WEBVTT 00:00.800 --> 00:02.540 Herzlich willkommen zu diesem Video. 00:03.240 --> 00:07.340 Es ergänzt die beiden Videos zu Erwartungswerten im Zusammenhang mit 00:07.340 --> 00:11.680 Mustern bei Bernoulli-Versuchen um einen neuen Aspekt, nämlich um 00:11.680 --> 00:15.080 überraschende Phänomene bei konkurrierenden Mustern. 00:15.860 --> 00:19.620 Hier sieht man die Ergebnisse von 300 Bernoulli-Versuchen, für die ich 00:19.620 --> 00:20.880 selbst verantwortlich bin. 00:21.600 --> 00:24.120 Ich habe nämlich 300 Mal einen Würfel geworfen. 00:24.120 --> 00:29.160 Immer wenn eine 1, 2 oder 3 auftrat, habe ich zeilenweise von links 00:29.160 --> 00:33.300 nach rechts gelesen eine 1 notiert und ansonsten eine 0. 00:34.320 --> 00:38.160 Um Wahrscheinlichkeiten auszurechnen, benötigen wir ein stochastisches 00:38.160 --> 00:40.100 Modell und das sieht so aus. 00:40.660 --> 00:45.600 x1, x2 und so weiter seien unabhängige Zufallsgrößen, die jeweils die 00:45.600 --> 00:49.420 Werte 1 und 0 mit gleicher Wahrscheinlichkeit ein Halb annehmen. 00:49.420 --> 00:54.120 Für jedes J modelliert dann xj das Ergebnis des Jotten-Bernoulli 00:54.120 --> 00:54.580 -Versuchs. 00:55.240 --> 00:57.660 Ich sage nochmal kurz, was ein Muster ist. 00:58.060 --> 01:03.440 Für jedes L größer gleich 2 sei M ein L-Tupel aus Einsen und Nullen 01:03.440 --> 01:06.060 und das nennen wir ein Muster der Länge L. 01:07.200 --> 01:12.340 Mit Wm bezeichnen wir die kleinste natürliche Zahl k derart, dass das 01:12.340 --> 01:16.300 Muster M nach dem Karten-Bernoulli-Versuch aufgetreten ist. 01:16.300 --> 01:19.100 Und das kann man formal so ausdrücken. 01:21.180 --> 01:26.220 Im folgenden geht es um Muster der Länge 3 und davon gibt es diese 8 01:26.220 --> 01:31.220 Stück, die ich als Dualzahlen und nicht als Tupel geschrieben habe. 01:32.480 --> 01:35.300 Anja und Bettina spielen jetzt folgendes Spiel. 01:35.660 --> 01:40.640 Anja wählt ein beliebiges dieser Muster und dann wählt Bettina ein 01:40.640 --> 01:42.220 davon verschiedenes Muster. 01:42.220 --> 01:46.960 Jetzt werden die Bernoulli-Versuche durchgeführt und dasjenige, der 01:46.960 --> 01:49.840 bei dem Muster, das zuerst auftritt, gewinnt. 01:50.860 --> 01:56.440 Nehmen wir etwa an, dass Anja das Muster 1 0 0 und Bettina das Muster 01:56.440 --> 02:01.740 0 0 1 fehlt, so würde beim obigen Verlauf der Bernoulli-Versuche Anja 02:01.740 --> 02:07.060 gewinnen, weil das Muster 1 0 0 nach dem achten Versuch aufgetreten 02:07.060 --> 02:09.160 ist, nämlich hier, genau an dieser Stelle. 02:09.880 --> 02:13.080 Aber das Muster 0 0 1 erst hier. 02:13.960 --> 02:18.560 Die Frage ist, welches Muster Anja wählen sollte, um möglichst große 02:18.560 --> 02:19.940 Gewinnchancen zu haben. 02:20.720 --> 02:25.140 Wir werden sehen, dass Anja im Nachteil ist, denn ganz egal, welches 02:25.140 --> 02:29.700 Muster sie wählt, Bettina findet immer eins, das mit der 02:29.700 --> 02:34.140 Mindestwahrscheinlichkeit zwei Drittel früher kommt als das von Anja. 02:35.640 --> 02:39.020 Gehen wir einfach mal die acht Möglichkeiten für Anja durch. 