal 10:32.140 --> 10:35.940 Beschleunigung gleich Summe aller äußeren am Körper angreifenden 10:35.940 --> 10:41.740 Kräfte, sondern wir müssen uns immer klar machen, die Beschleunigung 10:41.740 --> 10:46.260 der einzelnen Punkte eines starren Körpers, die können ja 10:46.260 --> 10:47.220 unterschiedlich sein. 10:48.940 --> 10:53.020 Also müssen wir sagen, Masse mal der Beschleunigung von welchem Punkt 10:53.020 --> 10:56.280 gleich Summe aller äußeren Kräfte und das ist dann eben der 10:56.280 --> 10:56.760 Schwerpunkt. 10:59.880 --> 11:04.120 Und auch das, was wir im Folgenden dann für den Dreilsatz machen, da 11:04.120 --> 11:07.680 bezieht man sich immer am besten auf den Schwerpunkt. 11:08.180 --> 11:12.100 Das ist eine gute Regel für den Studenten, ist dann immer als 11:12.100 --> 11:14.520 Bezugspunkt den Schwerpunkt zu wählen. 11:14.780 --> 11:17.500 Kann mal nicht so falsch sein. 11:18.640 --> 11:22.500 Es sei denn, man hat vielleicht einen Körper, der um den raumfesten 11:22.500 --> 11:24.160 Punkt dreht, wie ein Pendel. 11:24.760 --> 11:27.920 Na gut, dann darf man sich auch mal auf den raumfesten Punkt beziehen. 11:30.640 --> 11:32.260 Gibt es soweit Fragen? 11:34.560 --> 11:44.380 Und man kann das Ganze jetzt natürlich auch im Grunde genommen ein 11:44.380 --> 11:45.600 bisschen anders herleiten. 11:46.360 --> 11:47.780 Ich deute das gerade mal an. 11:48.800 --> 11:56.220 Und zwar, ich nehme mal an, wir haben an der Stelle körperfeste 11:56.220 --> 11:57.160 Koordinaten. 11:58.520 --> 12:04.840 Ich muss die am Punkt A einzeichnen am besten. 12:05.800 --> 12:12.750 Meinetwegen eine Xi-Achse und eine Eta-Achse. 12:13.730 --> 12:20.930 Die Xi-Achse, die schließt jetzt mit unserer X-Achse hier den Winkel 12:20.930 --> 12:23.730 Phi ein. 12:23.870 --> 12:28.030 Das heißt, der Winkel Phi kennzeichnet die Verdrehung unseres Körpers. 12:28.170 --> 12:31.570 Wir haben ja gesagt, eben die Bewegung, da können wir das Ganze, die 12:31.570 --> 12:35.070 Orientierung können wir beschreiben durch einen Verdrehwinkel. 12:35.210 --> 12:36.590 Die Drehachse liegt ja fest. 12:38.270 --> 12:46.350 Und dann sehen wir, die X-Koordinate unseres Massenelementes ist dann 12:46.350 --> 12:58.630 gegeben durch X-A plus, und jetzt sehen wir, in X-Richtung geht noch 12:58.630 --> 13:07.370 die Xi-Koordinate mit Cosinus Phi, also plus Xi, Cosinus Phi. 13:08.450 --> 13:13.950 Die Eta-Koordinate, die geht aber in negative X-Richtung. 13:14.490 --> 13:17.510 Allerdings haben wir da einen Winkel, wir könnten es hier noch mal 13:17.510 --> 13:20.370 einzeichnen, hier war der Winkel Phi, den Sinus Phi. 13:21.230 --> 13:29.990 Also minus Eta, Sinus Phi, das sind jetzt die Beziehungen zwischen der 13:29.990 --> 13:36.650 X -Koordinate des Massenelementes und der X-Koordinate des 13:36.650 --> 13:40.090 Bezugspunktes und der lokalen Koordinaten Xi und Eta. 13:40.650 --> 13:45.630 Und das Y, ganz analog, da haben wir das Y-A plus, 13:49.080 --> 13:55.080 und jetzt sehen wir, der Anteil der Xi-Achse geht ebenfalls in 13:55.080 --> 14:04.240 positive Y-Richtung, allerdings mit dem Sinus von Phi, also Xi, Sinus 14:04.240 --> 14:11.480 Phi und der Anteil aufgrund der Eta-Koordinate, der geht eben 14:11.480 --> 14:18.160 ebenfalls in positive Y-Richtung, also plus Eta, Kosinus Phi. 14:27.220 --> 14:52.970 Wir wissen, x2.dm gleich dfAx plus dfI in X-Richtung und wir wissen, 14:52.970 --> 15:07.030 y2.dm gleich dfAx in Y-Richtung plus dfI in Y-Richtung. 15:10.780 --> 15:12.420 Das heißt, wir brauchen x2. 15:12.700 --> 15:13.600 und y2. 15:13.600 --> 15:17.540 Das wird jetzt an der Stelle ein bisschen aufwendiger. 15:19.740 --> 15:31.960 Da haben wir x2.dm gleich xA.plus und jetzt müssen wir Xi mal Kosinus 15:31.960 --> 15:33.260 Phi nach der Zeit ableiten. 15:33.940 --> 15:39.140 Die Xi-Koordinate, die lokale Koordinate auf dem Körper, die ändert 15:39.140 --> 15:42.720 sich natürlich während der Bewegung nicht, aber der Winkel Phi, der 15:42.720 --> 15:43.520 kann sich ändern. 15:43.980 --> 15:45.680 Also müssen wir Kosinus Phi ableiten. 15:46.200 --> 15:52.260 Das ergibt dann an der Stelle Minus Xi und Kosinus Phi abgeleitet, das 15:52.260 --> 15:57.720 ergibt dann Sinus Phi mal Phi Punkt. 15:58.840 --> 16:04.420 Und bei dem Eta, ganz analog, da müssen wir den Sinus Phi ableiten, 16:04.540 --> 16:09.480 das ergibt dann Minus Eta Phi Punkt Kosinus Phi. 16:12.220 --> 16:13.600 Für das x2. 16:16.560 --> 16:20.140 erhalten wir xA2. 16:21.580 --> 16:24.820 Und jetzt sehen wir, das Xi und das Eta, die sind zwar konstant 16:24.820 --> 16:28.500 bezüglich der Zeit, allerdings haben wir jetzt Phi Punkt mal Sinus Phi 16:28.500 --> 16:28.920 stehen. 16:29.630 --> 16:31.000 Brauchen wir die Produktregel. 16:31.620 --> 16:48.920 Dann ergibt sich Minus Xi Phi 2 Punkt Sinus Phi Minus Xi mal Phi Punkt 16:48.920 --> 16:51.320 mal die Ableitung vom Sinus Phi. 16:51.420 --> 16:55.120 Die Ableitung des Sinus Phi ist aber Phi Punkt mal Kosinus Phi. 16:55.120 --> 16:57.580 Also kommt da noch mal ein Phi Punkt dazu. 16:57.860 --> 17:00.760 Das wird Phi Punkt Quadrat mal Kosinus Phi. 17:02.780 --> 17:06.640 Und dann beim Eta Phi Punkt Kosinus Phi genauso, auch da brauchen wir 17:06.640 --> 17:14.980 die Produktregel, also Minus Eta Phi 2 Punkt Kosinus Phi. 17:17.100 --> 17:22.280 Und den Kosinus Phi abgeleitet, ergibt wieder Minus Phi Punkt mal 17:22.280 --> 17:31.560 Sinus Phi, also Plus Eta Phi Punkt Quadrat Sinus Phi. 17:33.040 --> 17:37.700 Für das Y2 Punkt müssen sie dann entsprechend genauso vorgehen. 17:40.780 --> 17:44.160 Ich spare mir das an der Stelle, wir führen das Ganze durch. 17:44.160 --> 17:50.740 Für das X2 Punkt DM setzen wir es also ein. 17:50.860 --> 18:12.830 Dann haben wir XA2 Punkt Minus XI Phi 2 Punkt Sinus Phi 18:17.170 --> 18:19.830 DM. 18:22.910 --> 18:34.300 Minus XI Phi Punkt Quadrat Kosinus Phi DM. 18:38.080 --> 18:47.780 Minus Eta Phi 2 Punkt Kosinus Phi DM. 18:49.140 --> 18:56.340 Plus Eta Phi Punkt Quadrat Sinus Phi DM. 18:58.780 --> 19:10.690 Gleich DF AX plus DF IX. 19:13.570 --> 19:17.350 Wie gesagt, jetzt haben wir die Beschleunigung in der Beziehung für X2 19:17.350 --> 19:19.170 Punkt DM und so weiter eingesetzt. 19:19.170 --> 19:25.330 Integrieren wieder auf beiden Seiten über den gesamten Körper, das 19:25.330 --> 19:28.010 heißt zunächst mal links über die gesamte Masse. 19:39.120 --> 19:41.140 Und integrieren auch rechts. 