Ganz herzlich willkommen zu diesem Video über die Urbildabbildung.
Es wendet sich an Studierende der Mathematik ab dem ersten Semester.
Die Begriffsbildung ist ganz einfach.
Sind m und n beliebige, nicht leere Mengen und ist f eine beliebige
Funktion, die auf m definiert ist und Werte in n annimmt, so definiert
man für eine beliebige Teilmenge b von n eine Menge f hoch minus 1 von
b, und zwar als die Menge derjenigen x aus m mit der Eigenschaft, dass
der Funktionswert f von x zu b gehört.
Diese Teilmenge von m nennt man das Urbild von b unter f.
Da b beliebig war, ist auch f hoch minus 1 eine Funktion.
Diese ist definiert auf dem System aller Teilmengen von n, also der so
wie üblich bezeichneten Potenzmenge von n, und die Werte, die f hoch
minus 1 annehmen kann, sind Teilmengen von m.
Der Wertebereich von f hoch minus 1 ist also die Potenzmenge von m.
Man nennt diese Funktion die Urbildabbildung zu f.
Folgendes sollte man hier beachten.
Ist f eine biektive, also injektive und syjektive Abbildung, so steht
die gleiche Bezeichnung, nämlich f hoch minus 1, für die inverse
Abbildung oder Umkehrabbildung.
Diese Abbildung bildet die Menge n auf die Menge m ab.
Aus dem Zusammenhang sollte klar sein, was jeweils mit f hoch minus 1
gemeint ist.
Der Begriff der Urbildabbildung ist grundlegend für viele Teilgebiete
der Mathematik.
So verwenden etwa die Konzepte der Stetigkeit und Messbarkeit von
Funktionen direkt den Begriff der Urbildabbildung.
Machen wir uns den Begriff an einem ganz einfachen Beispiel klar.
Die Menge m sei die Menge aller geordneten Paare von Zahlen aus dem
Bereich von 1 bis 6 und die Menge n bestehe aus den natürlichen Zahlen
von 2 bis 12.
Die Funktion f ordne dem Paar j, k aus m die Summe j plus k der
Komponenten zu.
Dann ist das Urbild f hoch minus 1 der Menge, die aus den Zahlen 11
und 12 besteht, gleich dieser dreielementigen Menge von Paaren.
Man kann die Menge m hier deuten als Menge der Ergebnisse beim zweimal
hintereinander ausgeführten Würfelwurf.
Die Abbildung f ordnet dann einem Paar j, k von Augenzahlen die Summe
dieser Augenzahlen zu.
Das hier stehende Urbild kann man dann als Ereignis deuten, dass die
Augensumme aus den beiden Würfen mindestens gleich 11 ist.
Was muss man ganz allgemein über die Urbildabbildung wissen?
Ich nehme hierzu einmal die Definition auf die nächste Folie.
Man muss sich nur merken, wie die Urbildabbildung definiert ist, denn
die wichtigsten Eigenschaften ergeben sich als einfache Folgerungen
und Münden in einer plakativen Botschaft.
Für die Urbildabbildung gelten folgende Eigenschaften.
a.
Das Urbild der Menge n ist nach Definition die Menge aller x aus m mit
der Eigenschaft, dass f von x zu n gehört.
Das tut aber jedes Element aus m und somit gilt f minus 1 von n gleich
m.
Eigenschaft b.
Das Urbild der leeren Menge ist natürlich die leere Menge, denn es
gibt kein Element x aus m mit der Eigenschaft, dass f von x zur leeren
Menge gehört, denn die leere Menge enthält ja kein Element.
c.
Was ist das Urbild einer beliebigen Vereinigung von Mengen aus n?
Die bi sind also alle Teilmengen von n und t ist eine beliebige, nicht
leere Indexmenge.
Nun ein Element x aus m gehört genau dann zu diesem Urbild, wenn f von
x zu dieser Vereinigung hier gehört.
Das ist genau dann der Fall, wenn es mindestens ein i gibt, sodass f
von x zu bi gehört oder, was gleichbedeutend damit ist, x zum Urbild f
hoch minus 1 von bi gehört.
Genau dann liegt x aber in dieser Vereinigung der Urbilder der bi.
Wohlgemerkt, t ist hier eine beliebige, nicht leere Menge und die bi
sind alle Teilmengen von n.
d.
Was ist das Urbild eines beliebigen Durchschnitts von Mengen?
Nun ein Element x aus m gehört genau dann zum Urbild dieses
Durchschnittes, wenn f von x zu jeder der Mengen bi gehört.
f von x Element von bi ist aber gleichbedeutend mit x Element von f
hoch minus 1 von bi und damit ist diese Menge gleich dem Durchschnitt
der Urbilder der bi und auch das gilt für beliebiges t und beliebige
Teilmengen bi von n.
Die letzte Folgerung e.
Was ist das Urbild des Komplementes einer Teilmenge b von n?
Ein Element x aus m liegt genau dann in diesem Urbild, wenn f von x zu
b Komplement gehört, also f von x nicht Element von b ist.
Das ist aber gleichbedeutend damit, dass x nicht im Urbild von b und
damit im Komplement dieses Urbildes liegt.
Das Komplement dieses Urbildes ist aber diese Menge und diese
Überlegung gilt für jede Teilmenge b von n.
Man beachte, dass die Komplementbildung jeweils durch ein
hochgestelltes c notiert ist.
b Komplement ist natürlich die Menge n vermindert um b und das
Komplement rechts ist m vermindert um f hoch minus 1 von b.
Eigenschaft c besagt, dass das Urbild einer Vereinigung von Mengen
gleich der Vereinigung der einzelnen Urbilder ist.
Folgerung d bedeutet, dass das Urbild des Durchschnittes von Mengen
gleich dem Durchschnitt der einzelnen Urbilder ist und nach Folgerung
e ist das Urbild des Komplementes einer Menge gleich dem Komplement
des Urbildes dieser Menge.
In diesem Sinn, und das ist die angekündigte plakative Botschaft, ist
die Urbildabbildung verträglich mit Mengen theoretischen
Verknüpfungen.
Und zum Abschluss sei noch als folgendes hingewiesen, sind die Mengen
b i, die in Folgerung c vereinigt werden, paarweise disjunkt, so sind
auch die zugehörigen Urbilder paarweise disjunkt.
Diese Eigenschaft wird oft so notiert, dass man dann das
Vereinigungszeichen als Summenzeichen schreibt.
Das Summenzeichen beinhaltet also notwendigerweise die paarweise
Disjunktheit der Mengen, die vereinigt werden.
Ja, das waren in aller Kürze die wichtigsten Eigenschaften der
Urbildabbildung.
Ich bedanke mich ganz herzlich für das Ansehen des Videos.
Wem es gefallen hat, der kann es natürlich sehr gerne weiterempfehlen.