02:39.420 --> 02:42.580 Nehmen wir an, Anja wählt das Muster 0 0 0. 02:43.100 --> 02:48.200 Das ist besonders schlecht, denn dann wählt Bettina das Muster 1 0 0. 02:48.720 --> 02:49.460 Was passiert? 02:50.380 --> 02:54.700 Anja kann nur gewinnen, wenn am Anfang dreimal hintereinander eine 0 02:54.700 --> 02:58.040 auftritt und die Wahrscheinlichkeit dafür ist ein Achtel. 02:58.040 --> 03:03.200 Andernfalls tritt ja mindestens eine 1 auf, bevor Anja die drei Nullen 03:03.200 --> 03:07.900 hat und nach der 1 benötigt Bettina ja nur noch zwei Nullen, ganz egal 03:07.900 --> 03:11.500 wie viele Einsen diesen beiden Nullen noch vorangehen. 03:11.960 --> 03:15.760 Die Wahrscheinlichkeit, dass Bettina in diesem Fall gewinnt, ist also 03:15.760 --> 03:17.180 gleich 7 Achtel. 03:18.500 --> 03:21.840 Der zweite Fall ist der, dass Anja 0 0 1 wählt. 03:22.260 --> 03:25.160 Dann nimmt Bettina das Muster 1 0 0. 03:25.160 --> 03:30.340 Hier gewinnt Anja genau dann, wenn die beiden ersten Versuche jeweils 03:30.340 --> 03:34.560 eine 0 ergeben und die Wahrscheinlichkeit dafür ist ein Viertel. 03:34.780 --> 03:38.860 Denn treten die beiden Nullen auf, so können direkt danach noch so 03:38.860 --> 03:39.780 viele Nullen kommen. 03:40.240 --> 03:43.600 Irgendwann kommt die erste 1 und dann hat Anja gewonnen. 03:44.780 --> 03:48.760 Tritt aber am Anfang nicht die Doppel-Null auf, so hat Bettina 03:48.760 --> 03:53.820 gewonnen, denn es ist eine 1 dabei, bevor Anja ihre beiden ersten 03:53.820 --> 03:54.560 Nullen hat. 03:54.560 --> 03:58.740 Jetzt können noch so viele Einsen direkt aufeinander folgen. 03:59.200 --> 04:03.100 Irgendwann kommen die zwei Nullen direkt hintereinander und dann hat 04:03.100 --> 04:04.060 Bettina gewonnen. 04:04.580 --> 04:08.140 In diesem Fall gewinnt also Bettina mit der Wahrscheinlichkeit 3 04:08.140 --> 04:08.620 Viertel. 04:10.180 --> 04:14.580 Sehen wir uns den dritten Fall an, dass Anja sich das Muster 0 1 0 04:14.580 --> 04:15.300 aussucht. 04:15.840 --> 04:18.640 Dann wählt Bettina das Muster 0 0 1. 04:18.640 --> 04:23.020 In diesem Fall ist die Wahrscheinlichkeit, dass Bettinas Muster früher 04:23.020 --> 04:27.800 auftritt als das von Anja, nicht mehr ganz so einfach zu bestimmen und 04:27.800 --> 04:30.220 ich schreibe zunächst mal ein Fragezeichen hin. 04:31.480 --> 04:34.080 Hier führt folgende Überlegung schnell zum Ziel. 04:34.720 --> 04:37.880 Man sieht, dass beide Muster mit einer 0 beginnen. 04:38.580 --> 04:41.740 Das heißt, solange die Bernoulli-Versuche ausschließlich Einsen 04:41.740 --> 04:44.540 ergeben, passiert erst einmal gar nichts. 04:44.540 --> 04:49.000 Entscheidend wird es, wenn die erste 0 auftritt und da machen wir eine 04:49.000 --> 04:49.540 Fallunterscheidung. 