WEBVTT 00:00.970 --> 00:04.700 Herzlich willkommen zu diesem Video über Wahrscheinlichkeitsräume und 00:04.700 --> 00:06.760 das Kolmogorov'sche Axiomensystem. 00:07.480 --> 00:11.080 Andrey Nikolayevich Kolmogorov war einer der bedeutendsten 00:11.080 --> 00:12.400 Mathematiker des 20. 00:12.680 --> 00:18.340 Jahrhunderts und er war 30 Jahre alt, als er im Jahr 1933 ein 00:18.340 --> 00:20.900 Axiomensystem für die Stochastik aufstellte. 00:21.680 --> 00:26.460 Ganz allgemein besteht ein Axiomensystem in der Mathematik aus nicht 00:26.460 --> 00:31.820 beweisbaren Grundpostulaten, also Forderungen, die man stellt, um auf 00:31.820 --> 00:35.900 sicherem Boden zu stehen und darauf aufbauend begründete Schlüsse 00:35.900 --> 00:36.800 ziehen zu können. 00:37.720 --> 00:41.500 Um die einem Wahrscheinlichkeitsraum zugrunde liegenden Axiome zu 00:41.500 --> 00:43.760 motivieren, diene diese Abbildung. 00:44.680 --> 00:47.880 Ich habe dazu eine Reißzwecke oder wie man manchmal auch sagt 00:47.880 --> 00:51.720 Heftzwecke 300 Mal auf einen Steinboden geworfen. 00:52.580 --> 00:59.240 Insgesamt fiel sie 126 Mal mit der Spitze nach oben und 174 Mal mit 00:59.240 --> 01:00.720 der Spitze schräg nach unten. 01:01.620 --> 01:05.720 Man sieht die im zeitlichen Verlauf der 300 Würfe aufgetragenen 01:05.720 --> 01:10.160 relativen Häufigkeiten derjenigen Fälle, bei denen die Spitze oben 01:10.160 --> 01:10.500 lag. 01:11.100 --> 01:15.980 Ganz am Ende ist also die relative Häufigkeit gleich 126 geteilt durch 01:15.980 --> 01:18.680 300 und damit etwa 0,41. 01:19.680 --> 01:23.680 Offenbar scheinen sich diese relativen Häufigkeiten bei wachsender 01:23.680 --> 01:26.100 Anzahl von Würfen zu stabilisieren. 01:27.240 --> 01:31.020 Allgemeiner stellen wir uns einen stochastischen Vorgang vor, dessen 01:31.020 --> 01:34.700 mögliche Ergebnisse durch einen mit Omega bezeichneten sogenannten 01:34.700 --> 01:36.320 Grundraum beschrieben werden. 01:37.380 --> 01:41.180 Dieser Vorgang werde N Mal in unabhängiger Folge unter gleichen 01:41.180 --> 01:42.360 Bedingungen wiederholt. 01:43.000 --> 01:46.400 Wir können hier etwa an das wiederholte Werfen eines Würfels oder das 01:46.400 --> 01:48.080 Drehen eines Glücksrades denken. 01:48.080 --> 01:53.900 Für eine beliebige Teilmenge von Omega bezeichne Rn von a den 01:53.900 --> 01:58.380 relativen Anteil der Male, bei denen der Ausgang des stochastischen 01:58.380 --> 02:00.220 Vorgangs zu a gehört. 02:00.880 --> 02:05.760 Wir zählen also, wie oft insgesamt das Ereignis a eintrat, also das 02:05.760 --> 02:09.660 Ergebnis des stochastischen Vorgangs als Element von Omega zur 02:09.660 --> 02:14.600 Teilmenge a gehört und teilen dann durch die Gesamtanzahl n der 02:14.600 --> 02:15.080 Wiederholung. 02:16.060 --> 02:17.920 Dann gelten folgende Aussagen. 02:18.780 --> 02:24.840 Rn von a liegt als relative Häufigkeit immer zwischen 0 und 1, Rn von 02:24.840 --> 02:30.520 Omega ist gleich 1 und wenn a und b zwei Teilmengen von Omega sind, 02:30.640 --> 02:34.540 deren Durchschnitt die leere Menge ist, so ist die relative Häufigkeit 02:34.540 --> 02:39.020 der Vereinigung von a und b gleich der Summe der einzelnen relativen 02:39.020 --> 02:39.680 Häufigkeiten. 