Herzlich willkommen zu diesem Video.
Es geht um den Begriff Ereignis im Zusammenhang mit der stochastischen
Modellbildung und um den Umgang mit Ereignissen.
Sei hierzu Omega ein Grundraum, der die Menge der möglichen Ergebnisse
eines stochastischen Vorgangs modelliert.
Ich setze im Folgenden voraus, dass man einige einfache Beispiele für
solche Grundräume oder Ergebnismengen, wie man sie oft auch nennt,
kennt.
Hier hilft bei Bedarf vielleicht mein Video zu diesem Thema.
Ist der Grundraum abzählbar, also eine endliche oder abzählbar
unendliche Menge, so nennt man jede Teilmenge von Omega ein Ereignis.
Ist Omega, wie etwa im Fall der reellen Zahlen, nicht abzählbar, so
muss man aus innermathematischen Gründen Vorsicht walten lassen.
Dann ist nicht unbedingt jede Teilmenge von Omega ein Ereignis.
Das System aller Ereignisse enthält aber immer den Grundraum Omega,
mit jeder Menge auch deren Komplement und mit je abzählbar unendlich
vielen Mengen auch deren Vereinigung.
Man nennt ein solches System eine Sigma-Algebra.
Auch dazu gibt es ein eigenes Video.
Ist a ein Ereignis, so sagt man a tritt ein, falls das Ergebnis des
stochastischen Vorgangs, das hier mit einem kleinen Omega bezeichnet
ist, zu a gehört.
Andernfalls sagt man a tritt nicht ein.
Man nennt die Menge Omega das sichere Ereignis und die leere Menge das
unmögliche Ereignis.
Jede ein-elementige Menge heißt Elementarereignis.
Mathematisch muss man also zwischen den kleinen Omega als Elementen
des Grundraums und den aus einem Element bestehenden Teilmengen des
Grundraums unterschieden werden.
Ereignisse werden im Allgemeinen mit den ersten Buchstaben aus dem
Alphabet, also a, b, c, d, beschrieben.
Eine Aufgabe besteht oft darin, in Worten beschriebene Ereignisse
formal als Teilmengen eines Grundraums hinzuschreiben.
Ein Beispiel hierfür ist der einfache Würfelwurf.
Das in Worten beschriebene Ereignis sei, dass bei diesen n Würfen
mindestens eine 6 auftritt.
Ein naheliegender Grundraum für diese Situation ist die Menge aller n
Tupel mit Komponenten a1 bis an, wobei aj das Ergebnis des j-Wurfs
beschreibe.
Damit ist jedes aj eine der Zahlen von 1 bis 6.
Das Ereignis a ist die Menge derjenigen Tupel aus Omega, in denen
mindestens ein aj gleich 6 ist.
Eine Möglichkeit, das kurz hinzuschreiben ist, dass das Maximum über
alle aj gleich 6 ist, denn genau dann ist mindestens eines der aj
gleich 6.
Wir haben oben eine Teilmenge a von Omega mit dem Ereignis
identifiziert, das bei dem durch Omega modellierten stochastischen
Vorgang ein Element aus a als Ergebnis des Vorgangs realisiert wird.
Hierdurch können wir Ereignisse Mengen theoretisch verknüpfen.
Sind a und b Ereignisse, so ist der Durchschnitt von a und b die Menge
aller Elemente aus Omega, die sowohl zu a als auch zu b gehören.
Das Ereignis a geschnitten b tritt also genau dann ein, wenn sowohl a
als auch b eintreten.
Analog ist die Vereinigung von a und b gleich der Menge aller Elemente
aus Omega, die zumindest einer der beiden Mengen a und b gehören.
Das Ereignis a vereinigt b tritt also genau dann ein, wenn a oder b
eintritt.
Dabei ist nicht ausgeschlossen, dass a und b beide eintreten.
Man kann diese Bildungen mit Hilfe eines auf den britischen
Mathematiker John Fenn zurückgehenden Fenn-Diagramms veranschaulichen.
Wenn die Punkte in diesem Rechteck die Menge Omega bilden und diese
Ellipse die Teilmenge a sowie diese Ellipse die Teilmenge b, so
entsteht hier die Menge a geschnitten b.
In analoger Weise ist dieser blau markierte Teil die Vereinigung von a
und b.
Wichtig ist auch die Komplementbildung.
Ist a ein Ereignis, so ist das durch ein hochgestelltes c
gekennzeichnete Ereignis a-Komplement gleich der Menge aller Elemente
des Grundraums, die nicht zu a gehören.
Man nennt a-Komplement auch das Komplement von a oder das
Gegenereignis zu a und man schreibt hierfür oft auch a-quer, versieht
also das a mit einem oberen Querstrich.
Nach Definition tritt das Ereignis a-Komplement genau dann ein, wenn a
nicht eintritt.
Sind a und b Ereignisse, so ist das Ereignis a vermindert um b
definiert als der Durchschnitt von a und dem Komplement von b.
Man nennt a vermindert um b die Mengendifferenz von a und b.
Dieses Ereignis tritt genau dann ein, wenn a eintritt und zugleich b
nicht eintritt.
Man sagt hierfür auch kurz a ohne b.
Im Fenn-Diagramm ist der blaue Teil gleich a-Komplement, wenn die
Ellipse gleich der Menge a ist und hier erkennt man die Menge a
vermindert um b.
