WEBVTT 00:00.000 --> 00:04.060 Sie haben in der Vorlesung inzwischen eine ganz abstrakte Einführung 00:04.060 --> 00:05.780 in das Thema Mengenlehre bekommen. 00:06.720 --> 00:10.140 Und in diesem Video möchte ich Ihnen ein kleines Beispiel geben, wie 00:10.140 --> 00:14.380 Sie das Gelernte jetzt einsetzen können, um wirklich etwas Praxisnahes 00:14.380 --> 00:15.360 damit zu bearbeiten. 00:16.380 --> 00:20.380 Bei diesem Beispiel geht es um Projektarbeit, um das Zusammenarbeiten 00:20.380 --> 00:24.720 von verschiedenen Personen in verschiedenen Teilprojekten und darum, 00:24.840 --> 00:28.900 wie wir die Mengenlehre nützen können, um diese Sachverhalte möglichst 00:28.900 --> 00:33.040 systematisch aufzuschreiben und zu formalisieren. 00:34.040 --> 00:38.380 Denn Projektarbeit und das Zusammenarbeiten in großen Projekten ist 00:38.380 --> 00:40.340 oft in der Praxis schwierig zu koordinieren. 00:40.600 --> 00:43.140 Da ist nicht klar, welche Personen jetzt an welcher Teilaufgabe 00:43.140 --> 00:46.120 arbeiten, welche Teilaufgaben es überhaupt gibt, wie die 00:46.120 --> 00:47.400 zusammenhängen und so weiter. 00:48.080 --> 00:51.720 Und hier kann Ihnen Beschreibungen aus der Mengenlehre tatsächlich 00:51.720 --> 00:54.900 weiterhelfen, das in gewisser Weise zu systematisieren. 00:55.380 --> 00:58.480 Und das werden wir anhand von diesem Beispiel mal im Kleinen uns 00:58.480 --> 01:01.820 angucken, wie das gehen könnte und wo da Mengenlehre zum Einsatz 01:01.820 --> 01:02.120 kommt. 01:03.560 --> 01:07.500 Bevor wir das tun können, noch ein paar Sprechweisen hier in Form 01:07.500 --> 01:11.940 einer Definition, die wir brauchen, um eben weiter hier in der 01:11.940 --> 01:13.440 Formalisierung voranzuschreiten. 01:13.980 --> 01:17.400 Diese Definition ist aber nur für dieses Beispiel notwendig. 01:17.440 --> 01:19.520 In der weiteren Vorlesung spielt die keine Rolle. 01:20.500 --> 01:22.160 Zunächst eine kleine Einführung. 01:23.020 --> 01:24.220 Mengensysteme, was sind das? 01:24.300 --> 01:27.960 Das sind Mengen, deren Elemente selbst wieder Mengen sind. 01:28.820 --> 01:32.440 Sie kennen bereits ein ganz wichtiges Mengensystem, nämlich die 01:32.440 --> 01:32.730 Potenzmenge. 01:33.900 --> 01:38.400 Wenn Sie eine Grundmenge, sagen wir Groß-Omega, vorgegeben haben, dann 01:38.400 --> 01:42.660 ist die Potenzmenge von Groß-Omega die Menge von allen Teilmengen 01:42.660 --> 01:43.800 dieser Grundmenge. 01:44.200 --> 01:47.940 Dazu zählt insbesondere auch die leere Menge und die Menge Groß-Omega 01:47.940 --> 01:48.300 selbst. 01:49.720 --> 01:54.440 In der folgenden Definition haben wir genau eine solche Grundmenge 01:54.440 --> 01:55.800 Omega vorgegeben. 01:56.120 --> 01:56.940 Die sei nicht leer. 01:58.000 --> 02:03.580 Und wir fixieren weiterhin eine Teilmenge, calligrafisch h, von der 02:03.580 --> 02:04.460 Potenzmenge. 02:06.780 --> 02:09.220 Das heißt, in der Definition brauchen Sie die Grundmenge und 02:09.220 --> 02:11.540 irgendeine Teilmenge von der Potenzmenge. 02:11.980 --> 02:15.120 Und dann legen wir jetzt für diese beiden Objekte gewisse Sprechweisen 02:15.120 --> 02:15.500 fest. 02:16.840 --> 02:22.700 Später werden wir auf ganz natürliche Weise diese Grundmenge und diese 02:22.700 --> 02:26.200 Teilmenge der Potenzmenge bekommen, um es dann eben im Beispiel mal 02:26.200 --> 02:27.260 illustriert zu sehen. 02:29.000 --> 02:34.600 Zunächst nennt man das Tuple, was besteht aus der Grundmenge Groß 02:34.600 --> 02:38.260 -Omega und dieser Teilmenge der Potenzmenge calligrafisch h. 02:38.760 --> 02:41.200 Das nennen wir im folgenden Hypergraph. 02:41.900 --> 02:43.620 Das ist einfach nur eine Namensgebung. 02:44.530 --> 02:48.620 Und die Elemente aus der Grundmenge, die nennen wir Knoten. 02:49.760 --> 02:53.640 Und die Elemente aus der Teilmenge der Potenzmenge, aus dem 02:53.640 --> 02:57.440 calligrafisch h, die werden Hyperkanten genannt. 02:58.800 --> 03:02.500 Jetzt könnte es ja sein, dass diese Teilmenge der Potenzmenge nur 03:02.500 --> 03:04.560 zweielementige Mengen enthält. 03:05.080 --> 03:08.440 Das heißt, dass alle Elemente aus calligrafisch h genau aus zwei 03:08.440 --> 03:09.320 Elementen bestehen. 03:09.320 --> 03:13.500 Und ist das der Fall, dann vereinfacht sich die Gesprächweise hier ein 03:13.500 --> 03:13.740 bisschen. 