02:39.680 --> 02:45.060 Diese Aussagen gelten für jedes n, aber es kommt etwas Entscheidendes 02:45.060 --> 02:45.600 hinzu. 02:46.380 --> 02:50.480 Die relative Häufigkeit von a stabilisiert sich erfahrungsgemäß bei 02:50.480 --> 02:51.360 wachsendem n. 02:52.080 --> 02:56.440 Das hat nichts mit Mathematik zu tun, sondern es ist einfach etwas, 02:56.620 --> 02:57.860 was wir feststellen. 02:58.500 --> 03:01.920 Wenn wir doch einmal auf die Abbildung schauen, würden wir sagen, die 03:01.920 --> 03:06.060 Erfahrung hat gezeigt, dass ich bei dieser Reißzwecke und diesem 03:06.060 --> 03:10.800 Steinboden bei einem künftigen Wurf eher darauf wetten würde, dass sie 03:10.800 --> 03:16.060 mit der Spitze schräg nach unten fällt, denn nur in ungefähr 41% aller 03:16.060 --> 03:18.380 Fälle fiel sie mit der Spitze nach oben. 03:19.300 --> 03:21.860 Was wir nicht wissen ist, wie es weitergeht. 03:22.860 --> 03:27.020 Und bei dieser beobachteten Stabilisierung liegt auch keine Konvergenz 03:27.020 --> 03:28.460 im Sinne der Analyse vor. 03:29.380 --> 03:34.400 Was Kolmogorov unter anderem gemacht hat, er hat Grundpostulate, also 03:34.400 --> 03:39.300 Axiome, für diese ominösen Fragezeichen hier aufgestellt. 03:40.100 --> 03:42.320 Sehen wir uns einmal das Axiomensystem an. 03:43.080 --> 03:47.360 Es definiert, was ein Wahrscheinlichkeitsraum ist, nämlich ein Tripel. 03:47.360 --> 03:51.680 Wie der Name sagt, besteht ein Tripel aus drei Dingen und man sieht 03:51.680 --> 03:55.880 hier ein Omega, ein kalligrafisches A und ein schmuckes B. 03:56.960 --> 04:00.800 Jetzt kommt die Kraft der Abstraktion, die der Mathematik fast 04:00.800 --> 04:02.940 unbegrenzte Anwendungen verschafft. 04:03.400 --> 04:06.500 Omega ist eine beliebige, nicht leere Menge. 04:07.380 --> 04:10.340 Natürlich hat man hier die möglichen Ergebnisse eines stochastischen 04:10.340 --> 04:14.720 Vorgangs im Hinterkopf, ja selbstverständlich, und die Wahl von Omega 04:14.720 --> 04:19.080 in konkreten Situationen kann schwierig sein, aber hier geht es um 04:19.080 --> 04:23.360 Mathematik und wir vergessen einmal zumindest vorläufig jegliche 04:23.360 --> 04:26.060 konkreten Situationen und Anwendungen. 04:27.180 --> 04:29.840 Was ist das kalligrafische A im obigen Tripel? 04:30.520 --> 04:35.520 Es ist ein System von Teilmengen von Omega, also formal eine Teilmenge 04:35.520 --> 04:39.560 der Potenzmenge von Omega und zwar genauer eine Sigma-Algebra. 04:39.560 --> 04:44.480 Das heißt, es enthält die leere Menge mit jeder Menge auch deren 04:44.480 --> 04:49.200 Komplement und mit je abzählbar vielen Mengen auch deren Vereinigung. 04:50.180 --> 04:53.380 Wer den Begriff einer Sigma-Algebra noch nicht kennt, kann sich zum 04:53.380 --> 04:55.240 Beispiel mein Video dazu ansehen. 04:55.960 --> 04:59.860 Die Mengen aus diesem System werden diejenigen sein, denen wir 04:59.860 --> 05:04.040 Wahrscheinlichkeiten zuordnen und man wünscht sich, dass man jeder 05:04.040 --> 05:07.860 Teilmenge von Omega eine solche Wahrscheinlichkeit zuweisen kann. 05:07.860 --> 05:12.460 Das geht aber nicht immer und so kann es sein, dass das kalligrafische 05:12.460 --> 05:16.100 A eine echte Teilmenge der Potenzmenge von Omega ist. 05:16.880 --> 05:21.620 Das schmucke P im Tripel ist eine auf dem System A definierte reelle 05:21.620 --> 05:22.300 Funktion. 