Hier ist natürlich der Durchschnitt von a und b zu sehen und hier
rechts ist die Menge b vermindert um a.
Ist a eine Teilmenge von b, so sind die Sprechweisen aus a folgt b
oder wenn a eintritt, so auch b üblich.
Für den Fall, dass der Durchschnitt von a und b gleich der leeren
Menge ist, sagt man auch die Ereignisse a und b sind disjunt oder
unvereinbar oder sie schließen sich gegenseitig aus.
In einem Fenn-Diagramm sieht die Beziehung, dass a eine Teilmenge von
b ist, so aus und hier rechts haben wir den Fall, dass a und b
unvereinbar sind.
Man kann die Durchschnitts- und Vereinigungsbildung unmittelbar auf
mehr als zwei Ereignisse verallgemeinern.
Sind a1 bis an Ereignisse, so ist der Durchschnitt dieser Ereignisse,
den man auch kurz so schreibt, gleich der Menge aller Elemente im
Grundraum, die zu jeder der Mengen a1 bis an gehören.
Der Durchschnitt dieser Ereignisse tritt also genau dann ein, wenn
jedes der Ereignisse a1 bis an eintritt.
Die Vereinigung der Ereignisse a1 bis an, kurz so geschrieben, ist
gleich der Menge aller Elemente im Grundraum, die zu mindestens einer
der Mengen a1 bis an gehören.
Diese Vereinigung tritt also genau dann ein, wenn mindestens eines der
Ereignisse a1 bis an eintritt.
Man nennt n Ereignisse paarweise disjunt oder nur kurz disjunt, wenn
je zwei von ihnen disjunt sind.
Disjunkte Ereignisse schließen sich also paarweise aus.
Nur für disjunkte bzw.
paarweise disjunkte Ereignisse schreibt man die Vereinigung manchmal
in besonderer Weise, und zwar in dieser Form, d.h.
innerhalb des Vereinigungszeichens steht zusätzlich noch ein
Pluszeichen.
Bei n sich paarweise ausschließenden Ereignissen sieht das dann so
aus.
Wenn man mit Mengen umgeht, gibt es gewisse nützliche Regeln.
Zwei davon sind die nach dem britischen Mathematiker Augustus de
Morgan benannten Regeln.
Die erste besagt, dass das Kompliment der Vereinigung zweier Mengen
gleich dem Durchschnitt der Komplimente dieser Mengen ist.
Dieses Gleichheitszeichen ergibt sich einfach daraus, dass genau dann
nicht mindestens eines der Ereignisse eintritt, wenn weder a noch b
eintritt, also sowohl a Kompliment als auch b Kompliment eintreten.
Die zweite Formel betrifft das Kompliment des Durchschnittes von a und
b.
Da genau dann nicht beide Ereignisse a und b eintreten, wenn
mindestens eines dieser Ereignisse nicht eintritt, gilt dieses
Gleichheitszeichen.
Für n Ereignisse nimmt die erste de Morgan'sche Regel diese Gestalt
an.
In Worten besagt sie, es tritt genau dann nicht mindestens eines der
Ereignisse a1 bis an ein, wenn keines dieser Ereignisse, also weder a1
noch a2 usw.
noch an eintritt.
Die zweite de Morgan'sche Regel besagt, dass genau dann nicht jedes
der Ereignisse a1 bis an eintritt, wenn mindestens eines dieser
Ereignisse nicht eintritt.
Ich möchte zum Schluss dieses Videos noch eine typische Aufgabe
behandeln, wie man sie auf Übungsblättern findet.
Man schreibe in mengentheoretischer Form, Teil a, genau eines der
Ereignisse a, b, c tritt ein.
Man sollte hier erkennen, dass es dafür drei sich paarweise
ausschließende Möglichkeiten gibt, die zu folgender Lösung führen.
Entweder es tritt a ein und keines der beiden anderen Ereignisse oder
es tritt b ein, aber weder a noch c, was zu diesem Bestandteil führt.
Oder es tritt c ein, aber weder a noch b und das führt zur Menge a
-Komplement -geschnitten-b-Komplement-geschnitten-c.
Teil b der Aufgabe lautet, das Ereignis höchstens zwei der Ereignisse
a, b, c treten ein, in mengentheoretischer Form zu schreiben.
Eine Möglichkeit besteht hier darin, das fragliche Ereignis in die
drei sich paarweise ausschließenden Fälle keines der Ereignisse tritt
ein, genau eines der Ereignisse tritt ein und genau zwei der
Ereignisse treten ein, aufzuspalten.
Dabei wurde der vorletzte Fall in Teil a behandelt.
Es geht aber viel einfacher, wenn man sich überlegt, dass das logische
Gegenteil von höchstens zwei der drei Ereignisse treten ein, gleich
alle drei Ereignisse treten ein ist.
Die Lösung ist also das Komplement des Ereignisses, dass sowohl a als
auch b als auch c eintreten und das ist nach der zweiten De
Morgan'schen Regel gleich der Vereinigung der drei Komplemente.
Damit sind wir am Ende dieses Videos über Ereignisse angekommen.
Ich bedanke mich fürs Zuschauen.
Für Hinweise und konstruktive Kritik bin ich wie immer dankbar.