04:50.620 --> 04:56.100 Das Ereignis A sei, dass auf diese erste 0 direkt eine weitere 0 folgt 04:56.100 --> 05:00.020 und das Gegenereignis ist dann natürlich, dass auf diese erste 0 eine 05:00.020 --> 05:00.840 1 folgt. 05:01.600 --> 05:05.240 Beide Ereignisse schließen einander aus und aufgrund der 05:05.240 --> 05:09.020 Unabhängigkeit aller Zufallsgrößen x1, x2 usw. 05:09.440 --> 05:12.280 besitzen sie jeweils die Wahrscheinlichkeit 1 Halb. 05:12.280 --> 05:16.960 Nach der Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit ist die gesuchte 05:16.960 --> 05:21.460 Wahrscheinlichkeit gleich der Wahrscheinlichkeit von A, also 1 Halb, 05:21.760 --> 05:25.380 mal der bedingten Wahrscheinlichkeit unseres Ereignisses unter der 05:25.380 --> 05:29.740 Bedingung A plus der Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses Aquer, 05:30.400 --> 05:34.440 also auch 1 Halb, mal der bedingten Wahrscheinlichkeit, dass Bettina 05:34.440 --> 05:36.760 gewinnt, unter der Bedingung Aquer. 05:37.720 --> 05:42.800 Wenn nach der ersten 0 direkt eine weitere 0 auftritt, gewinnt aber 05:42.800 --> 05:47.260 Bettina mit Wahrscheinlichkeit 1, denn, ganz egal wie viele Nullen 05:47.260 --> 05:52.180 danach noch direkt hintereinander kommen, irgendwann tritt eine 1 auf 05:52.180 --> 05:55.980 und dann hat Bettina ihr Muster vor Anja erreicht. 05:56.920 --> 06:01.360 Was passiert im anderen Fall, dass nach der ersten 0 eine 1 auftritt? 06:01.980 --> 06:05.840 Mit Wahrscheinlichkeit 1 Halb verliert jetzt Bettina, nämlich dann, 06:06.020 --> 06:11.080 wenn eine 0 kommt, denn dann hat Anja ihr Muster 0 1 0 erreicht. 06:11.080 --> 06:15.940 Mit Wahrscheinlichkeit 1 Halb kommt aber nach der 1 noch eine 1. 06:16.700 --> 06:20.480 Dann hat keine der Spielerinnen irgendeinen Anfangsteil ihres 06:20.480 --> 06:24.420 jeweiligen Musters erreicht, denn beide Muster beginnen ja mit einer 06:24.420 --> 06:24.680 0. 06:25.520 --> 06:28.860 In diesem Fall geht alles wieder von vorne los. 06:29.300 --> 06:33.040 Das heißt, diese bedingte Wahrscheinlichkeit ist 1 Halb mal die 06:33.040 --> 06:35.500 Wahrscheinlichkeit, dass Bettina gewinnt. 06:35.500 --> 06:40.440 Nennen wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit x, so erfüllt x also die 06:40.440 --> 06:45.380 Gleichung x gleich 1 Halb plus 1 Viertel mal x und daraus folgt x 06:45.380 --> 06:46.360 gleich 2 Drittel. 06:47.300 --> 06:51.320 Wir können also das Fragezeichen durch den Wert 2 Drittel ersetzen. 06:52.200 --> 06:55.420 Die restlichen Fälle können wir jetzt schnell abhandeln. 06:55.960 --> 07:01.500 Wählt Anja das Muster 0 1 1, so sucht sich Bettina das Muster 0 0 1 07:01.500 --> 07:06.160 aus und ihre Gewinnwahrscheinlichkeit ist dann ebenfalls 2 Drittel. 07:06.600 --> 07:09.760 Die Begründung dafür erfolgt genauso wie im Fall 3. 07:10.740 --> 07:15.060 Die restlichen Fälle sind symmetrisch zu den ersten 4, da man jeweils 07:15.060 --> 07:17.300 nur 1 und 0 vertauschen muss. 07:17.300 --> 07:23.600 Wählt Anja 1 0 0, so wählt Bettina 1 1 0 und gewinnt wieder mit der 07:23.600 --> 07:24.880 Wahrscheinlichkeit 2 Drittel. 