03:14.280 --> 03:17.240 Dann spricht man bei dem Tuple nicht von einem Hypergraphen, sondern 03:17.240 --> 03:19.440 einfach nur von einem Graphen. 03:19.980 --> 03:23.660 Und die Elemente von calligrafisch h heißen dann nicht Hyperkanten, 03:23.960 --> 03:25.020 sondern nur Kanten. 03:27.420 --> 03:29.920 Diese Sprechweisen hier, die werden Ihnen gleich im Beispiel wieder 03:29.920 --> 03:30.360 begegnen. 03:31.280 --> 03:33.660 Aber wie müssen Sie es prinzipiell vorstellen? 03:34.520 --> 03:38.120 Nun, Sie haben eine Grundmenge von Objekten, das sind die Elemente aus 03:38.120 --> 03:38.780 Groß -Omega. 03:38.780 --> 03:42.420 Und nun stehen manche dieser Objekte in Verbindung miteinander. 03:43.160 --> 03:46.420 Und das wird über diese Teilmenge der Potenzmenge, über dieses 03:46.420 --> 03:48.880 calligrafisch h, charakterisiert. 03:49.600 --> 03:54.080 Und dabei umfasst jedes Element aus calligrafisch h, was ja eine 03:54.080 --> 04:00.460 Teilmenge von Omega ist, immer eine gewisse Menge von Knoten aus der 04:00.460 --> 04:01.000 Grundmenge. 04:01.400 --> 04:04.800 Und diese Knoten sind dann durch die entsprechende Hyperkante 04:04.800 --> 04:06.300 miteinander verbunden. 04:07.540 --> 04:10.380 Das werden Sie jetzt auch gleich anhand des Beispiels nochmal schön 04:10.380 --> 04:12.660 sehen, wo das eine Rolle spielt. 04:13.340 --> 04:15.940 Also kommen wir direkt zur Modellierung, direkt zum ganz konkreten 04:15.940 --> 04:16.320 Beispiel. 04:16.840 --> 04:18.340 Wie schon gesagt, es geht um Projektarbeit. 04:19.400 --> 04:21.600 Sagen wir, wir haben insgesamt sechs Mitarbeiter. 04:21.980 --> 04:26.940 Die sind bezeichnet mit P1 bis P6, also Person 1, Person 2 und so 04:26.940 --> 04:27.160 weiter. 04:28.040 --> 04:31.540 Und die arbeiten an einem sehr großen Projekt zusammen. 04:31.860 --> 04:34.620 Zum Beispiel an dem Bau einer Brücke oder Ähnlichem. 04:34.620 --> 04:39.480 Und dieses große Projekt, das gliedert sich jetzt wiederum auf in vier 04:39.480 --> 04:44.960 kleinere Teilprojekte, die wir mit TP1 bis TP4 bezeichnen. 04:45.420 --> 04:48.560 Also Teilprojekt 1 bis Teilprojekt 4. 04:50.180 --> 04:54.740 Und die Zusammenarbeit von den einzelnen Mitarbeitern in den einzelnen 04:54.740 --> 04:58.920 Teilprojekten, die ist hier anhand von einem Diagramm, von diesem Venn 04:58.920 --> 05:01.120 -Diagramm, was Sie hier sehen, dargestellt. 05:01.880 --> 05:07.260 Das heißt zum Beispiel hier, dieser gelbe Bereich, der deutet an, dass 05:07.260 --> 05:12.120 Person 3, Person 5 und Person 6 in einem Teilprojekt zusammenarbeiten. 05:13.100 --> 05:17.180 Genauso wie hier das Grüne andeutet, dass Person 1 und Person 2 in 05:17.180 --> 05:18.600 einem Teilprojekt zusammenarbeiten. 05:19.200 --> 05:22.400 Das heißt, die bunten Flächen, die repräsentieren die Teilprojekte und 05:22.400 --> 05:26.540 die einzelnen Punkte, die Personen P1 bis P6. 05:28.300 --> 05:30.840 Das ist hier nochmal schön systematisch aufgeschrieben. 05:31.120 --> 05:34.840 Also, die Grundmenge, die gerade in der Definition aufgetaucht ist, 05:35.260 --> 05:38.340 die ist in unserem Beispiel die Menge der Mitarbeiter. 05:38.660 --> 05:39.680 Das ist das große Omega. 05:40.160 --> 05:43.940 Darin sind alle Mitarbeiter P1 bis P6 zusammengefasst. 05:45.680 --> 05:49.620 Dann haben wir diese vier Teilprojekte und wir lesen einfach anhand 05:49.620 --> 05:53.240 von diesem Diagramm hier oben ab, welches Teilprojekt welchen 05:53.240 --> 05:54.180 Mitarbeiter umfasst. 05:54.840 --> 05:57.980 Ich markiere hier oben in der Skizze mal noch, welche Farbe für 05:57.980 --> 05:59.200 welches Projekt steht. 05:59.200 --> 06:03.440 Also hier unten steht ja, Teilprojekt 1 besteht aus den Mitarbeitern 06:03.440 --> 06:04.780 P1 und P2. 06:05.280 --> 06:08.440 Das heißt, das Grüne hier, das ist Teilprojekt 1. 06:09.520 --> 06:12.200 Teilprojekt 2 besteht nur aus Mitarbeiter 3. 06:12.760 --> 06:16.520 Das heißt, das Rote hier, das ist Teilprojekt 2. 06:18.180 --> 06:24.000 Teilprojekt 3 besteht aus Person 1, Person 2, Person 4 und Person 5. 06:24.120 --> 06:27.240 Das heißt, dass dieses Blaue hier, das ist Teilprojekt Nummer 3. 06:29.180 --> 06:33.460 Und das Gelbe, zu guter Letzt, ist Teilprojekt 4, bestehend aus Person 06:33.460 --> 06:35.380 3, 5 und 6. 