05:23.260 --> 05:26.820 Von dieser Funktion fordert man dreierlei und zwar sind diese 05:26.820 --> 05:31.240 Forderungen an die Eigenschaften relativer Häufigkeiten angelehnt. 05:31.940 --> 05:37.000 Das erste Axiom besagt, dass P von A immer nicht negativ ist. 05:37.000 --> 05:42.620 Die zweite Forderung ist die sogenannte Normierungseigenschaft P von 05:42.620 --> 05:44.060 Omega gleich 1. 05:45.560 --> 05:50.360 Das dritte Axiom besagt, dass P von einer abzählbaren Vereinigung 05:50.360 --> 05:55.340 paarweise disjunkter Mengen aus dem System A gleich der Summe der P 05:55.340 --> 05:56.340 von A n ist. 05:57.080 --> 06:01.500 Man sieht, dass ich hier etwas farbig hervorgehoben habe und diese 06:01.500 --> 06:04.160 Schreibweise ist nicht nur eine Marotte von mir. 06:04.160 --> 06:09.180 Sind allgemein Mengen paarweise disjunkt, so schreibt man häufig die 06:09.180 --> 06:12.520 Vereinigung dieser Mengen mit dem Summen und nicht mit dem 06:12.520 --> 06:13.620 Vereinigungszeichen. 06:14.160 --> 06:18.160 Man nennt diese Eigenschaft die sogenannte Sigma-Additivität von P. 06:19.020 --> 06:23.540 Das Präfix Sigma bezieht sich dabei auf die Tatsache, dass unendlich 06:23.540 --> 06:24.800 viele Mengen auftreten. 06:25.570 --> 06:30.020 Die grundlegende Bedeutung der Sigma-Additivität wurde Ende des 19. 06:30.440 --> 06:35.220 Jahrhunderts vom französischen Mathematiker Emil Borel erkannt und sie 06:35.220 --> 06:38.960 führte zur Entwicklung der allgemeinen Maß- und Integrationstheorie. 06:40.080 --> 06:45.000 Man nennt die Funktion P ein Wahrscheinlichkeitsmaß, kurz W-Maß, auf 06:45.000 --> 06:49.220 dem System A und jede Menge aus A heißt Ereignis. 06:51.440 --> 06:54.400 Folgendes sollte man bei diesem Axiomsystem beachten. 06:55.360 --> 06:59.660 Ist Omega eine abzählbare Menge, also entweder endlich oder wie die 06:59.660 --> 07:03.540 Menge der natürlichen Zahlen abzählbar unendlich, so kann als Sigma 07:03.540 --> 07:06.700 -Algebra immer die Potenzmenge von Omega gewählt werden. 07:07.220 --> 07:08.800 Ich gehe darauf später noch ein. 07:10.040 --> 07:14.760 Offenbar macht dieses Axiomsystem keinerlei inhaltliche Aussage 07:14.760 --> 07:19.180 darüber, was eine Wahrscheinlichkeit ist, sondern es legt nur fest, 07:19.560 --> 07:23.460 welche formalen Eigenschaften Wahrscheinlichkeiten als mathematische 07:23.460 --> 07:26.000 Objekte unbedingt besitzen sollten. 07:26.740 --> 07:30.280 In der Mathematik wird aber auch nicht inhaltlich definiert, was eine 07:30.280 --> 07:32.660 Gruppe oder was ein Vektorraum ist. 07:33.680 --> 07:37.080 Wenn man an Anwendungen denkt, so ist ein Wahrscheinlichkeitsraum 07:37.080 --> 07:41.160 immer ein mathematisches Modell und ein solches Modell kann die 07:41.160 --> 07:44.380 Wirklichkeit mehr oder weniger gut beschreiben. 07:45.300 --> 07:49.540 Wir werden jetzt aus obigen Axiomen einige wichtige Folgerungen 07:49.540 --> 07:49.860 ziehen. 07:50.460 --> 07:54.040 Ich nehme dazu die Axiome als Memo auf die nächste Folie. 07:54.780 --> 08:00.140 Also p von a ist eine nicht-negativ-reelle Zahl, p von Omega ist 08:00.140 --> 08:03.900 gleich 1 und p ist Sigma-Additiv. 08:04.980 --> 08:06.820 Die Folgerungen sehen so aus. 08:07.600 --> 08:10.520 Für Ereignisse a, b, a1, a2 usw. 08:10.780 --> 08:15.380 gelten Erste Folgerung, p von der leeren Menge ist gleich 0. 