07:25.560 --> 07:27.720 Dieser Fall ist spiegelbildlich zu 4. 07:28.560 --> 07:33.800 Sucht sich Anja das Muster 1 0 1 aus, so nimmt Bettina das Muster 1 1 07:33.800 --> 07:37.240 0 und gewinnt ebenfalls mit der Wahrscheinlichkeit 2 Drittel. 07:37.880 --> 07:40.500 Dieser Fall ist spiegelbildlich zu Fall 3. 07:41.220 --> 07:47.060 Nimmt Anja das Muster 1 1 0, so wählt Bettina 0 1 1 und gewinnt mit 07:47.060 --> 07:48.500 der Wahrscheinlichkeit 3 Viertel. 07:49.020 --> 07:51.460 Dieser Fall ist spiegelbildlich zu Fall 2. 07:52.480 --> 07:57.320 Wählt schlussendlich Anja das Muster 1 1 1, so gewinnt Bettina mit der 07:57.320 --> 08:01.540 Wahrscheinlichkeit 7 Achtel, wenn sie das Muster 0 1 1 nimmt. 08:02.480 --> 08:06.000 Wir können also folgendes überraschende Fazit ziehen. 08:06.520 --> 08:11.040 Zu jedem Muster A gibt es ein Muster B, sodass das Muster B mit einer 08:11.040 --> 08:15.000 Wahrscheinlichkeit von mindestens 2 Dritteln vor dem Muster A 08:15.000 --> 08:15.560 auftritt. 08:16.200 --> 08:21.540 Es gibt also kein bestes Muster und Bettina ist im Vorteil, weil sie 08:21.540 --> 08:26.080 so höflich war, Anja den Vortritt bei der Wahl des Musters zu lassen. 08:27.420 --> 08:32.400 Ich zeige jetzt einmal für jede Wahl eines Musters A und eines Musters 08:32.400 --> 08:37.300 B, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass Muster B vor Muster A 08:37.300 --> 08:37.880 auftritt. 08:38.560 --> 08:42.840 Da die beiden Muster verschieden sein müssen, gibt es keine Einträge 08:42.840 --> 08:46.820 auf diese absteigenden Diagonalen, was ich durch diese Sterne 08:46.820 --> 08:47.160 kennzeichne. 08:48.200 --> 08:52.520 Das sind die Wahrscheinlichkeiten, die wir schon bestimmt haben, und 08:52.520 --> 08:55.900 zwar sind das auch für jede Spalte die jeweils größten 08:55.900 --> 08:56.800 Wahrscheinlichkeiten. 08:57.700 --> 09:01.860 Hieran erkennt man nochmal, dass es für jede Wahl von A ein Muster B 09:01.860 --> 09:06.920 gibt, sodass die Wahrscheinlichkeit, dass B vor A kommt, mindestens 2 09:06.920 --> 09:07.520 Drittel ist. 09:07.520 --> 09:10.380 Ich zeige jetzt weitere Einträge. 09:11.080 --> 09:14.560 Zunächst steht auf der aufsteigenden Diagonalen jeweils die 09:14.560 --> 09:15.820 Wahrscheinlichkeit 1,5. 09:16.200 --> 09:16.540 Warum? 09:17.940 --> 09:23.060 Weil hier das Muster B jeweils das Komplement des Musters A ist, in 09:23.060 --> 09:27.280 dem Sinne, dass Einsen und Nullen jeweils vertauscht werden. 09:27.280 --> 09:34.540 So ist etwa das Komplement des Musters 1,0,1 hier das Muster 0,1,0. 09:36.120 --> 09:40.120 Unter Symmetriegründen tritt jedes Muster mit Wahrscheinlichkeit 1,5 09:40.120 --> 09:42.740 vor seinem eigenen Komplement auf. 09:43.580 --> 09:48.040 Es gibt aber noch weitere Einträge mit dem Wert 1,5, nämlich diese 09:48.040 --> 09:48.380 hier. 09:49.340 --> 09:51.800 Auch diese Werte sind unmittelbar bzw. 09:52.360 --> 09:53.920 schnell einzusehen. 