Berechnen wir als nächstes die Wurfweite x-max.
Auch hier benötigen wir wieder den Ortsvektor zur Beschreibung der
Bewegung, wobei die Wurfweite x-max eine x-Koordinate der Bewegung
ist.
Die x-Koordinate der Bewegung wird beschrieben mit der Formel x von t
gleich 0 mal Cosinus Alpha mal t.
Genauso wie bei der Bestimmung der Wurfhöhe müssen wir auch bei der
Bestimmung der Wurfweite den Zeitpunkt bestimmen, in dem die Wurfweite
erreicht wird.
Diesen Zeitpunkt bezeichnen wir als t-max.
Wir können t-max auch als Zeitpunkt des Aufpralls auf den Boden
bezeichnen.
Wenn wir uns also die Skizze der Bewegung noch einmal anschauen, dann
finden wir also den Punkt, bei dem die maximale Wurfweite erreicht
wird, dort wo der Körper auf dem Boden aufprallt.
In Bezug auf die y-Achse hat dieser Punkt die Koordinate 0.
Zu dem Zeitpunkt, in dem der geworfene Körper auf dem Boden aufprallt,
hat die y-Koordinate dieses Körpers also den Wert 0.
Und diesen Zusammenhang können wir auch durch die Ortsfunktion y von t
ausdrücken.
Da die Zeit t-max die einzige Unbekannte in der so entstandenen
Gleichung ist, haben wir hier eine quadratische Gleichung zur
Bestimmung der Zeit t-max gefunden.
Wir lösen also die quadratische Gleichung nach t-max auf.
Für den Zeitpunkt des Aufpralls t-max finden wir also zwei mögliche
Lösungen.
v0 durch g mal sin alpha mal, Klammer auf, 1 plus minus die Wurzel aus
1 plus 2h0 mal g durch v0 Quadrat mal sin alpha zum Quadrat.
Von diesen beiden Lösungen ist nur eine Lösung physikalisch sinnvoll.
Der Ausdruck unter der Wurzel, 1 plus 2h0 g durch v0 Quadrat sin
Quadrat alpha, ist immer größer als 1.
Das bedeutet, wenn wir die Lösung mit dem Minus wählen, dann wird der
gesamte Ausdruck innerhalb der Klammern kleiner als 0.
Wenn der Ausdruck innerhalb der Klammern kleiner als 0 wird, dann wird
auch das gesamte Ergebnis für die Zeit t-max kleiner als 0.
Das ist physikalisch aber nicht sinnvoll, da der Zeitpunkt des
Aufpralls größer als 0 sein muss.
Wir wählen also die positive Lösung als physikalisch sinnvolle Lösung.
Für den Spezialfall, dass der Wurf aus der Höhe des Erdbodens
stattfindet, vereinfacht sich der Ausdruck für t-max zu t-max gleich 2
mal v0 durch g mal sin alpha.
Die so gefundene Lösung für t-max setzen wir in die Formel für x-max,
also für die Wurfweite ein.
x-max ist gleich x von t-max, also v0 mal cos alpha mal t-max und t
-max ersetzen wir durch die gefundene Lösung.
Wir erhalten für x-max also die Lösung x-max gleich v0 Quadrat durch g
mal sin alpha mal cos alpha mal, Klammer auf, 1 plus die Wurzel aus, 1
plus 2 h0 mal g durch v0 Quadrat mal sin Quadrat alpha.
Auch hier untersuchen wir den Spezialfall, dass der Wurf in der Höhe
des Erdbodens startet, dass die Abwurfhöhe h0 also den Wert 0 hat.
In diesem Fall vereinfacht sich die Lösung zu x-max gleich 2 mal v0
Quadrat durch g mal sin alpha mal cos alpha.