WEBVTT

00:01.070 --> 00:04.410
Ganz herzlich willkommen zu diesem Video zum Thema bedingte

00:04.410 --> 00:05.290
Wahrscheinlichkeiten.

00:05.870 --> 00:08.250
Es geht um das klassische Zwei-Jungen-Problem.

00:08.990 --> 00:12.490
Das Problem ist schnell gestellt und es findet sich in zwei Varianten.

00:13.170 --> 00:17.650
Die erste Variante ist die, eine Familie habe zwei Kinder, wobei

00:17.650 --> 00:20.430
mindestens eines davon ein Junge ist.

00:20.830 --> 00:24.250
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist auch das andere Kind ein Junge?

00:24.910 --> 00:27.270
Die zweite Variante sieht so aus.

00:27.650 --> 00:32.530
Wir treffen zufällig einen Jungen und der sagt uns, dass er aus einer

00:32.530 --> 00:34.210
Familie mit zwei Kindern kommt.

00:34.930 --> 00:38.510
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist das andere Kind ein Junge?

00:39.590 --> 00:42.550
Das sieht alles sehr unverfänglich aus.

00:43.130 --> 00:47.410
Wir werden sehen, dass hier zwei doch recht unterschiedliche Lösungen

00:47.410 --> 00:48.170
herauskommen.

00:48.890 --> 00:52.010
Wir machen zunächst eine vereinfachende Grundannahme.

00:52.230 --> 00:56.450
Und zwar nehmen wir an, dass die vier Möglichkeiten Junge-Junge, Junge

00:56.450 --> 01:00.350
-Mädchen, Mädchen-Junge und Mädchen-Mädchen gleich wahrscheinlich

01:00.350 --> 01:00.790
sind.

01:01.730 --> 01:05.430
Dabei bezeichnet der erste Buchstabe das Geschlecht des älteren

01:05.430 --> 01:05.950
Kindes.

01:06.610 --> 01:09.890
Eines der beiden Kinder ist auch bei Zwillingen das erste, nehmen wir

01:09.890 --> 01:12.790
den Zeitpunkt des Durchtrennens der Nabelschnur.

01:13.590 --> 01:18.070
Die Annahme beinhaltet auch, dass jedes der Kinder entweder männlich

01:18.070 --> 01:19.170
oder weiblich ist.

01:19.950 --> 01:24.410
Als Stochastisches Modell wählen wir also die mit einem schmucken P

01:24.410 --> 01:28.490
bezeichnete Laplace oder Gleichverteilung auf der mit Omega

01:28.490 --> 01:31.230
bezeichneten Menge dieser vier Möglichkeiten.

01:32.550 --> 01:34.610
Wir sehen uns mal das erste Problem an.

01:34.830 --> 01:38.930
Dazu nehme ich das Stochastische Modell auf die nächste Folie und auch

01:38.930 --> 01:40.410
die gestellte Frage.

01:41.890 --> 01:45.150
Die Lösung ist in diesem Fall recht einfach.

01:45.150 --> 01:50.530
Wir erhalten aus welchen Gründen auch immer die Information, dass

01:50.530 --> 01:55.550
dieses Ereignis eingetreten ist, denn diese drei Fälle bedeuten ja,

01:55.790 --> 01:58.110
dass mindestens ein Junge dabei ist.

01:58.730 --> 02:03.050
Der Fall, dass auch das andere Kind ein Junge ist, ist das mit B

02:03.050 --> 02:06.350
bezeichnete Ereignis, dass beide Kinder Jungen sind.

02:07.630 --> 02:11.810
Nach Definition ist die bedingte Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B,

02:11.810 --> 02:15.610
dass auch das andere Kind ein Junge ist, wenn in der Familie

02:15.610 --> 02:20.630
mindestens ein Junge ist, gleich diesem Quotienten und damit gleich

02:20.630 --> 02:25.690
ein Viertel, denn der Durchschnitt von A und B ist gleich B dividiert

02:25.690 --> 02:30.190
durch drei Viertel, da wir für das Ereignis A drei günstige Fälle

02:30.190 --> 02:30.570
haben.

02:31.330 --> 02:34.450
Die gesuchte bedingte Wahrscheinlichkeit ist also unter diesen

02:34.450 --> 02:36.870
Annahmen gleich ein Drittel.

02:36.870 --> 02:42.970
Wer dieses Ergebnis anders einsehen möchte, kann sich etwa 1000 Zettel

02:42.970 --> 02:43.590
vorstellen.

02:44.310 --> 02:52.870
Auf 250 von diesen steht JJ, auf 250 JM, auf 250 Zetteln MJ und auf

02:52.870 --> 02:54.450
250 MM.

02:55.170 --> 02:59.210
Die Zettel werden gut gemischt und es wird rein zufällig einen Zettel

02:59.210 --> 02:59.750
gezogen.

03:00.430 --> 03:05.450
Uns wird nur gesagt, dass auf diesem Zettel nicht MM steht.

03:06.390 --> 03:12.030
Dann sind 250 Zettel ausgeschlossen und jeder der restlichen 750 hatte

03:12.030 --> 03:14.210
die gleiche Chance, gezogen zu werden.

03:14.930 --> 03:21.110
Von diesen 750 Zetteln tragen 250 und damit ein Drittel die Aufschrift

03:21.110 --> 03:21.770
JJ.

03:22.930 --> 03:26.230
Wir kommen zum zweiten Problem und ich gebe noch einmal den

03:26.230 --> 03:29.690
Ergebnisraum an, mit dem wir bislang gearbeitet haben.