09:54.660 --> 09:57.580 Sehen wir uns zum Beispiel diese Fälle hier oben an. 09:58.680 --> 10:04.100 Wenn die Muster 0,0,0 und 0,0,1 gegeneinander antreten, wird es erst 10:04.100 --> 10:08.120 spannend, wenn zum ersten Mal zwei Nullen direkt hintereinander 10:08.120 --> 10:09.160 aufgetreten sind. 10:09.820 --> 10:13.900 Dann sind aber die beiden Fälle 0 und 1 gleich wahrscheinlich. 10:15.440 --> 10:21.340 Etwas aufwendiger wird es beim Vergleich der Muster 0,1,0 und 1,0,0. 10:22.640 --> 10:27.420 Dass diese Wahrscheinlichkeit hier auch gleich 1,5 ist und diese 10:27.420 --> 10:31.380 Wahrscheinlichkeit hier, sieht man mit einer Methode ein, die ich 10:31.380 --> 10:34.220 gleich an einem komplizierteren Fall zeigen werde. 10:35.080 --> 10:39.300 Die nächsten Werte, die ich zeige, folgen dem Prinzip, dass entweder 10:39.300 --> 10:42.320 Muster B vor A kommt oder umgekehrt. 10:42.320 --> 10:46.620 Die Wahrscheinlichkeiten dieser beiden Fälle addieren sich also zu 1. 10:47.980 --> 10:51.700 Wenn also wie hier oben das Muster 0,0,1 mit Wahrscheinlichkeit zwei 10:51.700 --> 10:58.460 Drittel vor dem Muster 0,1,0 kommt, tritt 0,1,0 vor 0,0,1 mit 10:58.460 --> 11:00.100 Wahrscheinlichkeit ein Drittel auf. 11:00.380 --> 11:03.400 Das heißt hier kommt der Eintrag ein Drittel hin. 11:04.340 --> 11:08.800 In gleicher Weise ergeben sich diese zusätzlichen Werte und man 11:08.800 --> 11:13.040 erkennt eine komplementäre Beziehung in Bezug auf die absteigende 11:13.040 --> 11:14.060 Diagonale. 11:15.140 --> 11:17.560 Die weiteren Werte sehen so aus. 11:18.240 --> 11:24.300 Hier links steht 2 mal 3 Fünftel und komplementär dazu in der obersten 11:24.300 --> 11:27.460 Reihe hier jeweils 2 mal 2 Fünftel. 11:28.240 --> 11:32.980 Durch Vertauschen von 0,0,1 erhält man dann auch diese vier Werte 11:32.980 --> 11:33.940 rechts unten. 11:35.240 --> 11:38.740 Dazu kommen noch diese vier grau unterlegten Werte. 11:39.720 --> 11:45.160 Interessant ist, dass sogar Vielfache von 1 Zwölftel auftreten und wir 11:45.160 --> 11:49.340 werden gleich ganz speziell den Wert 7 Zwölftel in der ersten Spalte 11:49.340 --> 11:49.980 herleiten. 11:50.820 --> 11:55.340 Komplettiert wird diese Matrix durch diese jeweils Vielfachen von 1 11:55.340 --> 11:55.720 Zehntel. 11:57.000 --> 12:00.700 Ich zeige jetzt einmal, wie man auf diese Wahrscheinlichkeit 7 12:00.700 --> 12:01.900 Zwölftel hier kommt. 12:03.480 --> 12:07.520 Man kann sich das Ganze anhand eines sogenannten Zustandsgrafen 12:07.520 --> 12:08.360 veranschaulichen. 12:08.960 --> 12:14.300 Hier ist der Startknoten S und es konkurrieren die Muster 1,0,1 und 0 12:14.300 --> 12:15.420 ,0,0 miteinander. 12:16.660 --> 12:22.180 Zur Muster 1,0,1 kommt man, wenn eine 1 und dann eine 0 und dann 12:22.180 --> 12:23.660 wieder eine 1 auftritt. 