Ganz herzlich willkommen zu diesem Video zum Thema bedingte
Wahrscheinlichkeiten.
Es geht um das klassische Zwei-Jungen-Problem.
Das Problem ist schnell gestellt und es findet sich in zwei Varianten.
Die erste Variante ist die, eine Familie habe zwei Kinder, wobei
mindestens eines davon ein Junge ist.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist auch das andere Kind ein Junge?
Die zweite Variante sieht so aus.
Wir treffen zufällig einen Jungen und der sagt uns, dass er aus einer
Familie mit zwei Kindern kommt.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist das andere Kind ein Junge?
Das sieht alles sehr unverfänglich aus.
Wir werden sehen, dass hier zwei doch recht unterschiedliche Lösungen
herauskommen.
Wir machen zunächst eine vereinfachende Grundannahme.
Und zwar nehmen wir an, dass die vier Möglichkeiten Junge-Junge, Junge
-Mädchen, Mädchen-Junge und Mädchen-Mädchen gleich wahrscheinlich
sind.
Dabei bezeichnet der erste Buchstabe das Geschlecht des älteren
Kindes.
Eines der beiden Kinder ist auch bei Zwillingen das erste, nehmen wir
den Zeitpunkt des Durchtrennens der Nabelschnur.
Die Annahme beinhaltet auch, dass jedes der Kinder entweder männlich
oder weiblich ist.
Als Stochastisches Modell wählen wir also die mit einem schmucken P
bezeichnete Laplace oder Gleichverteilung auf der mit Omega
bezeichneten Menge dieser vier Möglichkeiten.
Wir sehen uns mal das erste Problem an.
Dazu nehme ich das Stochastische Modell auf die nächste Folie und auch
die gestellte Frage.
Die Lösung ist in diesem Fall recht einfach.
Wir erhalten aus welchen Gründen auch immer die Information, dass
dieses Ereignis eingetreten ist, denn diese drei Fälle bedeuten ja,
dass mindestens ein Junge dabei ist.
Der Fall, dass auch das andere Kind ein Junge ist, ist das mit B
bezeichnete Ereignis, dass beide Kinder Jungen sind.
Nach Definition ist die bedingte Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B,
dass auch das andere Kind ein Junge ist, wenn in der Familie
mindestens ein Junge ist, gleich diesem Quotienten und damit gleich
ein Viertel, denn der Durchschnitt von A und B ist gleich B dividiert
durch drei Viertel, da wir für das Ereignis A drei günstige Fälle
haben.
Die gesuchte bedingte Wahrscheinlichkeit ist also unter diesen
Annahmen gleich ein Drittel.
Wer dieses Ergebnis anders einsehen möchte, kann sich etwa 1000 Zettel
vorstellen.
Auf 250 von diesen steht JJ, auf 250 JM, auf 250 Zetteln MJ und auf
250 MM.
Die Zettel werden gut gemischt und es wird rein zufällig einen Zettel
gezogen.
Uns wird nur gesagt, dass auf diesem Zettel nicht MM steht.
Dann sind 250 Zettel ausgeschlossen und jeder der restlichen 750 hatte
die gleiche Chance, gezogen zu werden.
Von diesen 750 Zetteln tragen 250 und damit ein Drittel die Aufschrift
JJ.
Wir kommen zum zweiten Problem und ich gebe noch einmal den
Ergebnisraum an, mit dem wir bislang gearbeitet haben.
Nun ist die Situation anders, da wir einen Jungen treffen, der uns
sagt, dass er aus einer Familie mit zwei Kindern kommt.
Natürlich ist auch jetzt der Fall ausgeschlossen, dass die Familie
zwei Mädchen hat, aber sind die drei anderen Fälle gleich
wahrscheinlich?
Man kann jetzt so argumentieren.
Es gibt vier Fälle für den angetroffenen Jungen.
Entweder er hat einen älteren oder jüngeren Bruder oder eine ältere
bzw.
jüngere Schwester.
Von diesen gleichmöglichen Fällen sind zwei günstig.
Insofern ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit gleich ein Halb.
In diesem Fall ist es wichtig zu modellieren, wie die Information
entsteht, dass wir einen Jungen antreffen.
Dafür reicht die obige Menge Omega nicht mehr aus.
Wenn man möchte, kann man eine Menge mit acht Elementen einführen, die
ich hier Omega-Stern nenne, und mit der Gleichverteilung auf Omega
-Stern arbeiten, die ich mit P-Stern bezeichne.
Hier steht eine 1 bzw.
2 nach jedem der vier Paare J-J, J-M, M-J und M-M dafür, ob wir das
ältere oder das jüngere Kind antreffen.
Wir nehmen also an, dass jeder dieser acht Fälle die gleiche
Wahrscheinlichkeit besitzt.
In diesem Grundraum stellt sich das wieder mit A bezeichnete Ereignis,
dass ein Junge angetroffen wird, so dar.
J-J1 bzw.
J-J2 heißen ja, dass wir den älteren bzw.
jüngeren von zwei Jungen treffen.
Und J-M1 bzw.
M-J2 bedeuten, dass der Junge eine jüngere bzw.
ältere Schwester hat.
Das Ereignis B, dass beide Kinder jungen sind, besteht aus den Fällen
J -J1 und J-J2.
Nach Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit haben wir diesen
Quotienten und der ist gleich zwei Achtel dividiert durch vier Achtel,
also gleich ein Halb, wie schon oben bemerkt.
Man kann das Ganze auch wieder mit Zetteln betrachten.
Jetzt unterteilt man gedanklich die 250 Zettel mit der Aufschrift J-J
in 125, auf die man J-J1 und 125 auf die man J-J2 schreibt.
In gleicher Weise unterteilt man 250 Zettel mit J-M in 125 mit J-M1
und 125 mit J-M2.
Und man macht das Gleiche mit den jeweils 250 Zetteln mit der
Aufschrift M-J und der Aufschrift M-M.
Die Zettel werden gut gemischt, es wird rein zufällig ein Zettel
gezogen und wir erhalten folgende Information.
Auf dem Zettel steht nicht M-M1 und auch nicht M-M2, aber auch nicht M
-J1 und auch nicht J-M2.
Dann bleiben genau 500 Zettel übrig und zwar sind das die mit dem im
Ereignis A aufgeführten Beschriftungen.
Von denen sind genau 250 günstig, was einer Wahrscheinlichkeit von 1,5
entspricht.
Man sieht also, dass man ähnlich wie beim Ziegen- oder
Dreitürenproblem vorsichtig sein muss, wenn es um bedingte
Wahrscheinlichkeiten geht.
Ich bedanke mich ganz herzlich fürs Anschauen des Videos.
Wem es gefallen hat, der kann es ja sehr gerne weiterempfehlen.