08:16.540 --> 08:20.960 Diese Eigenschaft ergibt sich aus der Sigma-Additivität, indem man 08:20.960 --> 08:24.360 jede der Mengen a, n gleich der leeren Menge setzt. 08:24.920 --> 08:29.740 Dann steht links p von der leeren Menge und rechts diese 08:29.740 --> 08:32.860 Wahrscheinlichkeit unendlich oft aufsummiert. 08:32.860 --> 08:37.500 Da p von der leeren Menge nach Voraussetzung eine reelle Zahl ist, 08:37.860 --> 08:41.220 kann das nur gehen, wenn diese Zahl gleich 0 ist. 08:42.820 --> 08:46.720 Die zweite Folgerung besagt, dass die Wahrscheinlichkeit einer 08:46.720 --> 08:51.080 endlichen Vereinigung paarweise des jüngter Ereignisse gleich der 08:51.080 --> 08:54.140 Summe der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse ist. 08:55.040 --> 08:58.080 Man sieht, dass ich wieder das Summenzeichen verwendet habe. 08:58.080 --> 09:02.540 Man nennt diese für jedes feste k größer oder gleich 2 geltende 09:02.540 --> 09:05.500 Eigenschaft die endliche Additivität von p. 09:06.300 --> 09:10.680 Diese Eigenschaft folgt sofort aus der Sigma-Additivität im Memo oben 09:10.680 --> 09:16.040 rechts, wenn man jedes a, n mit n größer als k gleich der leeren Menge 09:16.040 --> 09:19.800 setzt, da ja die leere Menge die Wahrscheinlichkeit 0 besitzt. 09:21.320 --> 09:26.200 Folgerung c besagt, dass p von a nicht nur größer oder gleich 0 ist, 09:26.300 --> 09:28.380 sondern auch kleiner gleich 1. 09:28.920 --> 09:32.960 Wir beweisen diese Eigenschaft zusammen mit einer weiteren und die 09:32.960 --> 09:37.020 besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des Komplementes eines Ereignisses 09:37.020 --> 09:39.860 a gleich 1 minus p von a ist. 09:40.720 --> 09:44.060 Man nennt Folgerung d die Regel von der komplementären 09:44.060 --> 09:44.940 Wahrscheinlichkeit. 09:45.720 --> 09:49.920 Manchmal wird das Komplement eines Ereignisses a auch als a-quer 09:49.920 --> 09:53.480 geschrieben, aber ich verwende im folgenden das hochgestellte c. 09:54.460 --> 10:01.880 Eigenschaft d folgt, indem man in b k gleich 2 sowie a1 gleich a und 10:01.880 --> 10:04.340 a2 gleich a Komplement setzt. 10:04.660 --> 10:09.720 Da die Vereinigung von a und a Komplement gleich Omega ist, steht dann 10:09.720 --> 10:16.380 in b links p von Omega, also 1 und rechts p von a plus p von a 10:16.380 --> 10:16.860 Komplement. 10:17.840 --> 10:21.820 Also folgt die Regel von der komplementären Wahrscheinlichkeit und wir 10:21.820 --> 10:27.260 erhalten auch c, da p von a Komplement größer oder gleich 0 und damit 10:27.260 --> 10:29.640 p von a kleiner gleich 1 ist. 10:31.860 --> 10:37.260 Die nächste Folgerung besagt, ist a eine Teilmenge von b, so folgt p 10:37.260 --> 10:39.100 von a kleiner gleich p von b. 10:39.100 --> 10:43.360 Diese sogenannte Monotonie-Eigenschaft des Wahrscheinlichkeitsmaßes 10:43.360 --> 10:48.760 folgt daraus, dass man b als Vereinigung der Desjungenmengen a und b 10:48.760 --> 10:50.520 vermindert um a schreiben kann. 10:51.300 --> 10:55.320 Aus der endlichen Additivität und der Tatsache, dass p von b 10:55.320 --> 10:59.420 vermindert um a größer oder gleich 0 ist, folgt dann die Behauptung. 11:00.640 --> 11:04.320 Die nächste Folgerung ist der sogenannte Additionssatz für zwei 11:04.320 --> 11:05.040 Ereignisse. 