19:42.160 --> 19:46.700 Auch hier gilt natürlich, dass die inneren Kräfte sich gegenseitig 19:46.700 --> 19:50.480 wegheben, hier jetzt komponentenweise für die X-Komponente. 19:50.480 --> 20:02.800 Das heißt, es bleibt nur noch übrig an der Stelle die Summe aller 20:02.800 --> 20:04.540 äußeren Kräfte in X-Richtung. 20:06.500 --> 20:10.380 Und wenn wir jetzt mal die einzelnen Integrale anschauen, dann sehen 20:10.380 --> 20:14.420 wir XA2 Punkt ist natürlich dasselbe, egal welches Masselement wir 20:14.420 --> 20:14.960 betrachten. 20:14.960 --> 20:21.540 Sodass sich insgesamt für das erste Integral ergibt M mal XA2 Punkt. 20:22.500 --> 20:30.000 Für das zweite Integral, da sehen wir Phi 2 Punkt und Sinus Phi. 20:31.940 --> 20:35.860 Das ist ja die Winkelbeschleunigung und Phi war der Verdrehwinkel des 20:35.860 --> 20:36.340 Körpers. 20:36.880 --> 20:40.260 Die beiden Größen sind also völlig unabhängig davon welches 20:40.260 --> 20:41.480 Masselement wir betrachten. 20:41.480 --> 20:46.420 Die können wir ausklammern, dann steht noch innen drin Integral XIDM. 20:47.040 --> 20:51.920 Integral XIDM war aber gerade wieder Gesamtmasse des Körpers mal der 20:51.920 --> 20:57.640 Koordinate XIS, also die XI-Koordinate des Schwerpunktes. 20:57.640 --> 21:09.060 Also steht hier M Phi 2 Punkt Sinus Phi mal XIS. 21:11.060 --> 21:14.960 Ähnlich an der Stelle, da haben wir Phi Punkt Quadrat Kosinus Phi, die 21:14.960 --> 21:16.580 können wir aus dem Integral rausziehen. 21:16.980 --> 21:20.800 Bleibt noch steht Integral XIDM, das war Masse mal XIS. 21:20.800 --> 21:32.340 Also steht an der Stelle M Phi Punkt Quadrat Kosinus Phi mal XIS. 21:36.020 --> 21:40.760 Und ganz analog steht an der Stelle, ich schreibe es jetzt mal ein 21:40.760 --> 21:41.280 bisschen kleiner. 21:43.140 --> 21:46.240 Phi 2 Punkt Kosinus Phi können wir vor das Integral ziehen. 21:46.340 --> 21:50.840 Integral ETADM gibt gerade wieder Gesamtmasse mal ETAS. 21:50.840 --> 21:59.720 Also M mal Phi 2 Punkt Kosinus Phi mal der Schwerpunktkoordinate ETAS. 22:00.820 --> 22:04.340 Und auch beim letzten Integral sieht es ganz ähnlich aus. 22:04.520 --> 22:10.960 M mal Phi Punkt Quadrat Sinus Phi Schwerpunktkoordinate ETAS. 22:11.960 --> 22:19.600 Und wir sehen, es ergibt sich für 22:23.170 --> 22:30.210 A gleich S, wenn wir als Bezugspunkt den Schwerpunkt wählen, aus dem 22:30.210 --> 22:34.570 ersten Integral M mal XS 2 Punkt. 22:36.310 --> 22:41.830 XIS, die XI Koordinate vom Bezugspunkt zum Schwerpunkt, die ist dann 22:41.830 --> 22:42.510 allerdings 0. 22:42.510 --> 22:45.650 Also die beiden Terme fallen raus. 22:46.250 --> 22:51.550 Das ETAS ist ebenfalls 0, also auch die beiden letzten Terme fallen 22:51.550 --> 22:52.010 dann weg. 22:52.290 --> 23:00.210 Sodass noch stehen bleibt von der rechten Seite gleich F A X. 23:01.270 --> 23:08.770 Und in Y-Richtung wird es ganz analog gehen, sodass sich dort ergibt M 23:08.770 --> 23:17.070 mal YS 2 Punkt gleich Summe aller äußeren Kräfte in Y-Richtung. 23:40.720 --> 23:42.660 Was zeigt uns das? 23:45.570 --> 23:50.470 Nun kommen wir wieder an der Stelle zurück auf unseren starren Körper, 23:50.930 --> 23:53.130 der um eine raumfeste Achse rotiert. 23:53.990 --> 23:55.370 Das war unser erster Sonderfall. 23:56.250 --> 23:58.610 Dort hat uns der Schwerpunkt gar nicht so interessiert. 23:58.710 --> 23:58.890 Warum? 23:58.970 --> 24:02.950 Wir haben gesagt, Drehung um eine raumfeste Achse, da genügt es, wenn 24:02.950 --> 24:07.530 wir die Momentbilanz in Richtung der Drehachse auswerten. 24:08.390 --> 24:10.630 Um die Bewegung selbst zu bestimmen. 24:11.450 --> 24:13.470 Dass dann auch Lagerkräfte usw. 24:13.650 --> 24:16.250 auftreten können aufgrund der Schleudermomente, das hatten wir ein 24:16.250 --> 24:16.770 bisschen angedeutet. 24:17.810 --> 24:24.770 An der Stelle sehen wir aber, wenn der Schwerpunkt S auf der Drehachse 24:24.770 --> 24:28.730 liegt, dann ist der Schwerpunkt nicht beschleunigt. 24:30.190 --> 24:35.210 Das heißt, die Summe aller äußeren Kräfte, wenn wir die Gewichtskräfte 24:35.210 --> 24:35.590 z.B. 24:35.730 --> 24:39.550 mal vernachlässigen, aber zumindest die Summe der äußeren Kräfte 24:39.550 --> 24:43.230 aufgrund der Bewegung, die muss null sein. 24:46.950 --> 24:50.550 Allerdings müssen wir an der Stelle vorsichtig sein, das heißt nicht, 24:51.130 --> 24:57.030 dass die Lagerkräfte verschwinden, sondern nur die Summe der 24:57.030 --> 24:57.710 Lagerkräfte. 24:58.730 --> 25:01.690 Auch das hatte ich mal versucht ein bisschen zu motivieren. 25:02.910 --> 25:13.630 Also bei Drehung um eine raumfeste Achse 25:28.920 --> 25:33.960 liegt S auf der Drehachse. 25:41.620 --> 25:46.780 Dann ist die Schwerpunktsbeschleunigung gleich null. 25:50.040 --> 25:50.820 Das heißt, 25:54.450 --> 26:06.010 äußere Kräfte gleich null. 26:07.910 --> 26:11.450 Also eine eventuelle Gewichtskraft würde dann durch Lagerkräfte 26:11.450 --> 26:12.830 natürlich ausgeglichen. 26:21.050 --> 26:23.390 Dies heißt aber nicht, 26:32.730 --> 26:34.790 dass die Lagerkräfte null sind. 26:42.400 --> 26:45.600 Das kennen all diejenigen, die mal mit einem Auto gefahren sind, wo 26:45.600 --> 26:47.640 die Reifen nicht richtig ausgewuchtet sind. 26:50.910 --> 26:55.450 Und beim Autoreifen, selbst wenn der Schwerpunkt auf der Drehachse 26:55.450 --> 26:58.970 liegt, was passiert, wenn der Reifen nicht ganz ausgewuchtet ist? 26:59.090 --> 27:03.930 Dann fängt bei großen Geschwindigkeiten plötzlich an, das Lenkrad zu 27:03.930 --> 27:04.310 wackeln. 27:05.310 --> 27:05.510 Warum? 27:06.750 --> 27:11.570 Nun, weil natürlich von der Radaufhängung dann auf die Reifen ein 27:11.570 --> 27:13.130 Moment ausgeübt werden muss. 27:13.410 --> 27:14.690 Das werden wir noch sehen nächstes Semester. 27:17.970 --> 27:23.550 Und das Moment, was dann von der Radaufhängung kommt, das wird mehr 27:23.550 --> 27:25.910 oder weniger dann auch zum Teil durch die Lenkung vorgegeben. 27:27.630 --> 27:29.230 Hat das jemand schon mal erlebt? 27:30.270 --> 27:30.790 Nicht? 27:31.290 --> 27:31.750 Na ja, gut. 27:40.690 --> 27:44.730 Nun, wenn der Schwerpunkt außerhalb der Drehachse liegt 28:10.340 --> 28:14.540 und der Körper rotiert um eine raumfeste Achse, dann bewegt sich der 28:14.540 --> 28:15.940 Schwerpunkt auf einer Kreisbahn. 28:16.840 --> 28:20.520 Wir wissen, auf einer Kreisbahn haben wir immer eine Beschleunigung, 28:20.660 --> 28:22.400 zumindest eine Zentripetalbeschleunigung. 28:23.680 --> 28:30.380 Das heißt, RS2-Punkt, Gesundheit ist auf jeden Fall ungleich null. 28:31.280 --> 28:34.720 Das heißt, die Lagerkräfte können nicht verschwinden. 