Herzlich willkommen zu diesem Video über Streuungsmaße oder wie man
manchmal auch kürzer sagt Streumaße.
Dieses sechste Video zur deskriptiven Statistik setzt voraus, dass man
sich das Video über Lagemaße angesehen hat und dass man weiß, was
Stichprobenquantile sind.
Ausgangspunkt sind zwei Stichproben von jeweils drei Werten, die den
gleichen Mittelwert, nämlich 10, besitzen, aber unterschiedliche
Streuungen aufweisen.
Wie man auch anschaulich an diesem Bild sieht.
Im Folgenden geht es um empirische Streuungsmaße oder synonym
empirische Dispersionsmaße.
Empirisch heißt, dass wir uns rein beschreibend auf der Ebene von
Daten bewegen und nicht theoretische Maße wie etwa die Varianz einer
Wahrscheinlichkeitsverteilung betrachten.
Ausgangspunkt sind mindestens zwei reelle Zahlen, die ich mit x1 bis
xn bezeichne.
Da mein Kanal für Konzepte steht und nicht für konkrete Berechnungen,
möchte ich zunächst einige allgemeine Bemerkungen zu Eigenschaften
machen, die ein wie immer definiertes Streuungsmaß haben sollte.
Ich nenne dieses Streuungsmaß einmal Sigma von x1 bis xn.
Die erste Eigenschaft ist die, dass die Streuung in den Daten immer
eine nicht negative Zahl sein soll.
Man kann sich auch wünschen, dass die Streuung genau dann gleich Null
ist, wenn alle Stichprobenwerte gleich sind.
Wir werden gleich sehen, dass ein häufig verwendetes Streuungsmaß
diese Eigenschaft nicht erfüllt.
Die nächste Eigenschaft ist die, dass sich bei Addition des gleichen
Wertes zu jedem Stichprobenelement die Streuung nicht ändert.
Man hat ja anschaulich nur alle Daten auf der Zahlengeraden um den
gleichen Wert verschoben.
Man nennt diese Eigenschaft Translationsinvarianz.
Interessant ist natürlich, was passiert, wenn man etwa jedes xj mit
dem gleichen Wert a multipliziert, wobei der Wert a auch negativ sein
kann.
Viele Streuungsmaße haben hier die Eigenschaft, dass die Streuung der
neuen Stichprobe gleich a-Betrag mal der Streuung der
Ausgangsstichprobe ist.
Die Streuung skaliert also mit dem Betrag von a.
Wir betrachten jetzt folgende Streuungsmaße.
Die empirische Varianz oder auch Stichprobenvarianz, die empirische
Standardabweichung, die oft auch als Stichprobenstandardabweichung
bezeichnet wird, dann die mittlere absolute Abweichung, die
Stichprobenspannweite oder kurz nur Spannweite, den
Interquartilsabstand oder kurz Quartilsabstand, sowie die
Medianabweichung.
Das Konzept, das der Konstruktion von Streuungsmaßen zugrunde liegt,
ist folgendes.
Wenn man ein Maß für die grobe Lage einer Stichprobe festgelegt hat,
was etwa der Mittelwert xn² oder der mit x ½ bezeichnete
Stichprobenmedian sein kann, so gründet man ein Streuungsmaß auf die
Differenzen der xj zum Mittelwert bzw.
zum Median.
Wir haben gesehen, dass das arithmetische Mittel ausreißeranfällig ist
und so kann es manchmal geboten sein, ein Streuungsmaß mithilfe der
Differenzen der xj zum Stichprobenmedian zu konstruieren.
Man achtet also dabei auf sogenannte Robustheitsaspekte.
Wichtig ist folgendes.
Auf der Ebene von Daten kann man im Prinzip alles machen, aber nicht
alles ist immer zweckmäßig.
Ich werde gleich noch auf diesen Punkt eingehen.
Fangen wir mit der empirischen Varianz oder Stichprobenvarianz an.