11:05.040 --> 11:08.900 Er besagt, dass die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung zweier 11:08.900 --> 11:12.340 Ereignisse gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der beiden 11:12.340 --> 11:16.020 Ereignisse vermindert um die Wahrscheinlichkeit des Durchschnittes 11:16.020 --> 11:16.320 ist. 11:17.220 --> 11:20.940 Bevor wir diese Folgerung beweisen, möchte ich noch eine letzte 11:20.940 --> 11:21.560 angeben. 11:22.420 --> 11:25.880 Die Wahrscheinlichkeit einer Vereinigung von absehbar unendlich vielen 11:25.880 --> 11:29.620 Ereignissen ist höchstens gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten 11:29.620 --> 11:31.000 der einzelnen Ereignisse. 11:31.000 --> 11:34.640 Diese Eigenschaft wird Sigma-Subadditivität genannt. 11:36.040 --> 11:40.400 Die Idee für einen Beweis des Additionssatzes ist anhand eines Fenn 11:40.400 --> 11:41.300 -Diagramms klar. 11:42.060 --> 11:46.020 Das hier sei das Ereignis a und das das Ereignis b. 11:46.800 --> 11:51.360 Dann sieht man hier den Durchschnitt von a und b und das hier ist a 11:51.360 --> 11:55.660 vermindert um b und dieser Teil ist b vermindert um a. 11:55.660 --> 12:00.380 Addiert man p von a und p von b, so wird offenbar p von a geschnitten 12:00.380 --> 12:03.720 b doppelt gezählt und muss deshalb subtrahiert werden. 12:04.760 --> 12:09.440 Ein formaler Beweis ohne Bild verwendet, dass man die Menge a in 12:09.440 --> 12:13.380 dieser Form als Vereinigung zweier disjuncter Mengen schreiben kann. 12:13.740 --> 12:17.260 Und die Menge b lässt sich in gleicher Weise als Vereinigung zweier 12:17.260 --> 12:18.440 disjuncter Mengen schreiben. 12:19.260 --> 12:24.900 Aufgrund der endlichen Additivität ist dann p von a diese Summe und in 12:24.900 --> 12:27.500 gleicher Weise ist p von b diese Summe. 12:28.180 --> 12:32.640 Die Vereinigung von a und b ist die Menge a vereinigt mit der dazu 12:32.640 --> 12:37.300 disjunkten Menge b vermindert um a, also b geschnitten a Komplement. 12:38.080 --> 12:42.680 Nach der Darstellung für a ist also a vereinigt b die Vereinigung der 12:42.680 --> 12:47.440 drei paarweise disjunkten Mengen a geschnitten b Komplement, a 12:47.440 --> 12:50.640 geschnitten b und b geschnitten a Komplement. 12:50.640 --> 12:55.660 Nach der endlichen Additivität gilt dann diese Gleichung. 12:56.680 --> 13:00.260 Jetzt folgt auch rein algebraisch, was wir eben anschaulich gesehen 13:00.260 --> 13:00.640 haben. 13:01.260 --> 13:05.460 Addiert man p von a und p von b, so erhält man die rechte Seite der 13:05.460 --> 13:08.940 letzten Gleichung plus den summanden p von a geschnitten b. 13:09.500 --> 13:13.940 Den muss man also subtrahieren, um p von a vereinigt b zu erhalten. 13:13.940 --> 13:18.720 Damit ist der Additionssatz bewiesen und es bleibt nur noch die Sigma 13:18.720 --> 13:20.340 -Subadditivität zu zeigen. 13:20.980 --> 13:25.020 Ich nehme einmal das, was noch zu beweisen ist, auf die nächste Folie. 13:26.300 --> 13:31.540 Die naheliegende Beweisidee besteht darin, die Vereinigung der a,n als 13:31.540 --> 13:34.380 Vereinigung paarweise disjunkter Mengen zu schreiben. 