29:04.690 --> 29:06.270 Gibt es soweit noch Fragen? 29:08.570 --> 29:12.630 Wenn nicht, dann kommen wir jetzt zum Trallsatz in differenzieller 29:12.630 --> 29:12.990 Form. 29:33.300 --> 29:35.290 Gehen wir wieder vom Massenelement aus. 29:37.460 --> 29:39.620 Links oben haben wir ja die Zeichnung dazu. 29:40.620 --> 29:41.800 Dann wissen wir, 29:45.680 --> 29:55.640 für die M gilt, dass eben der differenzielle Trall unseres 29:55.640 --> 30:01.520 Massenelementes bezüglich dem Bezugspunkt O, abgeleitet nach der Zeit, 30:06.530 --> 30:16.510 gerade ergeben muss, die Momente, die auf das Massenelement wirken, 30:17.250 --> 30:20.930 ebenfalls bezüglich dem Bezugspunkt O. 30:29.860 --> 30:43.840 Wir wissen, der differenzielle Trall bezüglich O, der war R-Kreuz VDM, 30:46.400 --> 30:52.060 der Vektor von O zum Massenelement, Kreuz V, die Geschwindigkeit des 30:52.060 --> 30:54.180 Massenelementes, DM. 30:55.740 --> 31:00.440 Jetzt sehen wir, der Vektor R, der setzt sich zusammen aus dem Vektor 31:00.440 --> 31:03.160 zum Punkt A plus dem Vektor RAB. 31:05.320 --> 31:20.400 Also gleich RA plus RAB, Kreuz, und die Geschwindigkeit des 31:20.400 --> 31:24.960 Massenelementes, auch das hatten wir hergeleitet, war dann 31:24.960 --> 31:37.180 Geschwindigkeit des Bezugspunktes A plus Omega-Kreuz RAB, DM. 31:56.060 --> 31:58.220 Setzen wir das mal ein. 32:01.750 --> 32:23.050 Dann haben wir also DT von DL, das ergibt RA Kreuz VA plus RA Kreuz 32:23.050 --> 32:33.830 Omega Kreuz RAB plus RAB Kreuz VA plus RAB Kreuz Omega Kreuz RAB. 32:35.250 --> 32:38.150 Also eine ganze Menge Terme, geben wir die mal an. 32:43.150 --> 32:56.470 DM, RA, Kreuz, VA und ich schreibe jetzt gleich mal dahinter DM. 32:58.090 --> 33:00.570 Dann haben wir plus RA 33:03.950 --> 33:11.410 Kreuz, dem Kreuzprodukt von Omega mit RAB. 33:20.720 --> 33:25.700 Dann haben wir RAB Kreuz VA und 33:36.000 --> 33:38.960 dann noch RAB Kreuz, dem Kreuzprodukt. 33:56.770 --> 34:05.170 Gleich und die Momente auf das Massenelement bezüglich O, die 34:05.170 --> 34:07.990 unterteilen wir wieder in innere Momente und äußere Momente. 34:09.270 --> 34:22.610 Also DM bezüglich O äußere plus DM bezüglich O innere. 34:26.150 --> 34:29.070 Wie gesagt, haben wir das für das einzelne Massenelement eingesetzt. 34:30.610 --> 34:34.650 Jetzt integrieren wir wieder über alle Massenelemente. 34:35.390 --> 34:41.290 Nun die Zeitintegration, da können wir das Integral reinziehen, da 34:41.290 --> 34:43.750 unsere Integrationsgrenzen ja nicht von der Zeit abhängen. 34:43.750 --> 34:50.930 Also haben wir hier Integral über die gesamte Masse, Integral über die 34:50.930 --> 34:58.790 gesamte Masse, Integral über die gesamte Masse und auch hier Integral 34:58.790 --> 35:03.450 über die gesamte Masse. 35:04.410 --> 35:09.900 Auch rechts dann die Integrale. 35:15.860 --> 35:17.100 Nun auf der rechten Seite, 35:22.100 --> 35:25.760 da können wir jetzt wieder untersuchen, wie sieht es eigentlich aus 35:25.760 --> 35:28.700 mit unseren inneren Momenten. 35:29.620 --> 35:33.700 Wenn der Spannungstensor symmetrisch ist, das hatten wir schon bei der 35:33.700 --> 35:37.500 Drehung eines starren Körpers um eine raumfeste Achse gehabt. 35:38.440 --> 35:42.900 Wenn der Spannungstensor symmetrisch ist, dann heben sich die inneren 35:42.900 --> 35:44.020 Momente gerade weg. 35:44.880 --> 35:48.480 Aber die Symmetrie des Spannungstensors hatten wir ja vielleicht in 35:48.480 --> 35:52.280 der TM2 gerade damit hergeleitet, dass wir eine Momentenbilanz gemacht 35:52.280 --> 35:52.540 haben. 35:53.180 --> 35:56.200 Also haben wir eigentlich den Trailsatz wieder vorausgesetzt und 35:56.200 --> 36:00.420 gesagt, die inneren Momente spielen keine Rolle. 36:00.420 --> 36:07.580 Also letztendlich der letzte Anteil, der fällt weg. 36:13.430 --> 36:18.710 Entweder, dass wir das direkt als Axiom formulieren oder die Symmetrie 36:18.710 --> 36:21.670 des Spannungstensors als Axiom einführen. 36:22.810 --> 36:26.050 Letztendlich können wir das nicht beweisen, sondern die Erfahrung 36:26.050 --> 36:27.650 zeigt, dass wir da richtig liegen. 36:28.650 --> 36:35.810 Und die äußeren Momente integriert gibt natürlich gerade die äußeren 36:35.810 --> 36:44.350 Momente bezüglich unseres Bezugspunktes O. 36:46.690 --> 36:51.270 Wie sieht es jetzt aus mit den einzelnen Integralen, die auf der 36:51.270 --> 36:52.430 linken Seite auftreten? 36:54.070 --> 36:59.830 Da sehen wir, der Vektor vom Ursprung zum Bezugspunkt A, das ist immer 36:59.830 --> 37:03.010 dasselbe, egal welches Massenelement wir betrachten. 37:03.990 --> 37:07.870 Die Geschwindigkeit des Punktes A für die gilt genau dasselbe, völlig 37:07.870 --> 37:09.070 unabhängig von dm. 37:09.530 --> 37:13.670 Das heißt, die beiden Größen können wir rausziehen aus dem Integral RA 37:13.670 --> 37:14.630 Kreuz VA. 37:15.210 --> 37:19.070 Dann bleibt noch stehen Integral dm, integriert über die gesamte 37:19.070 --> 37:19.370 Masse. 37:19.370 --> 37:21.630 Das war wieder die Gesamtmasse des Körpers. 37:22.330 --> 37:31.370 Also steht an der Stelle mRA Kreuz 37:35.140 --> 37:38.980 VA. 37:43.720 --> 37:46.060 Dann schauen wir das zweite Integral an. 37:47.080 --> 37:53.360 Der Vektor zum Bezugspunkt A ist unabhängig vom Massenelement dm. 37:53.900 --> 37:56.120 Also den können wir schon mal vor das Integral ziehen. 37:56.600 --> 38:00.480 Dann bleibt stehen RA Kreuz dem Integral Omega Kreuz RA B. 38:00.880 --> 38:04.740 Aber auch Omega, die Winkelgeschwindigkeit des Körpers, ist dieselbe 38:04.740 --> 38:05.900 für alle Massenelemente. 38:06.740 --> 38:08.780 Also können wir auch noch das Omega rausziehen. 38:08.780 --> 38:18.280 Dann bleibt stehen RA Kreuz Omega Kreuz dem Integral RA B dm. 38:18.780 --> 38:24.060 Und das Integral RA B dm, integriert über die gesamte Masse, hatten 38:24.060 --> 38:25.420 wir auch schon beim Impulssatz. 38:26.780 --> 38:31.600 Das gibt gerade Gesamtmasse des Körpers mal den Vektor vom Bezugspunkt 38:31.600 --> 38:33.500 A zum Schwerpunkt S. 38:34.440 --> 38:53.910 Sodass also hier steht RA Kreuz Omega Kreuz m mal r AS. 38:59.680 --> 39:02.120 Kommen wir zum dritten Integral. 39:04.620 --> 39:06.840 Und da steht RA B. 39:07.040 --> 39:10.600 RA B hängt natürlich vom Massenelement m dm ab. 39:10.940 --> 39:15.400 Aber wir wissen, das VA steht jetzt praktisch auch auf der Seite. 