12:23.660 --> 12:29.440 In gleicher Weise erreicht man das Muster 0,0,0 über 0 und 0,0. 12:30.960 --> 12:36.880 Nehmen wir an, Anja hat das Muster 0,0,0 und Bettina das Muster 1,0,1 12:36.880 --> 12:37.380 gewählt. 12:37.980 --> 12:43.520 Nach der ersten 1 befindet sich Bettina im Knoten 1 und Bettina wartet 12:43.520 --> 12:44.380 auf eine 0. 12:44.920 --> 12:48.440 Anja ist noch im Startknoten, weil keine 0 auftrat. 12:48.440 --> 12:54.640 Weitere Einsen lassen Bettina im Knoten 1 und Anja im Startknoten 12:54.640 --> 12:55.060 bleiben. 12:56.000 --> 13:02.960 Wenn dann eine 0 kommt, ist Bettina hier im Knoten 1,0 und Anja hier 13:02.960 --> 13:03.960 im Knoten 0. 13:04.740 --> 13:06.740 Bettina wartet jetzt auf die 1. 13:07.180 --> 13:08.460 Kommt die, hat sie gewonnen. 13:09.180 --> 13:13.160 Andernfalls wird sie in den Startknoten zurückgeworfen und benötigt 13:13.160 --> 13:15.180 wieder eine 1, um weiterzukommen. 13:16.140 --> 13:17.160 Was ist mit Anja? 13:17.660 --> 13:22.300 Wenn sie im Knoten 0 ist und eine 1 kommt, wird sie in den Startknoten 13:22.300 --> 13:23.160 zurückgeworfen. 13:23.740 --> 13:29.120 Und wenn sie im Knoten 0,0 ist und eine 1 auftritt, muss sie ebenfalls 13:29.120 --> 13:30.720 in den Startknoten zurück. 13:31.260 --> 13:35.280 Man sieht also an der Struktur dieses Graphen, dass Bettina 13:35.280 --> 13:40.500 prinzipiell im Vorteil ist, da sie vom Knoten 1 aus nicht in den 13:40.500 --> 13:42.700 Startzustand zurückgeworfen werden kann. 13:42.700 --> 13:46.820 Warum ist aber die Wahrscheinlichkeit, dass Bettina gewinnt, gleich 7 13:46.820 --> 13:47.500 Zwölftel? 13:48.440 --> 13:53.080 Hierzu schreibe ich kurz b für das Ereignis, dass Bettina gewinnt, 13:53.420 --> 13:57.980 also das Muster 1,0,1 vor dem Muster 0,0,0 auftritt. 13:59.080 --> 14:02.740 Die Idee ist, die Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit zu 14:02.740 --> 14:03.200 verwenden. 14:03.660 --> 14:07.460 Und zwar unterscheiden wir einfach nur nach dem Ergebnis des ersten 14:07.460 --> 14:08.540 Bernoulli -Versuchs. 14:08.540 --> 14:12.780 Die Wahrscheinlichkeit von b ist also ein Halb, das ist die 14:12.780 --> 14:16.620 Wahrscheinlichkeit für Treffer im ersten Versuch, mal die bedingte 14:16.620 --> 14:20.140 Wahrscheinlichkeit von b unter der Bedingung, dass am Anfang ein 14:20.140 --> 14:24.060 Treffer auftritt, plus die Wahrscheinlichkeit ein Halb, dass am Anfang 14:24.060 --> 14:28.020 eine Niete auftritt, mal die Wahrscheinlichkeit von b unter dieser 14:28.020 --> 14:28.580 Bedingung. 14:29.760 --> 14:32.440 Wir sehen uns jetzt diese beiden bedingten Wahrscheinlichkeiten 14:32.440 --> 14:33.360 einzeln an. 14:33.360 --> 14:38.860 Unter der mit 1 bezeichneten Bedingung ist Bettina im Knoten 1 und 14:38.860 --> 14:40.520 Anja ist im Startknoten. 14:40.980 --> 14:45.520 Beide bleiben in ihrem jeweiligen Knoten, solange Einsen auftreten. 14:46.220 --> 14:50.100 Irgendwann kommt aber die erste Null und dann wird es interessant. 