06:40.200 --> 06:44.620 Sie sehen, die Teilprojekte sind also modelliert als Teilmengen von 06:44.620 --> 06:46.980 der Grundmenge von Omega. 06:47.920 --> 06:50.900 Das heißt, jedes von diesen Teilprojekten fassen wir jetzt als eine 06:50.900 --> 06:51.980 Hyperkante auf. 06:52.700 --> 06:55.420 Und wenn Sie alle Teilprojekte wiederum zusammen in eine Menge 06:55.420 --> 06:59.120 stecken, dann bekommen Sie genau eine Teilmenge von der Potenzmenge 06:59.120 --> 06:59.760 von Omega. 07:00.580 --> 07:03.600 Und diese Teilmenge war vorhin in der Definition die Menge 07:03.600 --> 07:06.800 calligraphisch H, die Menge der Hyperkanten. 07:08.540 --> 07:11.660 Und anhand von solchen Hyperkanten können Sie eben genau ablesen, 07:11.980 --> 07:15.420 welche Mitarbeiter in welchem Teilprojekt miteinander arbeiten. 07:17.020 --> 07:19.160 Hier ist es nochmal aufgeführt. 07:19.260 --> 07:20.900 Wie sehen die Hyperkanten aus? 07:20.900 --> 07:24.560 Also die Hyperkanten benennen Sie ebenfalls wie in der Definition 07:24.560 --> 07:26.460 vorhin calligraphisch H. 07:27.260 --> 07:30.400 Das ist die Menge, die aus den einzelnen Teilprojekten besteht. 07:30.880 --> 07:32.500 Das heißt ein Mengensystem. 07:33.480 --> 07:35.860 Hier geht die Mengen-Klammer von dem H auf, hier hinten geht sie 07:35.860 --> 07:36.280 wieder zu. 07:36.740 --> 07:39.400 Und die Elemente da drin sind die Teilprojekte, die selbst wieder 07:39.400 --> 07:40.000 Mengen sind. 07:41.460 --> 07:45.140 Insgesamt ist jedes Teilprojekt, wie schon gesagt, eine Teilmenge von 07:45.140 --> 07:45.400 Omega. 07:45.400 --> 07:50.060 Und damit ist das calligraphisch H selbst eine Teilmenge der 07:50.060 --> 07:51.540 Potenzmenge von Omega. 07:53.220 --> 07:56.260 Und mit diesen beiden Objekten, mit der Grundmenge, wo die ganzen 07:56.260 --> 07:59.220 Mitarbeiter zusammengefasst sind, und mit dieser Menge der 07:59.220 --> 08:02.640 Hyperkanten, mit dem calligraphisch H, werden wir uns jetzt 08:02.640 --> 08:06.300 beschäftigen, wie wir diese Zusammenarbeit noch besser modellieren 08:06.300 --> 08:06.660 können. 08:07.860 --> 08:10.820 Es ist ja schon mal nicht schlecht, dass wir das so als Hypergraph 08:10.820 --> 08:13.380 aufgeschrieben haben, aber wir können jetzt noch verschiedene 08:13.380 --> 08:16.020 Teilaspekte dieses Hypergraphen untersuchen. 08:18.400 --> 08:22.320 Jetzt kann es ja sein, dass, ich gehe nochmal zurück, ihr Projekt und 08:22.320 --> 08:25.840 ihre Teilprojekte viel, viel größer sind als nur bestehend aus sechs 08:25.840 --> 08:27.060 Mitarbeitern und vier Projekten. 08:27.440 --> 08:30.000 Stellen Sie sich tausende von Mitarbeitern vor, die an einem 08:30.000 --> 08:33.460 Großprojekt arbeiten, dann lässt sie das nicht mehr so schön grafisch 08:33.460 --> 08:36.580 bunt aufmalen und keiner wird sich wahrscheinlich die Mühe machen 08:36.580 --> 08:39.680 wollen, hier ein ähnliches Diagramm zu zeichnen. 08:40.340 --> 08:44.720 Ist das der Fall, dann können Sie versuchen, das Ganze noch im PC zu 08:44.720 --> 08:47.180 implementieren, und das machen Sie am besten mithilfe einer 08:47.180 --> 08:48.260 Inzidenzmatrix. 08:49.020 --> 08:53.800 Und wie eine solche Inzidenzmatrix aussieht, das zeige ich Ihnen in 08:53.800 --> 08:54.600 der nächsten Bemerkung. 08:55.140 --> 08:57.740 Also hier steht nochmal, bei sehr großen Hypergrafen ist die 08:57.740 --> 09:01.700 Darstellung durch solche Fenn-Diagramme, wie eine Folie zuvor, sehr 09:01.700 --> 09:05.600 unübersichtlich, und deswegen versuchen wir das Ganze durch eine 09:05.600 --> 09:07.480 Inzidenzmatrix zu modellieren. 09:08.820 --> 09:09.740 Was macht die? 09:10.200 --> 09:13.340 Zunächst einmal, wir haben ja schon eine Nummerierung von den 09:13.340 --> 09:19.040 Mitarbeitern und den Projekten, das brauchen wir auch gleich, und wir 09:19.040 --> 09:22.400 versuchen jetzt jeweils zu modellieren, welcher Mitarbeiter in welchem 09:22.400 --> 09:23.860 Projekt zusammenarbeitet. 09:24.220 --> 09:27.940 Zu diesem Zweck definieren wir diese Zahlen a, i, j. 09:29.260 --> 09:35.060 Also für jeden Mitarbeiter mit der Nummer i und für jedes Teilprojekt 09:35.060 --> 09:40.260 mit der Nummer j gibt es eine Zahl mit den Indizes i und j, und diese 09:40.260 --> 09:41.540 Zahl heißt a, i, j. 09:42.060 --> 09:44.860 Und die modelliert jetzt, ob der jeweilige Mitarbeiter mit der Nummer 09:44.860 --> 09:49.620 i im jeweiligen Teilprojekt mit der Nummer j mitarbeitet oder auch 09:49.620 --> 09:49.800 nicht. 