39:15.980 --> 39:19.420 Das ist unabhängig von dm. 39:20.900 --> 39:26.940 Also können wir das schreiben als Integral RA B dm Kreuz VA. 39:28.000 --> 39:36.160 Und Integral RA B dm war wieder Masse mal Vektor von A nach S. 39:36.160 --> 39:41.580 Und jetzt steht hier Kreuz VA. 39:46.770 --> 39:55.050 Und an der Stelle wird es jetzt nicht ganz so einfach. 39:55.750 --> 39:58.910 Das wird uns dann auch im nächsten Semester beschäftigen, weil der 39:58.910 --> 40:04.010 Term natürlich bei einer allgemeinen räumlichen Bewegung des starren 40:04.010 --> 40:05.310 Körpers genauso auftritt. 40:07.590 --> 40:10.350 Wir haben ja zunächst mal an der Stelle noch nichts vorausgesetzt. 40:11.210 --> 40:14.890 Bei unserem Trall, dass eine ebene Bewegung vorliegt. 40:15.230 --> 40:17.250 Also gilt es auch für eine räumliche Bewegung. 40:17.790 --> 40:21.150 Und da wird das Integral hier nicht mehr ganz so einfach zu lösen 40:21.150 --> 40:24.750 sein, weil das RA B hängt ja von dm ab. 40:25.410 --> 40:28.210 Und rechts, das was rechts steht, hängt auch von dm ab. 40:28.290 --> 40:29.770 Das Omega steht in der Mitte. 40:30.250 --> 40:34.070 Das können wir also gar nicht so ohne weiteres aus dem Integral 40:34.070 --> 40:34.630 rausziehen. 40:36.430 --> 40:40.090 Das kommt dann erst im nächsten Semester. 40:42.630 --> 40:47.370 Was wir aber an der Stelle schon mal ein bisschen vereinfachen können 40:47.370 --> 40:55.910 ist, wir haben jetzt einen allgemeinen Bezugspunkt A gewählt und einen 40:55.910 --> 41:00.610 allgemeinen Bezugspunkt O. 41:02.050 --> 41:06.510 Jetzt hatten wir gesehen bei Massenpunktsystemen, dass man den 41:06.510 --> 41:08.310 raumfesten Punkt O wählen kann. 41:08.530 --> 41:17.670 Oder wenn man den bewegten Bezugspunkt wählt, dann wählt man am besten 41:17.670 --> 41:18.450 den Schwerpunkt. 41:20.650 --> 41:22.030 Das darf man auch machen. 41:24.270 --> 41:24.830 Also, 41:34.260 --> 41:36.620 ich schreibe jetzt mal auf der linken Seite weiter. 42:47.690 --> 43:04.010 Jetzt haben wir also d nach dt für O gleich S und A gleich S. 43:05.130 --> 43:05.990 Was haben wir da? 43:09.450 --> 43:17.290 Der Vektor vom Bezugspunkt O zum Bezugspunkt A auf dem starren Körper. 43:17.290 --> 43:18.930 Das war ja S. 43:19.610 --> 43:20.490 Die sind dann gleich. 43:20.850 --> 43:24.550 Also ra ist für diesen Fall gerade 0. 43:25.050 --> 43:27.070 Das heißt, der erste Term verschwindet. 43:28.670 --> 43:32.390 Dann verschwindet auch der zweite Term, weil auch da das ra drin 43:32.390 --> 43:32.730 steht. 43:36.780 --> 43:42.820 Der Vektor ras, der im dritten Term drin steckt, auch der 43:42.820 --> 43:45.440 verschwindet, weil ja a gleich s ist. 43:45.440 --> 43:51.880 Das heißt, es bleibt lediglich übrig Integral ra b Kreuz Omega Kreuz 43:51.880 --> 43:53.820 ra b dm. 43:54.200 --> 43:55.420 Davon die Zeitableitung 44:18.200 --> 44:26.260 gleich Summe aller äußeren Momente. 44:26.540 --> 44:28.760 Und als Bezugspunkt hatten wir ja den Schwerpunkt gewählt. 44:31.240 --> 44:37.920 Und an der Stelle benutzen wir jetzt wirklich die Voraussetzung, dass 44:37.920 --> 44:41.940 wir nämlich sagen, wir haben eine ebene Bewegung. 44:46.560 --> 44:47.660 Das heißt, 44:57.500 --> 45:07.440 unser Omega ist dann Omega mal EZ oder EZeta, je nachdem wie wir das 45:07.440 --> 45:08.900 nennen wollen. 45:12.400 --> 45:16.380 Und wenn wir jetzt mal annehmen, wir haben zunächst mal eine ebene 45:16.380 --> 45:19.000 Scheibenbewegung, also eine ganz dünne Scheibe. 45:19.000 --> 45:25.220 Das hat den Vorteil, das hatte ich schon mal bei der Bewegung des 45:25.220 --> 45:27.660 starren Körpers um eine raumfeste Achse erklärt. 45:27.980 --> 45:31.920 Wenn wir eine ebene Scheibenbewegung haben, dann treten die 45:31.920 --> 45:33.600 Zentrifugalmomente nicht auf. 45:33.600 --> 45:42.460 Dann würde also gelten ra b gleich r er. 45:59.790 --> 46:09.670 er wäre dann ein Einheitsvektor in Richtung des Vektors ra b. 46:12.010 --> 46:17.850 E phi, dann ein Einheitsvektor, der senkrecht drauf steht. 46:18.470 --> 46:19.690 Warum zeichne ich den ein? 46:20.310 --> 46:22.730 Nun, weil wir den letztendlich dann brauchen, wenn wir das 46:22.730 --> 46:26.110 Kreuzprodukt auswerten. 46:26.930 --> 46:33.010 Das EZ oder EZeta, das war ja die Richtung der Winkelgeschwindigkeit 46:33.010 --> 46:35.690 und die war senkrecht auf die Bewegungsebene. 46:43.620 --> 46:45.820 Das heißt, wenn wir das so einführen, 46:52.460 --> 47:12.100 dann sehen wir Omega Kreuz ra b ist dann gerade Omega EZ Kreuz r er. 47:15.670 --> 47:23.370 Und das ergibt EZ Kreuz er ergibt E phi, also Omega r E phi. 47:31.460 --> 47:56.700 Und r a b Kreuz Omega Kreuz r a b ergibt dann r e r Kreuz. 47:57.680 --> 48:04.760 Und jetzt haben wir hier Omega Kreuz r a b war Omega r e phi. 48:07.650 --> 48:09.090 Haben wir es schon ausgewertet. 48:13.310 --> 48:19.370 Und wir sehen, das ergibt Omega r Quadrat 48:23.620 --> 48:28.280 er Kreuz e phi ergibt... 48:30.340 --> 48:33.640 Moment, jetzt habe ich auch einen Fehler gemacht. 48:40.480 --> 48:44.720 E r e phi E Z. 48:57.380 --> 49:05.820 Und wir sehen, wenn wir den Ausdruck hier einsetzen, dann ist das 49:05.820 --> 49:09.180 Omega und das EZ, die sind unabhängig von dm. 49:09.780 --> 49:14.100 Die können wir also schon mal rausziehen. 49:15.280 --> 49:18.020 Dann würde dringend vorkommen, jetzt mache ich es doch mal auch auf 49:18.020 --> 49:18.780 den rechten Moment. 50:28.660 --> 50:36.640 Also, das war jetzt immer noch ebene Scheibenbewegung. 50:47.950 --> 50:49.330 Körper hat keine Dicke. 50:59.140 --> 51:00.700 Dann können wir das einsetzen. 51:00.700 --> 51:11.640 Das heißt, wir haben dann d nach dt von Integral über die Gesamtmasse. 51:11.700 --> 51:12.680 Und was hatten wir drin stehen? 51:13.320 --> 51:17.900 Omega r Quadrat E Z dm 51:22.850 --> 51:33.430 gleich Summe aller äußeren Momente bezüglich dem Schwerpunkt. 51:33.430 --> 51:38.710 Und wir sehen das Integral ausgewertet, da können wir jetzt schreiben. 51:41.810 --> 51:47.990 Das ist Omega E Z, die beiden Größen können wir vor das Integral 51:47.990 --> 51:53.930 schreiben, weil die konstant sind, egal welches dm wir betrachten. 51:54.470 --> 51:58.650 Und dann bleibt noch stehen, Integral über die Gesamtmasse r Quadrat 51:58.650 --> 52:01.090 dm. 52:05.110 --> 52:09.650 r war der Abstand des Massenelementes zum Schwerpunkt. 52:11.430 --> 52:13.870 Und jetzt sehen wir Integral r Quadrat dm. 52:15.210 --> 52:17.450 Das ist eine altbekannte Größe. 