13:35.660 --> 13:42.760 Hierzu setzen wir b1 gleich a1 und b2 als a2 vermindert um a1, nehmen 13:42.760 --> 13:47.660 also aus a2 nur das, was nicht schon in a1 enthalten ist. 13:48.220 --> 13:53.180 In gleicher Weise sei b3 gleich a3 vermindert um die Vereinigung von 13:53.180 --> 13:55.300 a1 und a2 und so weiter. 13:56.300 --> 14:02.160 Wenn das hier die Menge a1 ist, ist diese auch gleich b1 und wenn das 14:02.160 --> 14:07.220 die Menge a2 ist, so ist dieser beige gefärbte Teil gleich b2. 14:08.140 --> 14:13.060 Von der hier eingezeichneten Menge a3 ist dann dieser Teil die Menge 14:13.060 --> 14:13.700 b3. 14:14.800 --> 14:21.120 Allgemein ist bn gleich an vermindert um die Vereinigung von a1 bis an 14:21.120 --> 14:27.620 -1, also an geschnitten mit jedem der Komplimente der aj über j von 1 14:27.620 --> 14:28.900 bis n-1. 14:30.240 --> 14:35.980 Nach Konstruktion ist dann für jedes n bn eine Teilmenge von an und 14:35.980 --> 14:41.760 die Mengen bn und bm sind für verschiedene Indizes m und n disjunkt. 14:42.000 --> 14:45.900 Das Schöne ist, dass die Vereinigung der an gleich der Vereinigung der 14:45.900 --> 14:50.820 bn ist, wobei ich wegen der Paarweisen disjunktheit der bn rechts 14:50.820 --> 14:52.880 wieder das Summenzeichen verwendet habe. 14:53.880 --> 14:57.920 Auf jeden Fall ist hier die rechte Seite Teilmenge der linken, weil 14:57.920 --> 15:01.120 für jedes n bn eine Teilmenge von an ist. 15:01.700 --> 15:06.220 Es gilt aber nach dem sogenannten Prinzip des kleinsten Täters auch 15:06.220 --> 15:10.500 die umgekehrte Teilmengenbeziehung, denn wenn ein Element von Omega, 15:10.740 --> 15:15.000 nennen wir es x, zur Menge links vom Gleichheitszeichen gehört, so 15:15.000 --> 15:19.700 gibt es mindestens eine natürliche Zahl n, sodass x in an liegt. 15:20.200 --> 15:24.820 Dann gibt es aber auch eine kleinste natürliche Zahl, einen kleinsten 15:24.820 --> 15:27.500 Täter, sodass x in an liegt. 15:28.080 --> 15:33.240 Das heißt x gehört zu an, aber weder zu a1 noch zu a2 usw. 15:33.380 --> 15:35.000 noch zu an-1. 15:35.000 --> 15:38.440 Das ist aber gerade die Definition von bn. 15:39.320 --> 15:42.420 Also gibt es ein n mit x Element bn. 15:42.880 --> 15:46.000 Das heißt x gehört zur Menge rechts vom Gleichheitszeichen. 15:46.860 --> 15:50.320 Hieraus folgt, dass die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung der an 15:50.320 --> 15:53.520 gleich der Wahrscheinlichkeit der Vereinigung der bn ist. 15:54.120 --> 15:58.360 Wegen der Sigma-Additivität gilt jetzt dieses Gleichheitszeichen. 15:58.360 --> 16:04.580 Und da bn eine Teilmenge von an ist, gilt p von bn kleiner gleich p 16:04.580 --> 16:09.160 von an und wir erhalten diese Ungleichung und damit die Sigma 16:09.160 --> 16:10.780 -Subadditivität von p. 16:11.480 --> 16:13.540 Damit sind alle Folgerungen bewiesen. 16:14.880 --> 16:17.940 Ich möchte abschließend zwei Beispielklassen für 16:17.940 --> 16:19.520 Wahrscheinlichkeitsräume angeben. 16:20.060 --> 16:23.900 Die erste Klasse besteht aus den sogenannten diskreten 16:23.900 --> 16:25.060 Wahrscheinlichkeitsräumen. 16:25.060 --> 16:30.520 In diesem Fall ist Omega eine abzählbare Menge, das heißt entweder 16:30.520 --> 16:33.140 endlich oder abzählbar unendlich. 