14:51.160 --> 14:54.340 Gedanklich können wir also beide jeweils schon einen Knoten 14:54.340 --> 14:59.180 weiterlaufen lassen, Bettina ist also im Knoten 1,0 und Anja im Knoten 14:59.180 --> 14:59.400 0. 14:59.400 --> 15:03.580 Wir wenden jetzt wieder die Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit 15:03.580 --> 15:07.900 an, indem wir danach unterscheiden, ob das nächste Ergebnis nach 15:07.900 --> 15:11.580 dieser ersten Null eine Eins oder wieder eine Null ist. 15:12.060 --> 15:13.980 Beide Fälle sind gleichwahrscheinlich. 15:14.800 --> 15:17.040 Mit Wahrscheinlichkeit ein Halb kommt eine Eins. 15:17.520 --> 15:19.420 Dann hat aber Bettina gewonnen. 15:20.020 --> 15:23.000 Das führt auf den Summanden ein Halb mal Eins. 15:23.000 --> 15:27.120 Kommt aber eine Null, was auch mit der Wahrscheinlichkeit ein Halb 15:27.120 --> 15:31.960 passiert, so ist Bettina in den Startknoten zurückgeworfen worden und 15:31.960 --> 15:34.460 Anja steht im Knoten 0,0. 15:35.900 --> 15:39.360 Da die Bernoulli-Versuche anschaulich gesprochen gedächtnislos 15:39.360 --> 15:43.840 ablaufen, liegt aber die gleiche Situation vor, als wenn die beiden 15:43.840 --> 15:48.640 ersten Versuche jeweils Nieten ergeben hätten und das kennzeichne ich 15:48.640 --> 15:51.220 durch diese bedingte Wahrscheinlichkeit. 15:51.220 --> 15:52.880 Wie geht es weiter? 15:53.500 --> 15:58.360 Nun ein Halb mal Eins ist ein Halb plus ein Halb mal und jetzt kümmern 15:58.360 --> 16:02.840 wir uns um die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass Bettina gewinnt, wenn 16:02.840 --> 16:06.200 sie im Startknoten steht und Anja im Knoten 0,0. 16:07.420 --> 16:11.320 Wir unterscheiden wieder zwei Fälle, nämlich dass der nächste Versuch 16:11.320 --> 16:13.480 eine Niete oder einen Treffer ergibt. 16:13.920 --> 16:17.620 Tritt eine Niete auf, was mit Wahrscheinlichkeit ein Halb passiert, so 16:17.620 --> 16:21.560 hat Bettina verloren und das führt auf ein Halb mal 0. 16:22.360 --> 16:26.100 Mit Wahrscheinlichkeit ein Halb kommt aber eine Eins und dann muss 16:26.100 --> 16:30.140 Anja in den Startknoten zurück und Bettina ist im Knoten 1. 16:30.740 --> 16:34.660 Dieser Fall führt auf den Summanden ein Halb mal die 16:34.660 --> 16:37.220 Wahrscheinlichkeit von b unter der Bedingung 1. 16:37.900 --> 16:42.020 Aus dieser Gleichung können wir jetzt p von b unter der Bedingung 1 16:42.020 --> 16:45.500 direkt ausrechnen und erhalten den Wert zwei Drittel. 16:46.560 --> 16:49.960 Um die noch fehlende bedingte Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, 16:50.460 --> 16:53.840 unterscheiden wir die beiden Fälle, dass der zweite Versuch einen 16:53.840 --> 16:55.840 Treffer oder eine Niete ergibt. 16:56.360 --> 17:00.020 Die Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit liefert dann diese 17:00.020 --> 17:01.260 beiden Summanden. 