52:18.470 --> 52:25.130 Das ist nämlich gerade das Massenträgheitsmoment des Körpers für eine 52:25.130 --> 52:29.930 Achse, die durch den Schwerpunkt geht und parallel zur Z-Achse 52:29.930 --> 52:30.350 verläuft. 52:31.470 --> 52:41.270 Also, das war Theta S Omega E Z, 52:44.370 --> 52:53.030 sodass wir letztendlich erhalten d nach dt von diesem Ausdruck. 52:53.090 --> 52:56.650 Da sehen wir, das Theta S ist konstant bei einem Schlagkörper, das E Z 52:56.650 --> 52:58.810 ist konstant bezüglich der Zeit. 52:58.810 --> 53:12.570 Dann ergibt die Zeitableitung Theta S Omega Punkt E Z gleich Summe 53:12.570 --> 53:15.650 aller äußeren Momente bezüglich O. 53:15.790 --> 53:21.330 Man sieht, die könnten dann natürlich auch nur bezüglich der Z-Achse 53:21.330 --> 53:21.630 sein. 53:23.210 --> 53:32.170 Das heißt, skalar geschrieben können wir dann auswerten Theta S mal 53:32.170 --> 53:38.630 Omega Punkt gleich Summe der äußeren Momente bezüglich dem 53:38.630 --> 53:39.270 Schwerpunkt. 53:39.970 --> 53:42.750 Und dann natürlich ausgewertet, wie Sie es schon bei einem ebenen 53:42.750 --> 53:43.770 Körper in der Statik kennen. 53:51.770 --> 53:55.710 Jetzt kommt natürlich die große Frage, was passiert eigentlich, wenn 53:55.710 --> 53:57.870 unser Körper nicht eine dünne Scheibe ist? 53:57.990 --> 54:01.040 Sondern auch ein bisschen in der dicken Richtung ausgedehnt. 54:02.270 --> 54:06.310 Und vielleicht gar nicht bezüglich der Dicke konstant oder wie auch 54:06.310 --> 54:06.490 immer. 54:08.330 --> 54:14.070 Dann kommt hier hinzu beim RAB plus Z E Z. 54:20.730 --> 54:27.290 Dann sehen wir, hier haben wir Omega Kreuz RAB, also kommt hier hinzu 54:27.290 --> 54:30.430 plus Z E Z. 54:34.170 --> 54:37.530 Und an der Stelle haben wir noch keine Auswirkung. 54:37.670 --> 54:37.850 Warum? 54:39.150 --> 54:45.530 E Z Kreuz E Z gibt gerade Null, also es bleibt derselbe Wert stehen. 54:46.650 --> 54:47.830 Omega R E Phi. 54:48.930 --> 54:52.610 Wo jetzt allerdings was hinzukommt, das ist in der letzten Zeile hier. 54:52.610 --> 54:58.950 Da haben wir nämlich plus Z E Z. 55:03.280 --> 55:11.460 Und dann sehen wir E Z Kreuz E Phi ergibt minus E R, ergibt also an 55:11.460 --> 55:19.520 der Stelle minus Z R Omega E 55:24.050 --> 55:24.370 R. 55:33.770 --> 55:41.690 Das heißt, bei einem dicken Körper haben 55:53.620 --> 56:01.740 wir jetzt Integral Omega R Quadrat E Z. 56:05.060 --> 56:14.600 Dm minus Z R Omega E 56:20.390 --> 56:20.710 R. 56:22.090 --> 56:28.010 Dm davon die Zeitableitung gleich 56:32.060 --> 56:35.880 Summe aller äußeren Momente bezüglich S. 56:40.080 --> 56:47.040 Und jetzt sehen wir, beim ersten Integral, da können wir das Omega E Z 56:47.040 --> 56:47.670 wieder ausklammern. 56:48.940 --> 56:51.940 Dann steht hier Integral R Quadrat Dm. 56:52.380 --> 56:55.460 Das gibt dasselbe wie wir zuvor hatten bei der Zeitableitung. 56:55.460 --> 57:03.460 Es gibt also Theta S Omega Punkt E Z. 57:06.860 --> 57:07.460 Minus. 57:12.420 --> 57:16.160 Und jetzt kommt Integral. 57:17.320 --> 57:19.700 Und jetzt ziehen wir mal die Zeitableitung da rein. 57:19.780 --> 57:20.440 Was haben wir dann? 57:21.140 --> 57:22.480 Und da müssen wir aufpassen. 57:24.620 --> 57:25.500 Warum? 57:25.900 --> 57:28.760 Z und R sind wahrzeitlich konstant. 57:29.460 --> 57:36.240 Aber das Omega und das E R sind beides zeitabhängige Größen, weil sich 57:36.240 --> 57:38.660 die Orientierung des Einheitsvektors ändert. 57:38.660 --> 57:47.760 Also haben wir an der Stelle minus Z R Omega Punkt E R. 57:49.740 --> 57:52.760 Und E R Punkt, was war das? 57:52.800 --> 57:54.400 Das war Omega mal E Phi. 57:55.260 --> 58:02.380 Also plus Z R Omega Quadrat E Phi. 58:04.440 --> 58:12.480 E Phi Dm, integriert über die gesamte Masse, gleich. 58:17.780 --> 58:25.380 Und jetzt splitte ich das Moment, das Äußere, wieder auf in einen 58:25.380 --> 58:28.740 Anteil in der R Phi Ebene. 58:30.260 --> 58:34.320 Und in einen Anteil in 58:37.420 --> 58:38.180 Z -Richtung. 58:39.580 --> 58:40.140 Warum? 58:41.380 --> 58:45.080 Jetzt sehen wir, wie schon bei der Rotation des starren Körpers um die 58:45.080 --> 58:45.960 raumfeste Achse. 58:47.600 --> 58:50.920 Hier haben wir E R und E Phi, beide hängen von Dm ab. 58:51.380 --> 58:54.420 Also die Auswertung dieses Integrals wird etwas komplizierter. 58:55.680 --> 58:59.040 An der Stelle ergeben sich wieder die sogenannten Schleudermomente. 58:59.040 --> 59:02.760 Das sind Momente, die in der R Phi Ebene drin liegen. 59:05.990 --> 59:08.910 Und dann haben wir noch alles in Z-Richtung. 59:10.010 --> 59:15.350 Und jetzt sehen wir, zumindest die Bilanz in Z-Richtung, die können 59:15.350 --> 59:15.910 wir machen. 59:18.490 --> 59:19.610 Nämlich, 59:26.740 --> 59:37.360 aus der Z-Richtung folgt jetzt das Theta S mal Omega Punkt gleich 59:37.360 --> 59:46.000 Summe der äußeren Momente bezüglich S in Z-Richtung. 59:46.860 --> 59:50.820 Also im Grunde genommen dasselbe, wie wir das links haben. 59:52.120 --> 59:56.420 Nur auf der linken Seite treten diese Anteile der Schleudermomente 59:56.420 --> 01:00:01.020 nicht auf, weil wir gesagt haben, die Scheibe ist beliebig dünn. 01:00:02.440 --> 01:00:08.280 Wie gesagt, wenn wir den Körper ein bisschen dicker machen, das können 01:00:08.280 --> 01:00:08.820 Sie mal versuchen. 01:00:08.820 --> 01:00:11.800 Nehmen Sie einfach einen Körper, der beliebig geformt ist, lassen den 01:00:11.800 --> 01:00:15.780 um die eigene Achse rotieren, auf dem Boden oder so. 01:00:16.480 --> 01:00:19.260 Und plötzlich kann es passieren, dass der umfällt. 01:00:20.420 --> 01:00:27.160 Weil eben die Lagermomente vielleicht nicht ausreichen, die in der R 01:00:27.160 --> 01:00:27.980 Phi Ebene liegen. 01:00:31.760 --> 01:00:36.460 Das heißt, für unseren 01:00:40.510 --> 01:00:45.730 starren Körper, bei einer ebenen Bewegung, 01:01:50.740 --> 01:01:51.500 haben wir jetzt 01:01:57.570 --> 01:02:06.710 M mal XS2 Punkt gleich Summe aller äußeren Kräfte, das A lasse ich 01:02:06.710 --> 01:02:08.590 jetzt mal weg, in X-Richtung. 01:02:09.530 --> 01:02:15.890 Masse mal YS2 Punkt gleich Summe aller Kräfte in Y-Richtung. 01:02:16.070 --> 01:02:20.510 Und als dritte Gleichung das Massenträgheitsmoment bezüglich dem 01:02:20.510 --> 01:02:22.630 Schwerpunkt mal der Winkelbeschleunigung. 01:02:23.670 --> 01:02:26.990 Und wenn wir den Verdrehwinkel mit Phi bezeichnen, dann ist die 01:02:26.990 --> 01:02:29.190 Winkelbeschleunigung entsprechend Phi 2 Punkt. 01:02:29.190 --> 01:02:35.510 Und das muss sein der Summe aller äußeren Momente bezüglich dem 01:02:35.510 --> 01:02:39.530 Schwerpunkt, natürlich in Richtung der Z-Achse, also in Richtung einer 01:02:39.530 --> 01:02:42.090 Achse senkrecht zur Bewegungsebene. 