16:33.660 --> 16:37.300 Man sieht, dass ich die Elemente von Omega mithilfe natürlicher Zahlen 16:37.300 --> 16:38.600 durchnummeriert habe. 16:39.100 --> 16:43.200 Omega 1 ist das erste Element, Omega 2 das zweite usw. 16:43.800 --> 16:46.140 Bei einer endlichen Menge ist dann irgendwann Schluss. 16:47.120 --> 16:51.360 Die Sigma-Algebra a ist hier das System aller Teilmengen von Omega, 16:51.560 --> 16:52.380 also die Potenzmenge. 16:52.380 --> 16:56.960 In diesem Fall ist es recht einfach, Wahrscheinlichkeitsmaße zu 16:56.960 --> 16:57.380 konstruieren. 16:58.360 --> 17:03.080 Man ordnet einfach den Elementen von Omega nicht-negativ-reelle Zahlen 17:03.080 --> 17:05.220 zu, die sich zu 1 aufsummieren. 17:05.960 --> 17:09.820 Je nachdem, ob Omega eine endliche oder abzählbar unendliche Menge 17:09.820 --> 17:13.600 ist, steht hier eine endliche Summe oder der Grenzwert einer 17:13.600 --> 17:14.640 unendlichen Reihe. 17:14.640 --> 17:20.540 Jetzt definieren wir einfach für eine Teilmenge a von Omega, p von a 17:20.540 --> 17:25.860 als die Summe der pj über alle j mit der Eigenschaft, dass omega j in 17:25.860 --> 17:26.580 a liegt. 17:27.140 --> 17:29.980 Hierdurch wird ein Wahrscheinlichkeitsmaß definiert. 17:31.040 --> 17:32.060 Was müssen wir zeigen? 17:32.820 --> 17:36.580 Nun, die Nicht-Negativität von p ist klar und auch die 17:36.580 --> 17:39.760 Normierungsbedingung p von Omega gleich 1. 17:39.760 --> 17:44.880 Die Sigma-Additivität folgt aus dem sogenannten großen Umordnungssatz 17:44.880 --> 17:48.200 für Reihen, über den ich ein eigenes Video gemacht habe. 17:48.840 --> 17:53.000 Natürlich muss man dieses Geschütz nur für den Fall auffahren, dass 17:53.000 --> 17:54.840 die Menge Omega unendlich ist. 17:55.600 --> 17:59.140 Man kann und sollte mit einem diskreten Wahrscheinlichkeitsraum immer 17:59.140 --> 18:01.180 an eine Massenverteilung denken. 18:01.180 --> 18:06.460 Die Zahl pj ist einfach die Wahrscheinlichkeitsmasse, die als Stab der 18:06.460 --> 18:09.640 Länge pj im Punkt Omega j angebracht wird. 18:10.420 --> 18:14.960 Ein wichtiger Spezialfall eines diskreten Wahrscheinlichkeitsraums ist 18:14.960 --> 18:17.880 der nach Pierre-Simon Laplace benannte Laplace 18:17.880 --> 18:19.100 -Wahrscheinlichkeitsraum. 18:19.100 --> 18:24.580 Hier ist Omega eine mindestens zweielementige, endliche Menge und die 18:24.580 --> 18:29.520 Wahrscheinlichkeit einer Teilmenge a ist die Anzahl der Elemente von a 18:29.520 --> 18:32.440 dividiert durch die Anzahl der Elemente von Omega. 18:33.260 --> 18:37.340 In diesem Modell sieht man jedes Element von Omega als gleichmöglich 18:37.340 --> 18:41.080 im Hinblick auf den Ausgang eines stochastischen Vorgangs an. 18:41.080 --> 18:45.360 Man spricht dann etwa von einem unverfälschten Würfel, einer fairen 18:45.360 --> 18:48.680 Münze oder von rein zufälligem Ziehen. 18:49.780 --> 18:53.640 Die zweite Beispielklasse betrifft diesen Wahrscheinlichkeitsraum. 18:54.540 --> 19:00.040 Der Grundraum Omega ist hier der r hoch n und die Sigma-Algebra a ist 19:00.040 --> 19:04.340 das mit einem kaligrafischen b hoch n geschriebene sogenannte System 19:04.340 --> 19:06.400 der Borellenmengen im r hoch n. 19:07.160 --> 19:11.540 Diese Sigma-Algebra ist die kleinste Sigma-Algebra im r hoch n, die 19:11.540 --> 19:13.240 alle offenen Mengen enthält. 19:14.400 --> 19:18.000 Auch über diese Sigma-Algebra habe ich ein eigenes Video gemacht. 