17:02.580 --> 17:07.840 Kommt eine 0 und danach eine 1, so befinden sich Bettina im Knoten 1 17:07.840 --> 17:12.760 und Anja im Startknoten und es liegt die gleiche Situation vor, als 17:12.760 --> 17:15.980 wenn schon der erste Versuch einen Treffer ergeben hätte. 17:16.580 --> 17:19.760 Der erste Summand besitzt also diese Gestalt. 17:20.560 --> 17:23.580 Bei der zweiten bedingten Wahrscheinlichkeit betrachten wir die beiden 17:23.580 --> 17:28.320 gleichwahrscheinlichen Fälle, dass der nächste Versuch eine Niete oder 17:28.320 --> 17:29.760 einen Treffer ergibt. 17:30.500 --> 17:34.980 Im ersten Fall gewinnt Bettina mit der Wahrscheinlichkeit 0 und im 17:34.980 --> 17:40.520 zweiten ist Anja zurück im Startknoten und Bettina ist im Knoten 1. 17:41.340 --> 17:45.420 Wir erhalten also ein Halb mal ein Halb mal p von b unter der 17:45.420 --> 17:50.000 Bedingung 1, also ein Viertel mal p von b unter der Bedingung 1. 17:50.000 --> 17:54.740 Insgesamt steht rechts 3 Viertel mal p von b unter der Bedingung 1, 17:55.000 --> 17:59.920 also 3 Viertel mal 2 Drittel und das ist gleich 1 Halb. 18:00.660 --> 18:06.860 Insgesamt folgt also p von b gleich 1 Halb mal 2 Drittel plus 1 Halb 18:06.860 --> 18:12.380 mal 1 Halb und das ist 1 Drittel plus 1 Viertel und damit gleich 7 18:12.380 --> 18:12.960 Zwölftel. 18:14.740 --> 18:19.360 Ich möchte abschließend noch ein Phänomen ansprechen, das erst bei 18:19.360 --> 18:21.460 Mustern ab der Länge 4 auftritt. 18:21.920 --> 18:26.160 Es kann sein, dass das Muster A gegenüber dem Muster B im Mittel 18:26.160 --> 18:30.780 früher auftritt, das heißt der Erwartungswert, der Wartezeit auf das 18:30.780 --> 18:36.060 Muster A ist kleiner als der auf das Muster B, aber das Muster B ist 18:36.060 --> 18:39.680 besser als das Muster A in dem Sinn, dass es mit einer 18:39.680 --> 18:44.560 Wahrscheinlichkeit von mehr als 50 % vor dem Muster A auftritt. 18:45.380 --> 18:50.940 Ganz konkret gilt für diese beiden Muster der Länge 4, dass man im 18:50.940 --> 18:56.180 Mittel 18 Versuche auf das Muster A wartet und 20 Versuche auf das 18:56.180 --> 18:56.780 Muster B. 18:56.780 --> 19:00.860 Diese beiden Erwartungswerte wurden im zweiten Video über 19:00.860 --> 19:04.100 Erwartungswerte auf Muster in Bernoulli-Versuchen bestimmt. 19:05.040 --> 19:09.080 Auf der anderen Seite tritt das Muster B, auf das man im Mittel länger 19:09.080 --> 19:13.740 wartet, mit der Wahrscheinlichkeit 9 Vierzehntel, also deutlich größer 19:13.740 --> 19:16.540 als 1 Halb, vor dem Muster A auf. 19:17.060 --> 19:18.740 Ein interessantes Phänomen. 19:19.800 --> 19:23.520 Wer mehr darüber wissen will, dem empfehle ich als Einstieg einen 19:23.520 --> 19:26.460 Aufsatz, den ich vor längerer Zeit dazu verfasst habe. 19:26.780 --> 19:30.200 Dort findet man dann auch weitere Literatur aufgeführt. 19:31.260 --> 19:34.360 Ich bedanke mich ganz herzlich für das Anschauen dieses Videos. 19:34.800 --> 19:38.260 Wem es gefallen hat, der kann es natürlich sehr gerne weiterempfehlen.