09:50.880 --> 09:58.360 Denn diese Zahl a, i, j, die ist gleich 1, falls p, i ein Element ist 09:58.360 --> 09:59.460 aus t, p, j. 10:00.080 --> 10:05.080 Soll heißen, falls Mitarbeiter mit der Nummer i, also Person i, p, i, 10:05.320 --> 10:11.420 ein Element ist aus der Hyperkante t, p, j, also im Teilprojekt t, p, 10:11.460 --> 10:12.600 j, mitarbeitet. 10:12.860 --> 10:15.780 Dann ist diese Zahl a, i, j gleich 1. 10:16.880 --> 10:19.560 Jetzt kann es ja sein, dass die Person da nicht mitarbeitet, also 10:19.560 --> 10:23.740 Person, sagen wir, 1 arbeitet, ich weiß es nicht genau, vielleicht 10:23.740 --> 10:27.960 nicht im Teilprojekt 3 mit, dann wäre diese Zahl hier 0, das ist genau 10:27.960 --> 10:33.220 dann der Fall, wenn eben Person i mit dem Index i kein Element ist aus 10:33.220 --> 10:38.100 Teilprojekt j, also kein Element der Hyperkante t, p, j. 10:39.720 --> 10:44.420 Da wir ja insgesamt 6 Mitarbeiter haben und 4 Teilprojekte, ergeben 10:44.420 --> 10:50.080 sich also mit dieser Modellierung insgesamt 6 mal 4, also 24 Zahlen. 10:50.620 --> 10:54.440 Und die können Sie jetzt alle in eine Matrix schreiben. 10:54.940 --> 10:56.860 Das ist ein Objekt, was Sie hier sehen. 10:57.800 --> 11:00.580 Wir werden Matrizen in der Vorlesung noch ganz allgemein kennenlernen, 11:01.280 --> 11:04.540 deshalb gehe ich jetzt hier nicht auf die Matrix als solche ein. 11:05.280 --> 11:06.940 Stellen Sie es einfach als eine Tabelle vor. 11:07.940 --> 11:09.320 Wie ist die Tabelle aufgebaut? 11:10.160 --> 11:14.840 Nun, in den Spalten der Matrix sehen Sie die einzelnen Teilprojekte. 11:14.840 --> 11:20.380 Das ist also vorhin hier bei den aijs modelliert worden mit dem Index 11:20.380 --> 11:20.560 j. 11:21.680 --> 11:26.300 Und in den Zeilen der Matrix sehen Sie die einzelnen Mitarbeiter. 11:26.820 --> 11:30.340 Das sind insgesamt 6 Zeilen, jeder Mitarbeiter hat seine eigene Zeile, 11:30.940 --> 11:34.620 hier vorhin modelliert durch den Index i. 11:36.040 --> 11:42.260 Das heißt also, wenn Sie jetzt eine Zahl aij haben, steht die in der 11:42.260 --> 11:44.380 iten Zeile und der jten Spalte. 11:46.460 --> 11:50.640 Also sagen wir etwa, dieses Objekt, was ich hier in der Mitte mal gelb 11:50.640 --> 11:52.340 markiere, welche Zahl ist das? 11:52.920 --> 11:58.300 Das ist a, das ist die vierte Zeile, also der erste Index ist 4, und 11:58.300 --> 12:02.500 das ist die dritte Spalte, also das ist a4,3. 12:04.420 --> 12:08.560 Diese Zahl ist also 1, wenn Mitarbeiter Nummer 4 in Teilprojekt 3 12:08.560 --> 12:10.700 mitarbeitet und sie ist 0, falls er es nicht tut. 12:11.720 --> 12:13.120 Sie ist hier offensichtlich 1. 12:13.880 --> 12:17.480 Das heißt, dieser 1 sagt Ihnen jetzt, Mitarbeiter 4 arbeitet in 12:17.480 --> 12:18.780 Teilprojekt Nummer 3. 12:19.400 --> 12:22.120 Und Sie sehen hier Mitarbeiter 4, hier unten, der arbeitet in einem 12:22.120 --> 12:22.780 blauen Projekt. 12:23.140 --> 12:25.820 Ich gehe nochmal zwei Folien zurück. 12:26.960 --> 12:30.540 Da sehen wir, das blaue Projekt war genau Teilprojekt Nummer 3. 12:30.700 --> 12:33.740 Also das ist richtig, Mitarbeiter 4 arbeitet in Teilprojekt 3. 12:35.080 --> 12:37.240 Und deswegen steht hier zu Recht dieser 1. 12:39.400 --> 12:43.240 Insgesamt enthält diese Matrix genau die gleichen Informationen wie 12:43.240 --> 12:48.240 das Fendiagramm von gerade eben und auch unsere Notizen zu Omega und 12:48.240 --> 12:49.300 dem Kalligraphisch H. 12:49.780 --> 12:52.900 Nur diese Matrix ist sehr viel einfacher, einem PC beizubringen. 12:53.400 --> 12:56.700 Sie können sie direkt eingeben in ein Computerprogramm und damit 12:56.700 --> 12:57.380 weiterarbeiten. 12:58.540 --> 13:00.600 Was können Sie noch aus dieser Matrix rauslesen? 13:00.600 --> 13:04.920 Wenn Sie sich mal nur auf eine Zeile, sagen wir, konzentrieren. 13:05.000 --> 13:07.240 Nehmen wir mal beispielsweise die zweite Zeile raus. 13:07.840 --> 13:11.840 Dann ist es die Zeile des zweiten Mitarbeiters, also von P2. 13:13.000 --> 13:16.420 Und jetzt können Sie direkt ablesen, an welchen Teilprojekten dieser 13:16.420 --> 13:17.780 zweite Mitarbeiter mitarbeitet. 