01:02:46.420 --> 01:02:56.420 Kürzer könnte man das auch schreiben als M mal RS2 Punkt gleich Summe 01:02:56.420 --> 01:02:57.080 aller Kräfte. 01:02:58.050 --> 01:03:05.120 Das war jetzt eine Vektorgleichung mit zwei Anteilen und Theta S Phi 2 01:03:05.120 --> 01:03:10.900 Punkt gleich Moment in Z-Richtung. 01:03:15.080 --> 01:03:20.440 Jetzt hatten wir bei Massenpunkten und auch bei der Rotation des 01:03:20.440 --> 01:03:23.740 starren Körpers um eine raumfeste Achse, das auch im Sinne d 01:03:23.740 --> 01:03:28.840 'Alembertes betrachtet, indem wir entsprechende Trägheitsgrößen 01:03:28.840 --> 01:03:29.840 eingeführt haben. 01:03:31.160 --> 01:03:32.300 Also Behandlung 01:03:36.640 --> 01:03:43.480 im Sinne d'Alembertes. 01:03:54.830 --> 01:04:02.590 Das heißt, wenn wir mal von den beiden Gleichungen auf der rechten 01:04:02.590 --> 01:04:08.310 Seite ausgehen, dann können wir die entsprechend umformen. 01:04:22.210 --> 01:04:27.630 Wir bringen das MRS2 Punkt auf die andere Seite, dann haben wir F 01:04:27.630 --> 01:04:47.190 minus MRS2 Punkt gleich 0 und MS minus Theta S Phi 2 Punkt gleich 0, 01:04:47.330 --> 01:04:48.130 hier eine Skalare 0. 01:04:49.130 --> 01:05:00.550 Das heißt, wir können schreiben F plus Trägheitskraft FT gleich 0, 01:05:01.130 --> 01:05:10.790 wenn FT gerade minus MRS2 Punkt ist. 01:05:11.490 --> 01:05:26.850 Und wir können natürlich schreiben MS plus MTS gleich 0 mit MTS gleich 01:05:26.850 --> 01:05:32.410 minus Theta S Phi 2 Punkt. 01:05:32.410 --> 01:05:39.170 Das heißt, man sieht, die Trägheitskraft ist eine Kraft, die wir am 01:05:39.170 --> 01:05:42.650 Schwerpunkt einzeichnen, die in negative Beschleunigungsrichtung des 01:05:42.650 --> 01:05:49.950 Schwerpunktes geht und das Moment ist ein Moment, welches entgegen der 01:05:49.950 --> 01:05:52.350 positiven Winkelbeschleunigung dreht. 01:05:54.480 --> 01:06:04.520 Also Richtungen 01:06:12.830 --> 01:06:18.610 entgegen der 01:06:22.380 --> 01:06:27.740 positiven Beschleunigungsrichtungen, 01:06:33.130 --> 01:06:38.810 sowohl was die Bewegung des Schwerpunktes als auch die Verdrehung 01:06:38.810 --> 01:06:39.370 anbelangt. 01:06:49.180 --> 01:06:50.940 Machen wir dazu mal ein Beispiel, 01:06:55.620 --> 01:06:58.160 und zwar ein rollendes Rad, 01:07:10.850 --> 01:07:14.390 Masse M, Radius A, 01:07:24.380 --> 01:07:29.480 Massenträgheitsmoment Theta S und ich führe das jetzt mal ein mit 01:07:29.480 --> 01:07:31.220 Hilfe des Trägheitsradius. 01:07:32.090 --> 01:07:42.360 Also Theta S gleich M mal K Quadrat auf einer schiefen Ebene. 01:07:57.810 --> 01:08:03.390 Das heißt, wir haben jetzt die schiefe Ebene gekennzeichnet durch den 01:08:03.390 --> 01:08:04.410 Neigungswinkel Alpha. 01:08:07.480 --> 01:08:16.160 Dann haben wir das Rad, sollte jetzt rund sein, mit Radius A, 01:08:23.380 --> 01:08:30.980 das praktisch die schiefe Ebene aufgrund der Erdbeschleunigung G sich 01:08:30.980 --> 01:08:31.760 herab bewegt. 01:08:35.090 --> 01:08:46.470 Nun zunächst mal können wir die Lage des rollenden Radius Rades 01:08:46.470 --> 01:08:52.150 kennzeichnen über die Lage des Mittelpunktes durch die Koordinate X 01:08:52.150 --> 01:08:53.750 entlang der schiefen Ebene. 01:08:55.230 --> 01:09:04.690 Gleichzeitig tritt aber eine Verdrehung V des Rades auf, die wir 01:09:04.690 --> 01:09:09.190 positiv, gut entsprechend unserer Konvention, entgegen dem 01:09:09.190 --> 01:09:10.250 Uhrzeigersinn annehmen. 01:09:32.760 --> 01:09:33.540 So, 01:11:06.490 --> 01:11:10.970 als erstes schneiden wir, wie immer, das Rad frei, 01:11:20.860 --> 01:11:24.900 tragen die am Rad wirkenden Kräfte und Momente an. 01:11:25.900 --> 01:11:30.740 Zunächst mal die äußeren Kräfte und Momente. 01:11:33.460 --> 01:11:41.260 Da haben wir zum einen die Gewichtskraft G, die den Mittelpunkt 01:11:41.260 --> 01:11:42.400 angreift, den Schwerpunkt. 01:11:43.260 --> 01:11:53.000 Dann haben wir am Kontaktpunkt mit der schiefen Ebene eine 01:11:53.000 --> 01:11:53.860 Normalkraft. 01:11:54.700 --> 01:11:58.720 Eine Normalkraft ist in dem Fall eine Zwangskraft, wir wissen also 01:11:58.720 --> 01:12:00.820 zunächst mal nicht, in welche Richtung die wirkt. 01:12:01.380 --> 01:12:05.460 Erfahrungsgemäß wird die von der schiefen Ebene auf das Rad wirken, 01:12:06.140 --> 01:12:07.200 als Druckkraft. 01:12:08.260 --> 01:12:11.080 Deshalb Normalkraft N mal so eingezeichnet. 01:12:12.640 --> 01:12:15.220 Ansonsten können wir auch keine Reibkraft realisieren. 01:12:16.140 --> 01:12:22.260 Denn wenn das Rad sich anfängt zu drehen, dann muss ja ein Moment 01:12:22.260 --> 01:12:23.720 bezüglich dem Schwerpunkt wirken. 01:12:23.820 --> 01:12:25.920 Und wir sehen, so haben wir noch gar keinen Moment. 01:12:26.500 --> 01:12:34.040 Wir brauchen also noch eine Reibkraft R zwischen dem Rad und der 01:12:34.040 --> 01:12:34.740 schiefen Ebene. 01:12:37.360 --> 01:12:41.740 Das sind die äußeren Kräfte und Momente. 01:12:42.960 --> 01:12:49.280 Was wir jetzt noch eintragen müssen, ist die Trägheitskraft, 01:12:51.220 --> 01:12:55.320 beziehungsweise vielleicht deren beiden Komponenten und das 01:12:55.320 --> 01:12:56.460 Trägheitsmoment. 01:12:59.180 --> 01:13:02.000 Wir haben gesehen, die Bewegung des rollenden Rades können wir 01:13:02.000 --> 01:13:03.860 beschreiben durch die Koordinate X. 01:13:05.180 --> 01:13:10.380 Das heißt, weil wir eine Ebene haben, die wirklich eben ist, erfolgt 01:13:10.380 --> 01:13:14.800 keine Beschleunigung in Richtung quer zur schiefen Ebene. 01:13:15.400 --> 01:13:18.800 Das Y-Zweipunkt ist in dem Falle Null. 01:13:19.300 --> 01:13:21.260 Es tritt nur auf das X-Zweipunkt. 01:13:22.100 --> 01:13:25.260 Die entsprechende Trägheitskraft wirkt aber entgegen der positiven 01:13:25.260 --> 01:13:26.280 Beschleunigungsrichtung. 01:13:26.440 --> 01:13:29.680 Also positive Beschleunigung heißt so nach links unten. 01:13:29.680 --> 01:13:41.230 Das heißt, die entsprechende Trägheitskraft ist jetzt M mal X 01:13:41.230 --> 01:13:42.330 -Zweipunkt. 01:13:43.330 --> 01:13:44.610 Oder X-Zweipunkt. 01:13:46.070 --> 01:13:55.850 Und dann haben wir noch das Trägheitsmoment entgegen der positiven 01:13:55.850 --> 01:13:57.150 Winkelbeschleunigung. 01:13:58.150 --> 01:14:01.090 Und die war entgegen dem Uhrzeigersinn. 01:14:01.630 --> 01:14:09.630 Dann muss also das entsprechende Trägheitsmoment im Uhrzeigersinn 01:14:09.630 --> 01:14:10.190 verlaufen. 