Wir wollen für einen senkrechten Wurf die maximale Wurfhöhe berechnen.
Ein Körper wird also aus einer Höhe h0 mit einer Geschwindigkeit vw
senkrecht nach oben geworfen.
Während seiner Bewegung wirkt auf ihn lediglich eine konstante
Beschleunigung a0, die der Fallbeschleunigung entspricht.
Die Frage, die wir uns also stellen, welche maximale Höhe hw erreicht
der Körper, bevor er sich wieder im freien Fall in Richtung Erdboden
bewegt.
Wir suchen also die maximale Wurfhöhe hw.
Wir kennen bereits das Wegzeitgesetz des senkrechten Wurfs s von t
gleich minus 1 gt² plus vw mal t plus h0.
Und wir kennen auch das Geschwindigkeitszeitgesetz des senkrechten
Wurfs v von t gleich minus g mal t plus vw.
Wenn wir die maximale Wurfhöhe bestimmen wollen, bedeutet das, dass
wir das Maximum von s von t bestimmen müssen.
Ein Maximum ist ein Extremwert und einen Extremwert finden wir, indem
wir die Ableitung einer Funktion gleich 0 setzen.
Die Ableitung der Ortsfunktion nach der Zeit ist allerdings die
Geschwindigkeit.
Das bedeutet, dass der höchste Punkt der Umkehrpunkt der Bewegung ist.
Die Geschwindigkeit v wird im höchsten Punkt einen Fortzeichenwechsel
vollziehen.
Bis zum höchsten Punkt bewegt sich der Körper nach oben.
Das heißt, die Geschwindigkeit des Körpers zeigt nach oben.
Ab dem höchsten Punkt fällt der Körper allerdings nach unten.
Das heißt, sein Geschwindigkeitsvektor zeigt nach unten.
Während der Körper steigt, zeigt der Vektor der Geschwindigkeit also
in die positive Koordinatenrichtung.
Wenn der Körper fällt, zeigt der Vektor der Geschwindigkeit in die
negative Koordinatenrichtung.
Wir berechnen also zunächst den Zeitpunkt tw, in dem der Körper den
höchsten Punkt erreicht.
Die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt, wo der Körper den höchsten Punkt
erreicht, muss den Wert 0 haben.
Die so entstandene Gleichung formen wir nach der Zeit tw um und
erhalten tw gleich vw durch g. Als nächsten Schritt setzen wir den
Wert tw gleich vw durch g in das Wegzeitgesetz ein und
berechnen so die maximale Wurfhöhe.
Die maximale Wurfhöhe beträgt also hw gleich vw quadrat durch 2g plus
h0.
Für den Spezialfall, dass der Körper direkt am Erdboden abgeworfen
wird, dass die Abwurfhöhe h0 also gleich 0 ist, beträgt die maximale
Wurfhöhe hw gleich vw quadrat durch 2g.