13:18.220 --> 13:21.880 Nämlich an Teilprojekt 1 und an Teilprojekt 3. 13:22.380 --> 13:27.820 Weil in den entsprechenden Spalten in dieser zweiten Zeile stehen die 13:27.820 --> 13:28.200 Einsen. 13:29.160 --> 13:31.380 Also schauen wir mal hier unten auf Mitarbeiter 2. 13:31.860 --> 13:33.920 Der arbeitet im grünen und im blauen Projekt. 13:34.380 --> 13:38.160 Wenn ich jetzt das Richtige hier oben rausgelesen habe, müsste das 13:38.160 --> 13:40.660 Teilprojekt 1 und Teilprojekt 3 sein. 13:40.940 --> 13:42.380 Ich gehe nochmal zurück, wo das stand. 13:44.120 --> 13:47.040 Also das Grüne ist Teilprojekt 1, das Blaue ist Teilprojekt 3. 13:47.180 --> 13:48.220 Da arbeitet P2 mit. 13:48.420 --> 13:48.940 Das stimmt also. 13:49.600 --> 13:52.180 Diese Informationen konnten wir also direkt hier aus der Matrix 13:52.180 --> 13:52.820 rauslesen. 13:54.560 --> 13:58.140 Das Ganze können Sie auch spaltenweise sich angucken. 13:58.240 --> 14:01.820 Schauen wir uns beispielsweise mal die erste Spalte an. 14:02.400 --> 14:04.480 Die steht jetzt für das erste Teilprojekt. 14:05.760 --> 14:09.360 Die hat an den beiden ersten Einträgen, also an der ersten und zweiten 14:09.360 --> 14:10.720 Zeile, jeweils eine Eins. 14:11.140 --> 14:13.940 Und diese beiden Einsen sagen Ihnen, dass Mitarbeiter 1 und 14:13.940 --> 14:16.900 Mitarbeiter 2 am ersten Teilprojekt mitarbeiten. 14:17.560 --> 14:18.800 Ansonsten stehen hier nur Nullen. 14:18.800 --> 14:24.240 Die bedeuten, dass Mitarbeiter 3 bis Mitarbeiter 6 nicht am ersten 14:24.240 --> 14:25.660 Teilprojekt mitarbeiten. 14:26.300 --> 14:29.380 Das erste Teilprojekt, das haben wir gerade schon gesehen, ist das 14:29.380 --> 14:29.720 Grüne. 14:30.400 --> 14:31.520 Dieses hellgrüne hier unten. 14:31.680 --> 14:36.280 Und da arbeiten tatsächlich nur Mitarbeiter 1 und Mitarbeiter 2 mit. 14:41.260 --> 14:44.760 Sie können also all die Informationen, die Sie anhand von der Skizze 14:44.760 --> 14:50.360 und der Aufzählung der Elemente aus Omega und der Hyperkantenmenge 14:50.360 --> 14:53.580 gewonnen haben, an all diese Informationen können Sie auch direkt hier 14:53.580 --> 14:55.580 aus der Inzidenzmatrix ablesen. 14:56.180 --> 14:58.360 Und deswegen ist die sehr praktisch, wenn es um die bloße 14:58.360 --> 15:02.460 Modellierung, um die Darstellung von diesen Projekten und Mitarbeitern 15:02.460 --> 15:02.680 geht. 15:05.800 --> 15:08.560 So, diese Matrix beschreibt sozusagen alles. 15:08.780 --> 15:11.600 Damit können Sie genau gucken, welcher Mitarbeiter arbeitet womit, wie 15:11.600 --> 15:12.920 sind die Teilprojekte aufgebaut. 15:13.900 --> 15:17.400 Jetzt könnte es ja sein, dass Sie erst mal nur die Sicht der 15:17.400 --> 15:18.740 Mitarbeiter interessiert. 15:18.740 --> 15:22.780 Also Sie möchten erst mal nur wissen, wann arbeiten denn zwei 15:22.780 --> 15:23.720 Mitarbeiter zusammen. 15:24.160 --> 15:25.260 Aus welchen Gründen auch immer. 15:25.340 --> 15:29.400 Vielleicht möchten Sie eben sicherstellen, dass eine Information eben 15:29.400 --> 15:32.880 alle Mitarbeiter erreicht, wenn Sie dem diese Information eine 15:32.880 --> 15:33.660 Mitarbeiter geben. 15:34.900 --> 15:37.500 Um das festzustellen, schauen wir uns jetzt nur die Sicht der 15:37.500 --> 15:42.000 Mitarbeiter an und fragen uns, wann arbeiten zwei Mitarbeiter zusammen 15:42.000 --> 15:43.380 und wie können wir das modellieren. 15:43.380 --> 15:48.100 Und diese Modellierung schaffen wir jetzt über einen Graphen. 15:48.220 --> 15:51.040 Also nicht über einen Hypergraphen, sondern nur über einen Graphen. 15:51.700 --> 15:53.000 Und das geht wie folgt. 15:55.100 --> 15:56.900 Also hier zunächst eine Definition. 15:58.060 --> 15:58.960 Die ist ganz allgemein. 15:59.260 --> 16:02.880 Die können Sie auch für einen Hypergraphen machen, diese Definition. 16:03.040 --> 16:05.740 Also im Rahmen dieser Definition ist omega- und calligraphisch H ganz 16:05.740 --> 16:06.140 beliebig. 16:07.220 --> 16:12.100 Das ist nur die Sprechweise, die sagt, wann wir zwei Elemente, zwei 16:12.100 --> 16:16.580 Knoten aus Omega I und Omega II benachbart nennen. 16:17.040 --> 16:21.000 Und wir nennen diese beiden Objekte benachbart, genau dann, wenn sie 16:21.000 --> 16:26.620 eine Hyperkante H aus calligraphisch H finden, sodass beide Objekte in 16:26.620 --> 16:28.320 dieser Hyperkante drin liegen. 