19:18.900 --> 19:23.340 Das Lambda hoch n ist das Borelle-Beck-Maß im r hoch n. 19:23.900 --> 19:27.740 Wer dieses auf dem System der Borellmengen definierte Maß noch nicht 19:27.740 --> 19:32.460 kennt, salopp gesprochen ordnet es einer Borellmenge im r hoch n deren 19:32.460 --> 19:34.400 n -dimensionales Volumen zu. 19:35.060 --> 19:40.160 Also etwa Intervallen im r1 deren Länge, Rechtecken im r2 deren Fläche 19:40.160 --> 19:42.900 und Quadern im r3 deren Volumen. 19:42.900 --> 19:48.000 Das oben vor dem Lambda hoch n stehende f ist eine auf dem r hoch n 19:48.000 --> 19:52.880 definierte nicht negative messbare Funktion, das heißt die Urbilder 19:52.880 --> 19:56.480 von Borellmengen im r1 sind Borellmengen im r hoch n. 19:57.420 --> 20:01.140 Wichtig ist die Eigenschaft, dass das Lebesgue-Integral dieser 20:01.140 --> 20:05.280 Funktion über dem gesamten r hoch n und dafür schreibt man auch so 20:05.280 --> 20:06.700 gleich 1 ist. 20:07.860 --> 20:11.200 Man nennt eine solche Funktion f eine Wahrscheinlichkeitsdichte. 20:11.200 --> 20:14.960 Jetzt kann man ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf dem System der 20:14.960 --> 20:19.800 Borellmengen definieren, indem man einer Borellmenge b das Integral 20:19.800 --> 20:22.360 von f über dieser Menge zuordnet. 20:23.340 --> 20:27.660 Damit die Funktion p Sigma-additiv wird, muss man hier mit dem 20:27.660 --> 20:29.160 Lebesgue -Integral arbeiten. 20:29.940 --> 20:33.620 Der Satz von Beppo Levi, der auch als Satz von der monotonen 20:33.620 --> 20:37.660 Konvergenz bekannt ist, liefert gerade die Sigma-Additivität. 20:38.640 --> 20:39.880 Soweit die Theorie. 20:40.820 --> 20:45.060 In Anwendungen ist die Dichte f meist stetig oder zumindest stückweise 20:45.060 --> 20:45.680 stetig. 20:46.160 --> 20:50.200 Und die Menge b ist so einfach, dass auch mit dem Riemann-Integral 20:50.200 --> 20:51.540 gearbeitet werden kann. 20:51.980 --> 20:55.460 Im eindimensionalen Fall könnte das Ganze so aussehen. 20:56.180 --> 20:59.000 Blau eingezeichnet ist der Graph der Dichte f. 20:59.000 --> 21:03.840 Der Flächeninhalt zwischen der x-Achse und diesem Graphen ist gleich 1 21:03.840 --> 21:07.920 und die Wahrscheinlichkeit eines Intervalls mit den Grenzen a und b 21:07.920 --> 21:13.540 ist das Integral von a bis b über f von x dx, also anschaulich der 21:13.540 --> 21:15.640 gelb hervorgehobene Flächeninhalt. 21:16.220 --> 21:19.000 Man kann also ganz konkret rechnen. 21:19.000 --> 21:22.960 Dabei kommt es nicht darauf an, ob das Intervall offen, abgeschlossen 21:22.960 --> 21:26.380 oder halboffen ist, denn im Gegensatz zu einem diskreten 21:26.380 --> 21:29.980 Wahrscheinlichkeitsraum besitzt in dieser Beispielklasse mit 21:29.980 --> 21:34.100 Wahrscheinlichkeitsdichten jeder einzelne Punkt die Wahrscheinlichkeit 21:34.100 --> 21:34.380 0. 21:35.260 --> 21:38.280 Beispiele für solche Dichten sind die Dichten der stetigen 21:38.280 --> 21:42.100 Gleichverteilung auf einem Intervall, der Normalverteilung oder der 21:42.100 --> 21:43.480 Exponentialverteilung. 21:46.040 --> 21:49.400 Damit sind wir am Ende dieses Videos angelangt. 21:49.400 --> 21:54.100 Ich bedanke mich ganz herzlich fürs Anschauen, für Hinweise und 21:54.100 --> 21:56.800 konstruktive Kritik bin ich wie immer dankbar.