01:14:11.610 --> 01:14:17.230 Also Theta S mal Phi-Zweipunkt. 01:14:20.940 --> 01:14:23.340 Bilden wir mal Kräfte- und Momentenbilanzen. 01:14:24.040 --> 01:14:28.490 Nun die Kräftebilanz am besten in Richtung der schiefen Ebene. 01:14:28.490 --> 01:14:33.990 Ich deute das mal so an, vielleicht schräg nach oben positiv, quer 01:14:33.990 --> 01:14:39.390 dazu und so die positiven Richtungen gewählt. 01:14:40.670 --> 01:14:46.490 Dann ergibt Summe der Momente in Richtung der schiefen Ebene. 01:14:52.760 --> 01:14:58.620 M X-Zweipunkt, das war die Trägheitskraft, plus R. 01:15:00.980 --> 01:15:03.480 Oh, dann haben wir noch den Anteil der Gewichtskraft. 01:15:04.420 --> 01:15:08.540 Der geht aber dann in negative Richtung, also Minus G. 01:15:10.480 --> 01:15:16.180 Und hier findet sich der Winkel Alpha der schiefen Ebene wieder. 01:15:16.180 --> 01:15:24.120 Also steht da gerade drin Sinus Alpha gleich Null. 01:15:24.660 --> 01:15:27.980 Dann die Kräftebilanz senkrecht zur schiefen Ebene. 01:15:28.140 --> 01:15:38.360 Da haben wir N minus G mal Cosinus Alpha gleich Null. 01:15:39.400 --> 01:15:44.800 Und bei der Momentenbilanz bezüglich dem Schwerpunkt, da sehen wir die 01:15:44.800 --> 01:15:46.980 Gewichtskraft und die Normalkraft. 01:15:46.980 --> 01:15:49.980 Die verlaufen durch den Schwerpunkt, haben also keinen Moment 01:15:49.980 --> 01:15:52.300 bezüglich dem Schwerpunkt einzig. 01:15:52.800 --> 01:15:59.460 Die Reibkraft R, die hat den Hebelarm A, dreht positiv. 01:16:01.040 --> 01:16:05.760 Und das Theta S mal Phi-Zweipunkt, das dreht negativ. 01:16:09.180 --> 01:16:13.020 Also Minus Theta S Phi-Zweipunkt gleich Null. 01:16:16.980 --> 01:16:18.280 Zählen wir mal die Unbekannten. 01:16:18.420 --> 01:16:22.080 Wir haben das X, wir haben die Reibkraft, wir haben die Normalkraft 01:16:22.080 --> 01:16:23.760 und wir haben das Phi. 01:16:25.080 --> 01:16:29.580 Das heißt, wir haben vier Größen, aber nur drei Gleichungen. 01:16:31.260 --> 01:16:32.080 Was brauchen wir noch? 01:16:54.180 --> 01:17:01.900 Und wenn ich so eine Walze habe, die auf einer schiefen Ebene 01:17:01.900 --> 01:17:05.980 herunterrollt, dann kann das so erfolgen. 01:17:09.690 --> 01:17:15.710 Oder, jetzt mache ich mal die schiefe Ebene sehr steil, ich muss jetzt 01:17:15.710 --> 01:17:16.310 aber aufpassen. 01:17:17.550 --> 01:17:19.650 Was passiert, wenn ich die so loslasse? 01:17:21.710 --> 01:17:23.210 Man hört es schon ein bisschen. 01:17:25.130 --> 01:17:26.490 Was passiert? 01:17:27.470 --> 01:17:28.370 Die rutscht. 01:17:30.270 --> 01:17:33.150 Also müssen wir da zwei Fälle unterscheiden. 01:17:35.690 --> 01:17:41.990 Man kann es sich vorstellen, wenn ich den Winkel sehr steil mache, 01:17:42.790 --> 01:17:44.630 dann ist die Normalkraft klein. 01:17:44.630 --> 01:17:50.490 Das heißt, die Reibkraft, die ich maximal realisieren kann, wenn man 01:17:50.490 --> 01:17:53.410 in Reib gesetzt, die ist auch relativ klein. 01:17:53.510 --> 01:17:57.890 Die reicht unter Umständen nicht aus, um praktisch die notwendige 01:17:57.890 --> 01:18:01.250 Reibkraft zu realisieren, dass wirklich rollend vorliegt. 01:18:01.890 --> 01:18:06.230 Das würde ich vielleicht erreichen bei einem großen Winkel-Alpha, wenn 01:18:06.230 --> 01:18:08.290 ich so eine Art Verzahnung vornehme. 01:18:08.410 --> 01:18:11.770 Also ich nehme einfach ein Zahnrad und eine Zahnstange, dann geht das 01:18:11.770 --> 01:18:12.050 wieder. 01:18:12.970 --> 01:18:16.550 Das bedeutet aber nichts anderes, als dass der Reibkoeffizient 01:18:16.550 --> 01:18:18.950 praktisch beliebig groß sein kann. 01:18:19.670 --> 01:18:22.470 Wenn aber der Reibkoeffizient jetzt endlich ist, wie in dem Beispiel, 01:18:22.870 --> 01:18:24.310 dann fängt es irgendwann an zu rutschen. 01:18:25.430 --> 01:18:30.470 Das heißt, bei Rutschen, da brauchen wir dann ein Reibgesetz zwischen 01:18:30.470 --> 01:18:32.050 Normalkraft und Reibkraft. 01:18:33.490 --> 01:18:38.170 Wir nehmen mal das Coulange-Reibgesetz dann an und wenn der Winkel 01:18:38.170 --> 01:18:40.330 klein ist, dann fängt es gleich an zu rollen. 01:18:40.330 --> 01:18:44.610 Rollen heißt aber, haben wir gesehen, die Geschwindigkeit des 01:18:44.610 --> 01:18:48.470 Kontaktpunktes meiner Walze ist genauso groß wie die Geschwindigkeit 01:18:48.470 --> 01:18:49.930 des Untergrundes, nämlich Null. 01:18:51.110 --> 01:18:53.210 Das gibt uns eine kinematische Beziehung. 01:19:10.730 --> 01:19:12.170 Also, Fallunterscheidung. 01:19:30.190 --> 01:19:33.470 A, reines Rollen. 01:19:43.490 --> 01:19:44.270 Das haben wir dann. 01:19:45.530 --> 01:19:49.590 Und dann ist die Bewegung X gekoppelt mit der Bewegung V. 01:19:50.520 --> 01:19:52.590 Wir sollten wissen, es gilt dann... 01:19:53.130 --> 01:19:56.270 Also, das Ganze hat einen Freiheitsgrad. 01:19:57.450 --> 01:20:02.590 Und es gilt XS Punkt gleich... 01:20:04.470 --> 01:20:10.030 V war in der Richtung, also gleich A mal V Punkt. 01:20:11.850 --> 01:20:12.950 Dementsprechend gilt 01:20:16.040 --> 01:20:21.720 XS zwei Punkt gleich A mal V zwei Punkt. 01:20:25.480 --> 01:20:40.590 Dann erhalten wir aus der letzten Gleichung R gleich Theta S dividiert 01:20:40.590 --> 01:20:47.590 durch A mal V zwei Punkt. 01:20:53.440 --> 01:21:02.000 Aus der zweiten Gleichung erhalten wir zunächst mal N gleich G mal 01:21:02.000 --> 01:21:03.000 Cosinus Alpha. 01:21:04.720 --> 01:21:15.380 Und aus der ersten Gleichung erhalten wir M mal A mal V zwei Punkt. 01:21:16.120 --> 01:21:27.980 Plus R, also plus Theta S dividiert durch A mal V zwei Punkt. 01:21:27.980 --> 01:21:36.640 Und gleich G mal Sinus Alpha, schreiben wir das mal als M mal G mal 01:21:36.640 --> 01:21:39.280 Sinus Alpha. 01:21:43.680 --> 01:21:47.200 Wir hatten gesagt, Theta S ist M mal K Quadrat. 01:21:47.200 --> 01:21:58.280 Also steht hier M mal A plus K Quadrat dividiert durch A mal V zwei 01:21:58.280 --> 01:22:04.740 Punkt gleich M mal G mal Sinus Alpha. 01:22:05.740 --> 01:22:09.060 Oder V 01:22:13.210 --> 01:22:26.710 zwei Punkt gleich G mal Sinus Alpha dividiert durch 01:22:30.770 --> 01:22:39.290 A plus K Quadrat durch A. 01:22:41.470 --> 01:22:48.230 Warum habe ich das jetzt mit K Quadrat eingeführt und nicht sofort bei 01:22:48.230 --> 01:22:49.490 einer Walze eingeführt? 01:22:53.720 --> 01:23:01.060 Walze oder Scheibe, da haben wir ja Theta gleich M halbe A Quadrat. 01:23:03.430 --> 01:23:12.410 Dann sehen wir, dann ist K Quadrat A Quadrat halbe A Quadrat halbe. 