16:29.820 --> 16:33.020 Was bedeutet das für unser Beispiel von gerade eben? 16:33.020 --> 16:36.600 Nun, in unserem Beispiel ist das große Omega ja die Menge der 16:36.600 --> 16:37.080 Mitarbeiter. 16:37.800 --> 16:40.240 Die Menge der Hyperkanten sind die Teilprojekte. 16:40.760 --> 16:45.140 Und jetzt würden wir zwei Mitarbeiter benachbart nennen, wenn es ein 16:45.140 --> 16:49.320 Teilprojekt existiert, wenn es ein Teilprojekt gibt, in dem beide 16:49.320 --> 16:51.160 Mitarbeiter zusammenarbeiten. 16:52.560 --> 16:56.420 Dann würde man die beiden Mitarbeiter benachbart nennen. 16:57.160 --> 16:58.940 Ja, und genau das steht hier. 16:59.120 --> 17:01.700 Und hier sehen Sie die entsprechende Modellierung. 17:03.520 --> 17:06.140 Diese Nachbarschaftsbeziehung von hier oben, die fassen wir jetzt auch 17:06.140 --> 17:08.540 wieder zusammen in einer Kantenmenge. 17:08.640 --> 17:11.240 Die nennen wir hier einfach mal calligrafisch K. 17:12.520 --> 17:17.520 Und hier tauchen jetzt all die Pärchen von Mitarbeitern als Elemente 17:17.520 --> 17:20.560 auf, die in einem Teilprojekt zusammenarbeiten. 17:21.780 --> 17:24.380 Beispielsweise ist hier das erste Element, was drin steht, die Menge, 17:24.460 --> 17:26.980 die besteht aus den Mitarbeitern P1 und P2. 17:27.720 --> 17:30.540 Das bedeutet also, dass es irgendein Teilprojekt gibt, in dem 17:30.540 --> 17:33.560 Mitarbeiter 1 und Mitarbeiter 2 beide zusammenarbeiten. 17:34.340 --> 17:35.500 Gehen wir mal zurück zur Skizze. 17:36.300 --> 17:38.040 Ein solches Projekt gibt es, nämlich das grüne. 17:38.380 --> 17:41.220 Da arbeiten Mitarbeiter 1 und Mitarbeiter 2 zusammen. 17:43.920 --> 17:48.700 Und deswegen ist genau dieses gelbe Element hier ein Element aus der 17:48.700 --> 17:50.380 Kantenmenge calligrafisch K. 17:51.200 --> 17:54.320 Das können Sie jetzt für alle Pärchen von Mitarbeitern machen, die 17:54.320 --> 17:57.460 irgendwo zusammenarbeiten, und dann bekommen Sie eine Kantenmenge. 17:58.300 --> 18:00.900 Das ist jetzt keine Menge von Hyperkanten, sondern da erinnern Sie 18:00.900 --> 18:05.000 sich ganz am Anfang von dem Video an die Definition, das ist nur eine 18:05.000 --> 18:05.260 Kantenmenge. 18:06.120 --> 18:10.540 Denn jedes Element, was hier in calligrafisch K drin ist, ist eine 18:10.540 --> 18:13.340 Menge, die aus genau zwei Elementen besteht. 18:14.480 --> 18:17.080 Und deswegen spricht man hier von einer Kantenmenge. 18:18.380 --> 18:23.120 Wenn Sie jetzt das Tupel betrachten, das Tupel, welches besteht aus 18:23.120 --> 18:28.440 Großomega und calligrafisch K, dann haben Sie einen Graphen nach der 18:28.440 --> 18:29.740 Definition von ganz am Anfang. 18:30.320 --> 18:33.240 Und diesen Graphen können Sie jetzt noch grafisch darstellen, und zwar 18:33.240 --> 18:34.220 anhand von diesem Bild. 18:35.000 --> 18:39.120 Also, Sie haben dieselben Knoten wie vorhin auch, P1 bis P6. 18:39.700 --> 18:42.740 Und Sie ziehen jetzt eine Kante, eine Verbindung zwischen zwei dieser 18:42.740 --> 18:47.020 Knoten, zwischen zwei dieser Mitarbeitern, wann immer Sie eine Kante 18:47.020 --> 18:48.780 in dem calligrafisch K finden. 18:49.260 --> 18:53.060 Und eine solche Kante bedeutet, dass hier zum Beispiel Mitarbeiter 2 18:53.060 --> 18:56.640 und Mitarbeiter 5 in einem Teilprojekt zusammenarbeiten. 19:02.030 --> 19:06.930 Diese andere Darstellung hat jetzt weniger Informationen als die 19:06.930 --> 19:07.990 Darstellung von vorhin. 19:08.310 --> 19:11.170 Denn Sie können aus diesem Graphen nicht rauslesen, welche 19:11.170 --> 19:14.710 Teilprojekte es gibt und wie die aufgebaut sind. 19:15.230 --> 19:19.250 Sie können hier nur rauslesen, wann zwei oder ob zwei Mitarbeiter 19:19.250 --> 19:21.930 überhaupt in irgendeinem Teilprojekt zusammenarbeiten. 19:22.450 --> 19:26.230 Das ist also eine andere Information, die hier hervorgehoben und 19:26.230 --> 19:26.770 betont wird. 19:28.010 --> 19:31.150 Sie kann aber trotzdem sehr nützlich sein, wenn Sie eben nur diese 19:31.150 --> 19:37.230 Information brauchen und nur diese Tatsache feststellen wollen, wer 19:37.230 --> 19:40.330 mit wem zusammenarbeitet und sich nicht dafür interessieren, wie die 19:40.330 --> 19:42.250 einzelnen Teilprojekte aussehen. 