Dieses klassische Streuungsmaß wird oft mit s² abgekürzt und ist so
definiert, dass man die Summe der Quadrate der Differenzen der
Stichprobenelemente xj zum Mittelwert bildet und dann durch n-1 teilt.
Ich muss hier sofort ein Achtung nachschieben.
Man findet auch die Bildung, dass anstelle von n-1, durch das auf den
ersten Blick viel natürlichere n geteilt wird.
Manchmal wird hier sogar der Unterschied gemacht, dass das Teilen
durch n die empirische Varianz ergibt und das Teilen durch n-1 die
Stichprobenvarianz.
Es erhebt sich natürlich sofort die Frage, warum wird manchmal durch n
und manchmal durch n-1 geteilt?
Was ist besser?
Eine humorvolle Antwort auf diese Frage soll einmal ein
Physikprofessor gegeben haben, als er seinen Studierenden, die ja im
physikalischen Anfängerpraktikum häufig wiederholte Messungen einer
physikalischen Größe machen, sagte, Herrschaften, wir teilen durch n-1
und nicht durch n, damit keiner vergisst, mindestens zwei Messungen zu
machen.
Aber Spaß beiseite.
Die Antwort erschließt sich nur auf der Ebene von Verteilungen.
Wenn man annimmt, dass die Daten Realisierungen von stochastisch
unabhängigen Zufallsvariablen mit derselben Verteilung sind und wenn
ich die Varianz dieser Verteilung mit Sigma² bezeichne, so gilt, dass
der Erwartungswert dieser Zufallsvariablen, also der durch n-1
geteilten Summe der Abweichungsquadrate der Zufallsvariablen, um ihr
zufälliges arithmetisches Mittel gleich Sigma² ist.
Das heißt, beim Teilen durch n-1 hat man auf der theoretischen Ebene
einen sogenannten erwartungstreuen Schätzer für die Varianz.
Wenn wir zusätzlich annehmen, dass diese Zufallsvariablen normal
verteilt sind mit Erwartungswert µ, auf den es hier nicht ankommt, und
Variant Sigma², so entsteht beim Teilen durch n der sogenannte Maximum
-Likelihood -Schätzer für Sigma².
Unter der Normalverteilungsannahme, man spricht dann auch von einer
normal verteilten Grundgesamtheit, gibt es sogar gute Gründe, anstelle
von n oder n-1 durch n±1 oder sogar durch n-5³ zu teilen.
Ich habe dazu ein eigenes Video mit dem Titel Varianzschätzung,
Konzepte und zugehörige Vorfaktoren gemacht.
Die Division durch n-1 erfolgt immer dann, wenn es um
Konfidenzbereiche für einen unbekannten Erwartungswert unter Annahme
einer Normalverteilung geht.
Ich nehme noch einmal die Definition der empirischen Varianz mit
beiden Varianten, also Division durch n oder durch n-1, auf die
nächste Folie.
Man kann die Summe der Abweichungsquadrate der xj vom Mittelwert auch
anders schreiben, wenn man die binomische Formel verwendet, unterhält
dann die Summe der Quadrate der xj vermindert um n mal das Quadrat des
arithmetischen Mittels.
Da potenzielle Ausreißer in den Daten bei sehr großen oder sehr
kleinen Werten zu suchen sind, sieht man unmittelbar, dass die
empirische Varianz sehr empfindlich gegenüber solchen Ausreißern und
damit kein robustes Streuungsmaß ist.
Wir kommen jetzt zur empirischen Standardabweichung oder
Stichprobenstandardabweichung.
Diese wird manchmal mit s abgekürzt und ist nichts anderes als die
positive Wurzel aus s², also dieser Ausdruck.
Wie bei der Varianz gibt es natürlich auch hier ein Achtung, denn
manchmal bezeichnet man auch die beim Teilen der Quadratsumme durch n
entstehende Version als empirische Standardabweichung.
