WEBVTT 00:14.750 --> 00:18.390 Man kann natürlich nicht nur die Summe von zwei Vektoren bilden, man 00:18.390 --> 00:20.770 kann zwei Vektoren auch miteinander multiplizieren. 00:21.770 --> 00:24.930 Es gibt allerdings zwei unterschiedliche Arten der 00:24.930 --> 00:26.090 Vektormultiplikation. 00:26.610 --> 00:29.930 Diese beiden unterschiedlichen Arten werden verschieden berechnet. 00:31.030 --> 00:34.870 Ihre Ergebnisse haben grundlegend unterschiedliche Eigenschaften und 00:34.870 --> 00:37.590 auch ihre physikalische Bedeutung ist sehr stark unterschiedlich. 00:41.390 --> 00:44.690 Wir beginnen mit dem Skalarprodukt zweier Vektoren. 00:46.890 --> 00:52.770 Wir wollen die beiden Vektoren u mit den Komponenten ux, uy und uz und 00:52.770 --> 00:58.430 v mit den Komponenten vx, vy und vz skalar miteinander multiplizieren. 00:59.770 --> 01:05.370 Und dabei sagt schon der Name des Produkts, Skalarprodukt, dass bei 01:05.370 --> 01:09.010 dieser Art von Multiplikation eine skalare Größe das Ergebnis sein 01:09.010 --> 01:09.270 soll. 01:10.730 --> 01:14.850 Um dieses Skalarprodukt eindeutig zu kennzeichnen, wird dieses 01:14.850 --> 01:16.550 Skalarprodukt mit einen Punkt geschrieben. 01:18.330 --> 01:24.270 Wir schreiben das Skalarprodukt von u und v, also in der Form u mal v. 01:27.250 --> 01:30.930 Die Rechenregel zur Bestimmung dieses Skalarprodukts gibt vor, dass 01:30.930 --> 01:34.590 wir die Komponenten der Vektoren zeilenweise multiplizieren. 01:35.390 --> 01:48.530 Das heißt, wir rechnen ux mal vx und uy mal vy und uz mal vz und diese 01:48.530 --> 01:50.970 Produkte werden zusammenaddiert. 01:52.690 --> 01:57.290 Die Rechenregel für das Skalarprodukt der beiden Vektoren u und v ist 01:57.290 --> 02:02.570 also ux mal vx plus uy mal vy plus uz mal vz. 02:05.010 --> 02:12.030 Wir sehen also, dass aus den beiden vektoriellen Größen eine skalare 02:12.030 --> 02:12.610 Größe wird. 02:17.960 --> 02:22.860 Was wir auch erkennen können, ist, dass die Produkte jeweils 02:22.860 --> 02:23.720 vertauschbar sind. 02:27.700 --> 02:36.100 Wir können also statt ux vx plus uy vy plus uz vz auch vx ux plus vy 02:36.100 --> 02:45.260 uy plus vz uz schreiben oder in der Spaltenschreibweise v mal u. 02:48.240 --> 02:52.140 Für das Skalarprodukt gilt also ein Kommutativgesetz, das 02:52.140 --> 02:53.480 Skalarprodukt ist vertauschbar. 03:01.560 --> 03:04.360 Man kann das Skalarprodukt auch auf eine andere Art und Weise 03:04.360 --> 03:08.800 definieren, indem wir das Skalarprodukt an einer Grafik anschauen. 03:12.340 --> 03:19.500 Das Skalarprodukt aus u und v wird definiert als Betrag von u mal den 03:19.500 --> 03:25.660 Betrag von v mal den Kosinus eines Winkels phi, wobei der Winkel phi 03:25.660 --> 03:30.680 der Winkel ist, den wir zwischen dem Vektor u und dem Vektor v messen 03:30.680 --> 03:30.940 können. 03:34.270 --> 03:37.630 Dabei können wir auch hier erkennen, dass der Betrag von u und der 03:37.630 --> 03:39.850 Betrag von v nur miteinander multipliziert werden. 03:41.510 --> 03:46.390 Bei einem Produkt gilt die Vertauschbarkeit, also ist auch hier u mal 03:46.390 --> 03:48.170 v gleich v mal u. 03:50.710 --> 03:52.710 Wie können wir das Ganze interpretieren? 03:56.150 --> 04:01.450 Projizieren wir den Vektor u auf den Vektor v, d.h. 04:01.530 --> 04:06.030 wir ziehen von der Spitze des Vektors u eine Linie zum Vektor v und 04:06.030 --> 04:08.390 diese Linie muss senkrecht auf dem Vektor v stehen. 04:10.410 --> 04:14.510 Dann bilden wir dadurch ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Vektor u 04:14.510 --> 04:20.550 als Hypotenuse und der Projektion des Vektors u auf den Vektor v als 04:20.550 --> 04:22.690 Ankathete zum Winkel phi. 04:25.490 --> 04:28.830 Diese Ankathete können wir mit dem Kosinus des Winkels phi und der 04:28.830 --> 04:30.130 Länge der Hypotenuse bestimmen. 04:32.730 --> 04:37.530 Die Länge dieser Ankathete ist also der Betrag von Vektor u 04:37.530 --> 04:42.010 multipliziert mit dem Kosinus des Winkels phi. 04:44.410 --> 04:48.170 Man kann dieses Produkt also so interpretieren, dass man den Betrag 04:48.170 --> 04:54.950 von v multipliziert mit der Länge der Projektion von u auf v. 04:56.250 --> 04:58.230 Und dasselbe funktioniert auch andersherum. 05:00.490 --> 05:02.950 Wir bilden die Projektion von v auf u. 05:07.610 --> 05:13.440 Wir zeichnen also eine Linie von der Spitze von v auf die Richtung von 05:13.440 --> 05:19.440 u, sodass auch hier wieder ein rechtwinkliges Dreieck entsteht mit dem 05:19.440 --> 05:27.200 Vektor v als Hypotenuse und der Projektion von v auf u als Ankathete 05:27.200 --> 05:28.240 zum Winkel phi. 05:29.480 --> 05:33.540 Wir können also die Länge der Projektion von v auf u wieder mit dem 05:33.540 --> 05:38.600 Kosinus in diesem rechtwinkligen Dreieck bestimmen und erhalten für 05:38.600 --> 05:42.680 die Länge dieser Projektion den Betrag von v multipliziert mit dem 05:42.680 --> 05:43.740 Kosinus des Winkels phi. 05:45.900 --> 05:50.980 Die zweite Interpretation ist also, dass wir den Betrag von u 05:50.980 --> 05:55.840 multiplizieren mit der Länge der Projektion von v auf u. 05:58.260 --> 06:01.380 Und auch zum Skalarprodukt finden Sie in unserem Online-Material eine 06:01.380 --> 06:02.120 GeoGebra App.