19:44.090 --> 19:48.550 Und genau solche Graphen können Sie ja für alle möglichen Strukturen 19:48.550 --> 19:51.370 festlegen oder sich mit anschauen. 19:51.370 --> 19:53.570 Zum Beispiel auch bei der Telekommunikation. 19:53.710 --> 19:56.510 Da würden Sie sagen, zwei Relaisstationen, das sind die Punkte, die 19:56.510 --> 19:59.510 sind verbunden durch eine Kante, wenn da eben ein Kabel und eine 19:59.510 --> 20:00.350 Verbindung besteht. 20:00.950 --> 20:03.890 Oder bei Beziehungen von irgendwelchen Politikern. 20:04.050 --> 20:07.090 Da wären die Politiker die Punkte und eine Kante wäre eine Beziehung 20:07.090 --> 20:08.310 zwischen diesen beiden Personen. 20:09.230 --> 20:10.830 Oder denken Sie an soziale Netzwerke. 20:11.450 --> 20:16.270 Da sind die Knoten des Graphen, also die Punkte, die einzelnen 20:16.270 --> 20:19.690 Personen, die in diesem sozialen Netzwerk Mitglied sind. 20:19.690 --> 20:22.790 Und eine Kante bedeutet zum Beispiel eine Freundschaft zwischen diesen 20:22.790 --> 20:23.450 beiden Personen. 20:23.930 --> 20:27.450 Sie können also mit diesen Graphen sehr viele Dinge sehr schön 20:27.450 --> 20:30.550 visualisieren und dann auf diesen Graphen auch Mathematik betreiben 20:30.550 --> 20:31.470 und damit arbeiten. 20:33.130 --> 20:35.770 Nun, aber das sollte Ihnen nur dieses Beispiel hier einen Überblick 20:35.770 --> 20:36.950 geben, wie das funktioniert. 20:38.110 --> 20:41.330 Man kann das jetzt nicht nur aus Sicht der Mitarbeiter machen, sondern 20:41.330 --> 20:43.550 wir können das Ganze noch aus Projektsicht machen. 20:43.550 --> 20:45.270 Also drehen wir mal die Sichtweise um. 20:46.030 --> 20:50.550 Wir könnten uns ja fragen, wann sind zwei Projekte miteinander 20:50.550 --> 20:52.990 verknüpft und was bedeutet verknüpft? 20:53.050 --> 20:56.270 Nun, verknüpft bedeutet, dass es irgendeinen Mitarbeiter gibt, der in 20:56.270 --> 20:57.510 beiden Projekten mitarbeitet. 20:58.410 --> 21:00.670 Also das Ganze jetzt nicht aus Mitarbeitersicht, sondern aus 21:00.670 --> 21:03.090 Projektsicht und das machen wir jetzt hier noch zum Schluss. 21:04.530 --> 21:06.950 Auch hier legen wir eine Nachbarschaftsbeziehung fest. 21:07.790 --> 21:12.290 Dies ist aber auf Basis der Projekte, also auf Basis der Hyperkanten 21:12.290 --> 21:16.550 von dem ursprünglichen Hypergraphen, bestehend aus Omega und 21:16.550 --> 21:17.250 Calligraphisch H. 21:18.030 --> 21:23.110 Wir nennen jetzt zwei Hyperkanten, H1 und H2, benachbart, wenn der 21:23.110 --> 21:25.610 Schnitt der beiden Hyperkanten nicht leer ist. 21:26.230 --> 21:29.570 Das bedeutet in Sprechweise von unserem Projekt einfach nur, Sie 21:29.570 --> 21:33.390 finden einen Mitarbeiter, der in beiden Teilprojekten mitarbeitet. 21:34.690 --> 21:36.050 Das steht nochmal hier. 21:37.350 --> 21:41.150 Und die Nachbarschaftsbeziehungen zwischen diesen einzelnen Projekten 21:41.150 --> 21:43.810 habe ich jetzt hier mit diesem Calligraphisch L dargestellt. 21:44.850 --> 21:51.590 Das ist jetzt eine Menge, die besteht aus, wiederum aus Mengen, also 21:51.590 --> 21:52.410 ein Mengensystem. 21:52.710 --> 21:57.390 Und die Elemente dieser Menge Calligraphisch L, das sind Mengen, die 21:57.390 --> 22:00.430 genau Auswahlen von diesen Teilprojekten enthalten. 22:02.050 --> 22:05.030 Also hier zum Beispiel das erste Element, das ist die Menge, die 22:05.030 --> 22:07.490 besteht aus Teilprojekt 1 und Teilprojekt 3. 22:08.010 --> 22:10.910 Und diese erste gelbe Menge sagt Ihnen, es gibt einen Mitarbeiter, der 22:10.910 --> 22:14.870 sowohl in Teilprojekt 1 als auch in Teilprojekt 3 mitarbeitet. 22:15.370 --> 22:16.890 Gehen wir nochmal zurück, ob das auch stimmt. 22:19.550 --> 22:22.330 Hier sehen Sie die ursprüngliche Skizze. 22:22.410 --> 22:26.170 Teilprojekt 1 ist das Grüne und Teilprojekt 3 das Blaue. 22:26.170 --> 22:29.670 Und Sie sehen, sowohl Mitarbeiter 1 als auch Mitarbeiter 2 sind in 22:29.670 --> 22:30.690 beiden Projekten drin. 22:30.850 --> 22:33.430 Also Sie finden mindestens einen Mitarbeiter, der in beiden 22:33.430 --> 22:35.350 Teilprojekten mitarbeitet. 22:37.490 --> 22:42.990 Und aus diesem Grund ist diese gelbe Menge hier ein Element aus 22:42.990 --> 22:43.910 Calligraphisch L. 22:44.970 --> 22:48.430 Das sind also Nachbarschaftsbeziehungen auf Basis der Projekte. 22:49.310 --> 22:51.610 Und das machen Sie jetzt für alle vier Projekte. 