Die empirische Varianz besitzt folgende Eigenschaft.
Multipliziert man jedes xj mit dem gleichen Wert a und das können wir
ja einmal gedanklich im Memo machen.
Hier steht also jetzt a mal xj anstelle von xj.
Dann steht hier auch a mal xn² anstelle von xn² und dann kann man das
a ausklammern und da hier das Quadrat steht, entsteht a² und das kann
man vor die Summe ziehen und damit ergibt sich dann der Wert a² mal
die empirische Varianz der ursprünglichen Stichprobe.
Für die empirische Standardabweichung als positive Wurzel aus der
Varianz erhält man dann diese Gleichung, da a auch negativ sein kann.
Ich möchte noch kurz auf andere Streuungsmaße eingehen.
Manchmal findet man die sogenannte mittlere absolute Abweichung.
Wie der Name schon sagt, ist das das Mittel der absoluten Abweichungen
der xj vom arithmetischen Mittel.
Dadurch, dass nur die Differenzen xj-xn² eingehen, ist wie schon die
empirische Varianz und die empirische Standardabweichung auch die
mittlere absolute Abweichung translationsinvariant und sie ist genau
dann gleich Null, wenn alle xj gleich sind.
Das nächste Streuungsmaß ist die Stichproben-Spannweite, die definiert
ist als größter minus kleinster Wert.
Da nur die beiden Extremwerte der Stichprobe eingehen, ist dieses
Streuungsmaß sehr ausreißerempfindlich.
Ein weiteres häufig verwendetes Streuungsmaß ist der
Interquartilsabstand oder kurz Quartilsabstand.
Wie der Name sagt, betrachtet man hier die Differenz zwischen dem
oberen und dem unteren Quartil der Stichprobe.
Bei diesem Streuungsmaß muss man sich bewusst sein, dass ein
Quartilsabstand von Null nicht bedeutet, dass alle Stichprobenwerte
gleich sind, denn man weiß nicht, wie die Werte unterhalb des unteren
Quartils und die oberhalb des oberen Quartils verteilt sind.
Zu guter Letzt kommt noch ein Streuungsmaß, das sehr robust gegenüber
Ausreißern ist, und das ist die sogenannte Medianabweichung.
Diese ist definiert als der empirische Median der absoluten
Abweichungen der xj von ihrem Median.
Das heißt, man stellt zunächst den Stichproben-Median fest und bildet
dann alle Absolutbeträge der Differenzen der Daten zu diesem Median.
Von diesen so erhaltenen N nicht-negativen Werten bildet man dann
wieder den Stichproben-Median.
Dadurch, dass nur Quartile bzw.
Mediane eingehen, sind sowohl der Quartilsabstand als auch die
Medianabweichung robust gegenüber Ausreißern.
Auf einer letzten Folie habe ich noch konkrete Werte zum Nachrechnen
aufgeführt.
Man sieht zehn Werte und in der letzten Zeile die geordnete
Stichprobe.
Für diese Daten ist der Mittelwert gleich 11,9 und wenn man die
Stichprobenvarianz in der Version mit Teilen durch N-1 ausrechnet,
ergibt sich ein Wert von knapp unter 498.
So sieht die Stichprobenstandardabweichung aus und die mittlere
absolute Abweichung ist gleich 12,62.
Die Spannweite ist gleich 73,5 und der Quartilsabstand ist gleich 5,5.
Der Stichproben-Median ist gleich 5,25 und wenn man die absoluten
Abweichungen aller Werte vom Median bildet und der Größe nach
sortiert, erhält man diese Werte.
Der empirische Median dieser Werte, also die Medianabweichung der
Stichprobe, ist gleich 2,5.
Damit wären wir auch schon am Ende dieses Videos angelangt.
Ich bedanke mich ganz herzlich fürs Zuschauen.
Für Hinweise und konstruktive Kritik bin ich wie immer dankbar.