01:23:13.410 --> 01:23:26.390 Also V zwei Punkt ist dann G Sinus Alpha dividiert durch drei halbe A 01:23:26.390 --> 01:23:27.590 Quadrat, drei halbe A. 01:23:31.810 --> 01:23:42.830 Oder zwei Drittel G durch A mal Sinus Alpha und das X zwei Punkt ist 01:23:42.830 --> 01:23:53.130 dann entsprechend V zwei Punkt mal A, also zwei Drittel G mal Sinus 01:23:53.130 --> 01:23:53.410 Alpha. 01:24:00.870 --> 01:24:04.110 Wenn wir jetzt einen Ring haben, 01:24:09.910 --> 01:24:14.090 zum Beispiel einen sehr dünnen Ring, dann ist praktisch die ganze 01:24:14.090 --> 01:24:17.250 Masse am Außenradius verteilt. 01:24:18.250 --> 01:24:24.270 Das wird bedeuten, das Massenträgheitsmoment ist M mal A Quadrat. 01:24:26.150 --> 01:24:30.410 Also K Quadrat ist dann ungefähr A Quadrat. 01:24:30.410 --> 01:24:35.350 Und dann sehen wir, das ergibt dann G mal Sinus Alpha 01:24:40.940 --> 01:24:51.540 dividiert durch zwei A, beziehungsweise das X zwei Punkt in dem Falle 01:24:51.540 --> 01:25:00.570 ist G halbe mal Sinus Alpha. 01:25:00.570 --> 01:25:07.730 Man sieht, für den Fall ist die Beschleunigung kleiner als bei einer 01:25:07.730 --> 01:25:08.030 Scheibe. 01:25:27.230 --> 01:25:31.090 Das können wir auch hier ein bisschen ausprobieren. 01:25:33.190 --> 01:25:41.050 Wir sehen, na gut, egal ob ich so einen Ring drauflege oder so eine 01:25:41.050 --> 01:25:43.590 Scheibe, es wird beides beschleunigt. 01:25:45.490 --> 01:25:51.650 Wenn ich aber beides gleichzeitig drauflege, versuche ich mal das ein 01:25:51.650 --> 01:25:53.830 bisschen zu demonstrieren. 01:25:54.090 --> 01:26:01.310 Und lege die so rum drauf und lasse die los, dann gleiten die die 01:26:01.310 --> 01:26:02.330 ganze Zeit aneinander. 01:26:02.330 --> 01:26:05.470 Wenn ich die jetzt vertausche, 01:26:08.890 --> 01:26:11.690 dann sieht man das, was ich gesagt hatte. 01:26:13.890 --> 01:26:18.270 Das Massenträgheitsmoment, beziehungsweise der Trägheitsradius von 01:26:18.270 --> 01:26:22.450 diesem Ring ist natürlich größer als der Trägheitsradius von der 01:26:22.450 --> 01:26:26.030 Scheibe, so dass praktisch die Beschleunigung vom Ring bei Rollen 01:26:26.030 --> 01:26:28.210 kleiner ist als die von dieser Scheibe. 01:26:42.570 --> 01:26:47.350 Vielleicht noch zum Schluss, was muss eine erfüllt sein, dass reines 01:26:47.350 --> 01:26:48.230 Rollen vorliegt? 01:27:05.400 --> 01:27:12.820 Die Reibkraft muss kleiner oder höchstens gleich sein, µ0 mal n. 01:27:13.820 --> 01:27:23.820 Die Normalkraft, die hatten wir bestimmt, also R kleiner gleich µ0 mal 01:27:23.820 --> 01:27:25.620 n mal g mal cosinus alpha. 01:27:34.700 --> 01:27:36.020 Schauen wir mal die Reibkraft. 01:27:36.020 --> 01:27:42.500 Die war Theta S durch A mal Phi 2 Punkt. 01:27:43.180 --> 01:28:02.850 Also Theta S durch A mal Phi 2 Punkt, das war g durch A plus k Quadrat 01:28:02.850 --> 01:28:06.970 durch A mal Sinus Alpha. 01:28:11.490 --> 01:28:21.090 Kleiner gleich µ0 mal m mal g mal cosinus alpha. 01:28:22.370 --> 01:28:28.690 Das Theta S, hatten wir gesagt, ist m mal k Quadrat. 01:28:30.750 --> 01:28:35.250 Und jetzt machen wir das Ganze wieder für die Scheibe oder 01:28:39.210 --> 01:28:41.690 für die Walze, den Zylinder. 01:28:42.690 --> 01:28:45.490 Dann ist k Quadrat gerade A Quadrat Halbe. 01:28:46.150 --> 01:28:48.670 Dann haben wir also, das Masse kürzt sich raus. 01:28:49.590 --> 01:28:51.650 Dann haben wir A Quadrat Halbe. 01:28:53.630 --> 01:28:59.150 Dividiert durch A mal g mal Sinus Alpha. 01:29:00.550 --> 01:29:04.130 Dividiert durch 3 Halbe A. 01:29:07.750 --> 01:29:09.530 Das kürzt sich wieder raus. 01:29:10.730 --> 01:29:13.950 Das A Quadrat kürzt sich mit den beiden As. 01:29:15.450 --> 01:29:19.630 Kleiner gleich µ0 mal cosinus alpha. 01:29:26.330 --> 01:29:28.030 Multiplizieren wir mit 3. 01:29:32.780 --> 01:29:34.600 Moment, das g kürzt sich auch noch raus. 01:29:34.880 --> 01:29:38.340 Das hatte ich jetzt einen Fehler gemacht, das kürzt sich noch raus. 01:29:38.340 --> 01:29:47.970 Dann steht da, Sinus Alpha durch Cosinus Alpha muss kleiner oder 01:29:47.970 --> 01:29:53.010 höchstens gleich sein 3 µ0. 01:29:59.640 --> 01:30:02.960 Das war also die Bedingung, dass reines Rollen vorliegt. 01:30:03.460 --> 01:30:10.040 Wie das aussieht, wenn kein Rollen vorliegt, sondern Gleiten, das 01:30:10.040 --> 01:30:11.820 würde ich vorschlagen, machen wir dann im neuen Jahr. 01:30:13.340 --> 01:30:15.040 Gibt es soweit noch Fragen dazu? 01:30:15.780 --> 01:30:19.540 Wenn nicht, dann bedanke ich mich bei Ihnen, dass Sie auch an diesem 01:30:19.540 --> 01:30:24.860 schönen Tag vor Weihnachten in die Vorlesung gekommen sind. 01:30:25.000 --> 01:30:27.940 Ich drücke Ihnen ganz große Daumen, dass das auch Sie in der Klausur 01:30:27.940 --> 01:30:28.620 niederschlägt. 01:30:29.020 --> 01:30:29.920 Wünschen würde ich es Ihnen. 01:30:30.560 --> 01:30:33.400 Zunächst einmal wünsche ich Ihnen aber schöne Weihnachten, einen guten 01:30:33.400 --> 01:30:34.600 Rutsch ins neue Jahr. 01:30:35.400 --> 01:30:38.280 Diejenigen, die irgendwie Urlaub machen, kommen Sie wieder gut zurück. 01:30:38.280 --> 01:30:45.620 Brechen Sie sich keine Beine, Arme oder sonstige Dinge und genießen 01:30:45.620 --> 01:30:50.300 Sie einfach die freie Zeit bis zum nächsten Semester und bis zur 01:30:50.300 --> 01:30:51.220 nächsten Vorlesung. 01:30:51.360 --> 01:30:56.180 Wir sehen uns erst wieder heute in drei Wochen. 01:30:56.980 --> 01:30:57.540 Warum? 01:31:01.260 --> 01:31:02.060 Der 6. 01:31:02.200 --> 01:31:08.840 Januar ist auf jeden Fall ein Feiertag. 01:31:08.840 --> 01:31:15.340 Das soll vielleicht der Hinweis auch an unsere Nicht-Deutschen, bzw. 01:31:16.360 --> 01:31:19.780 jetzt darf man nicht sagen Nicht-Deutsche, sondern der 6. 01:31:19.900 --> 01:31:21.280 Januar ist ein Feiertag. 01:31:21.740 --> 01:31:27.120 Nur in wenigen Bundesländern wie Baden-Württemberg, Bayern und, ich 01:31:27.120 --> 01:31:27.900 glaube, das Saarland. 01:31:28.860 --> 01:31:30.860 Ich kann die jetzt gar nicht genau alle aufzählen. 01:31:30.940 --> 01:31:34.200 In vielen Bundesländern von Deutschland wird am 6. 01:31:34.340 --> 01:31:35.320 Januar gearbeitet. 01:31:35.320 --> 01:31:38.840 Hier in Karlsruhe, Baden-Württemberg ist das ein gesetzlicher 01:31:38.840 --> 01:31:44.900 Feiertag, sodass leider auch keine Vorlesungen stattfinden und wir 01:31:44.900 --> 01:31:46.660 deshalb heute Vorlesungen machen mussten. 01:31:46.720 --> 01:31:48.840 Wir haben jetzt aber sozusagen vorgearbeitet. 01:31:49.200 --> 01:31:49.620 Vielen Dank.