03:30.550 --> 03:34.150
Nun ist die Situation anders, da wir einen Jungen treffen, der uns

03:34.150 --> 03:37.610
sagt, dass er aus einer Familie mit zwei Kindern kommt.

03:38.690 --> 03:41.730
Natürlich ist auch jetzt der Fall ausgeschlossen, dass die Familie

03:41.730 --> 03:45.210
zwei Mädchen hat, aber sind die drei anderen Fälle gleich

03:45.210 --> 03:45.770
wahrscheinlich?

03:46.990 --> 03:48.630
Man kann jetzt so argumentieren.

03:49.230 --> 03:51.830
Es gibt vier Fälle für den angetroffenen Jungen.

03:52.610 --> 03:58.590
Entweder er hat einen älteren oder jüngeren Bruder oder eine ältere

03:58.590 --> 03:59.290
bzw.

03:59.610 --> 04:00.550
jüngere Schwester.

04:01.790 --> 04:04.950
Von diesen gleichmöglichen Fällen sind zwei günstig.

04:05.490 --> 04:08.870
Insofern ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit gleich ein Halb.

04:10.470 --> 04:14.610
In diesem Fall ist es wichtig zu modellieren, wie die Information

04:14.610 --> 04:17.410
entsteht, dass wir einen Jungen antreffen.

04:18.010 --> 04:21.070
Dafür reicht die obige Menge Omega nicht mehr aus.

04:22.290 --> 04:27.150
Wenn man möchte, kann man eine Menge mit acht Elementen einführen, die

04:27.150 --> 04:31.710
ich hier Omega-Stern nenne, und mit der Gleichverteilung auf Omega

04:31.710 --> 04:34.590
-Stern arbeiten, die ich mit P-Stern bezeichne.

04:35.090 --> 04:37.070
Hier steht eine 1 bzw.

04:37.330 --> 04:43.790
2 nach jedem der vier Paare J-J, J-M, M-J und M-M dafür, ob wir das

04:43.790 --> 04:46.810
ältere oder das jüngere Kind antreffen.

04:47.650 --> 04:51.410
Wir nehmen also an, dass jeder dieser acht Fälle die gleiche

04:51.410 --> 04:52.590
Wahrscheinlichkeit besitzt.

04:53.670 --> 04:58.070
In diesem Grundraum stellt sich das wieder mit A bezeichnete Ereignis,

04:58.190 --> 05:00.830
dass ein Junge angetroffen wird, so dar.

05:00.830 --> 05:03.610
J-J1 bzw.

05:03.790 --> 05:07.570
J-J2 heißen ja, dass wir den älteren bzw.

05:07.990 --> 05:09.910
jüngeren von zwei Jungen treffen.

05:10.810 --> 05:12.510
Und J-M1 bzw.

05:12.770 --> 05:16.990
M-J2 bedeuten, dass der Junge eine jüngere bzw.

05:17.370 --> 05:18.610
ältere Schwester hat.

05:19.430 --> 05:23.990
Das Ereignis B, dass beide Kinder jungen sind, besteht aus den Fällen

05:23.990 --> 05:26.170
J -J1 und J-J2.

05:27.050 --> 05:30.510
Nach Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit haben wir diesen

05:30.510 --> 05:35.190
Quotienten und der ist gleich zwei Achtel dividiert durch vier Achtel,

05:35.530 --> 05:38.310
also gleich ein Halb, wie schon oben bemerkt.

05:39.550 --> 05:42.090
Man kann das Ganze auch wieder mit Zetteln betrachten.

05:42.330 --> 05:47.270
Jetzt unterteilt man gedanklich die 250 Zettel mit der Aufschrift J-J

05:47.270 --> 05:54.930
in 125, auf die man J-J1 und 125 auf die man J-J2 schreibt.

05:55.530 --> 06:02.170
In gleicher Weise unterteilt man 250 Zettel mit J-M in 125 mit J-M1

06:02.170 --> 06:05.010
und 125 mit J-M2.

06:05.770 --> 06:09.290
Und man macht das Gleiche mit den jeweils 250 Zetteln mit der

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Aufschrift M-J und der Aufschrift M-M.

06:13.110 --> 06:16.810
Die Zettel werden gut gemischt, es wird rein zufällig ein Zettel

06:16.810 --> 06:19.770
gezogen und wir erhalten folgende Information.

06:20.710 --> 06:27.790
Auf dem Zettel steht nicht M-M1 und auch nicht M-M2, aber auch nicht M

06:27.790 --> 06:31.110
-J1 und auch nicht J-M2.

06:32.090 --> 06:37.410
Dann bleiben genau 500 Zettel übrig und zwar sind das die mit dem im

06:37.410 --> 06:39.970
Ereignis A aufgeführten Beschriftungen.

06:40.630 --> 06:45.550
Von denen sind genau 250 günstig, was einer Wahrscheinlichkeit von 1,5

06:45.550 --> 06:46.110
entspricht.

06:47.250 --> 06:49.930
Man sieht also, dass man ähnlich wie beim Ziegen- oder

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Dreitürenproblem vorsichtig sein muss, wenn es um bedingte

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Wahrscheinlichkeiten geht.

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Ich bedanke mich ganz herzlich fürs Anschauen des Videos.

06:59.210 --> 07:02.310
Wem es gefallen hat, der kann es ja sehr gerne weiterempfehlen.