22:51.610 --> 22:54.010 Wir gucken immer, welche Paare von Projekten können Sie bilden. 22:54.430 --> 22:56.070 Und dann bekommen Sie wiederum einen Graphen. 22:56.210 --> 22:58.370 Und diesen Graphen sehen Sie hier unten. 22:59.390 --> 23:02.010 Die Knoten des Graphen sind jetzt nicht die Mitarbeiter, sondern die 23:02.010 --> 23:03.910 einzelnen Teilprojekte. 23:04.010 --> 23:06.210 Und Sie haben eine Verbindung zwischen diesen Projekten, wenn Sie 23:06.210 --> 23:09.590 mindestens einen gemeinsamen Mitarbeiter in diesen Projekten finden. 23:11.050 --> 23:14.690 Das heißt, dieser Graph, der hier unten steht, der besteht nicht aus 23:14.690 --> 23:19.970 Omega und L, sondern der besteht aus der Grundmenge, die aus den vier 23:19.970 --> 23:20.990 Teilprojekten besteht. 23:20.990 --> 23:28.010 Also TP1, TP2, TP3, TP4. 23:28.270 --> 23:30.690 Das ist die Grundmenge von diesem neuen Graphen hier. 23:31.590 --> 23:35.070 Und die Kantenmenge, das ist ja ein normaler Graph, also kein 23:35.070 --> 23:37.090 Hypergraph, das ist Calligraphisch L. 23:39.610 --> 23:42.170 Und diesen Graph sehen Sie hier im Bild dargestellt. 23:43.370 --> 23:45.690 Also hier die Sicht umgekehrt, nicht aus Sicht der Mitarbeiter, 23:45.810 --> 23:47.810 sondern aus Sicht der Projekte. 23:50.490 --> 23:53.910 All diese Informationen, also ich rede von diesem Graphen, den Sie 23:53.910 --> 23:58.150 hier sehen, als auch den Graphen auf der Folie zuvor, die können Sie 23:58.150 --> 24:02.030 alle gewinnen aus der Inzidenzmatrix, die ich Ihnen weiter vorne 24:02.030 --> 24:05.690 gegeben habe, aus der Inzidenzmatrix des ursprünglichen Hypergraphen. 24:05.790 --> 24:09.150 Da können Sie all diese Informationen natürlich rauslesen, wie ich es 24:09.150 --> 24:10.490 vorhin Ihnen versucht habe zu erklären. 24:10.930 --> 24:13.970 An den Spalten sehen Sie, welche Mitarbeiter arbeiten im Projekt mit. 24:13.970 --> 24:17.330 Und an den Zeilen sehen Sie, in welchen Projekten arbeitet der 24:17.330 --> 24:18.870 jeweilige Mitarbeiter mit. 24:20.870 --> 24:23.910 Ja, und interessant wird diese ganze Thematik natürlich dann, wenn 24:23.910 --> 24:26.150 Ihre Daten, die Sie sich anschauen, enorm groß sind. 24:26.290 --> 24:29.810 Wenn Sie keine 6 Mitarbeiter haben, sondern sagen wir 10.000 und keine 24:29.810 --> 24:32.090 4 Teilprojekte, sondern vielleicht 300. 24:32.510 --> 24:36.750 Und dann ist genau diese Modellierung nützlich, weil Sie müssen dieses 24:36.750 --> 24:38.090 große Projekt irgendwie organisieren. 24:39.010 --> 24:41.310 Und das geht jetzt nicht mehr händisch, weil es einfach zu viele 24:41.310 --> 24:42.870 Informationen und zu viele Menschen sind. 24:42.970 --> 24:44.190 Das geht dann nur computergestützt. 24:44.390 --> 24:47.750 Und um dem PC das überhaupt beizubringen, wie die Struktur aussieht, 24:48.170 --> 24:51.390 da würden Sie genau solche Inzidenzmatrizen verwenden. 24:52.470 --> 24:55.190 Und um es dann später zu visualisieren, das führt Sie dann zum 24:55.190 --> 24:58.250 Beispiel auf solche Graphen hier unten, wie Sie es hier sehen aus 24:58.250 --> 25:01.950 Sicht der Mitarbeiter oder hier aus Sicht der Projekte. 25:03.550 --> 25:04.730 Das war aber auch schon alles. 25:05.290 --> 25:08.370 Dieser Stoff, den ich Ihnen jetzt hier vorgeführt habe, der ist nicht 25:08.370 --> 25:10.330 mehr wichtig für die weitere Mathevorlesung. 25:10.690 --> 25:13.850 Der sollte Ihnen aber einen schönen Eindruck davon geben, wo die Reise 25:13.850 --> 25:17.250 hingehen kann und wie Ihnen die Sachen, die wir Ihnen hier beibringen, 25:17.330 --> 25:20.050 auch in Ihrem späteren wirtschaftlichen Leben helfen können. 25:20.690 --> 25:23.470 Denn vielleicht beschäftigen Sie sich genauer mit Projektarbeit und 25:23.470 --> 25:25.850 stehen vor dem Problem, wie Sie sowas modellieren müssen. 25:26.830 --> 25:30.590 Und Sie sehen, auch wenn wir erst ganz früh in der Vorlesung sind und 25:30.590 --> 25:33.510 Sie haben jetzt erst ein bisschen was über Mengenlehre gelernt, haben 25:33.510 --> 25:37.170 Sie trotzdem schon genug, um diese Modellierung hier machen zu können, 25:37.230 --> 25:38.670 wie ich Ihnen vorgeführt habe. 25:40.130 --> 25:41.490 Das war es dann aber auch für dieses Video. 25:41.650 --> 25:44.090 Vielen Dank fürs Anschauen und bis zum nächsten Video.