WEBVTT 00:01.080 --> 00:04.480 Herzlich willkommen zu diesem einführenden Video zu bedingten 00:04.480 --> 00:08.260 Wahrscheinlichkeiten, die wahrhaft kein einfaches Thema sind. 00:08.860 --> 00:12.440 Es geht nämlich darum, die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines 00:12.440 --> 00:17.160 Ereignisses neu zu bewerten, wenn man eine gewisse Teilinformation 00:17.160 --> 00:20.740 über das Ergebnis eines stochastischen Vorgangs hat. 00:21.480 --> 00:25.960 Als Einstieg diene das mittlerweile klassische Ziegen- oder Drei-Türen 00:25.960 --> 00:26.380 -Problem. 00:27.040 --> 00:28.680 Dieses Problem wurde vor ca. 00:28.800 --> 00:33.380 30 Jahren heiß diskutiert und es sollen darüber sogar Freundschaften 00:33.380 --> 00:34.140 zerbrochen sein. 00:34.760 --> 00:35.600 Worum geht es? 00:36.100 --> 00:38.660 In einer Spielshow kann man ein Auto gewinnen. 00:39.220 --> 00:44.180 Dieses Auto wird rein zufällig hinter einer von drei Türen platziert 00:44.180 --> 00:48.740 und hinter den anderen beiden Türen befindet sich jeweils eine Ziege. 00:49.400 --> 00:54.560 Nehmen wir an, sie sind Kandidat oder Kandidatin und sie wählen Tür 00:54.560 --> 00:55.260 Nummer 1. 00:56.000 --> 00:58.140 Diese Tür bleibt zunächst verschlossen. 00:58.880 --> 01:03.360 Der Showmaster muss eine der beiden anderen Türen öffnen, darf aber 01:03.360 --> 01:05.180 auf keinen Fall das Auto zeigen. 01:05.920 --> 01:09.800 Nehmen wir an, der Moderator öffnet, wie auf diesem Bild zu sehen, Tür 01:09.800 --> 01:10.440 Nummer 3. 01:11.400 --> 01:15.800 Natürlich zeigt sich eine Ziege, denn die Autotür darf nicht geöffnet 01:15.800 --> 01:16.140 werden. 01:17.100 --> 01:21.140 Bleiben Sie bei Ihrer Wahl oder wechseln Sie zu Tür 2. 01:22.340 --> 01:26.940 Der stochastische Vorgang besteht hier darin, dass das Auto rein 01:26.940 --> 01:31.160 zufällig platziert wird und Sie natürlich rein zufällig wählen. 01:31.860 --> 01:36.980 Die Teilinformation beinhaltet unter anderem, dass das Auto nicht 01:36.980 --> 01:38.260 hinter Tür 3 ist. 01:39.000 --> 01:43.660 Bevor diese Information verfügbar war, war die Wahrscheinlichkeit ein 01:43.660 --> 01:46.280 Drittel, dass das Auto hinter Tür 1 steht. 01:46.840 --> 01:48.460 Ist sie jetzt größer geworden? 01:49.640 --> 01:53.020 Mein gut trainierte stochastische Spür sagt mir Folgendes. 01:53.480 --> 01:57.260 Die Wahrscheinlichkeit, dass das Auto hinter einer der beiden Türen 2 01:57.260 --> 01:59.540 oder 3 ist, ist zwei Drittel. 02:00.200 --> 02:04.100 Wenn mir von diesen beiden Türen auch noch eine geöffnet wird, um so 02:04.100 --> 02:04.400 besser. 02:05.060 --> 02:07.500 Ich sollte also zu Tür 2 wechseln. 02:07.500 --> 02:09.400 Ich kann es auch so sagen. 02:09.780 --> 02:13.940 Wenn ich wechsle, erhalte ich das Auto genau dann, wenn meine erste 02:13.940 --> 02:17.760 Wahl auf eine der beiden Ziegentüren zeigt, was mit der 02:17.760 --> 02:19.480 Wahrscheinlichkeit zwei Drittel passiert. 02:20.220 --> 02:24.880 Nach den obigen Regeln muss der Moderator die andere Ziegentür öffnen 02:24.880 --> 02:28.780 und durch wechseln gelange ich automatisch zum Hauptgewinn. 02:30.320 --> 02:35.540 Warum habe ich gesagt, dass die Teilinformation unter anderem darin 02:35.540 --> 02:38.920 besteht, dass das Auto nicht hinter Tür 3 ist? 02:39.580 --> 02:43.920 Wenn der Moderator rein zufällig eine der drei Türen hätte öffnen 02:43.920 --> 02:49.200 dürfen, auch auf die Gefahr hin, dass er das Auto zeigt oder Tür 1 02:49.200 --> 02:53.700 öffnet und wenn sich dann die im Bild gezeigte Situation ergeben 02:53.700 --> 02:58.720 hätte, so wäre das Auto mit gleicher bedingter Wahrscheinlichkeit ein 02:58.720 --> 03:01.480 Halb hinter den Türen 1 und 2. 03:02.760 --> 03:07.200 Ich muss also bei Situationen, in denen ich Teilinformationen über den 03:07.200 --> 03:12.380 Ausgang eines stochastischen Vorgangs habe, sehr genau beachten, auf 03:12.380 --> 03:15.540 welche Weise ich diese Information erhalte. 03:16.280 --> 03:19.980 Nicht umsonst gibt es zu bedingten Wahrscheinlichkeiten diverse 03:19.980 --> 03:25.640 Paradoxa, wie etwa das Bertrand'sche Schubladenparadoxon oder das Zwei 03:25.640 --> 03:26.420 -Jungen -Problem. 03:27.360 --> 03:31.020 Zu beiden Themen habe ich jeweils ein eigenes Video gemacht. 03:32.200 --> 03:35.260 In diesem Video möchte ich die Definition einer bedingten 03:35.260 --> 03:38.660 Wahrscheinlichkeit motivieren und wir werden sehen, dass 03:38.660 --> 03:42.840 Übergangswahrscheinlichkeiten in mehrstufigen stochastischen Vorgängen 03:42.840 --> 03:44.860 bedingte Wahrscheinlichkeiten sind. 03:45.680 --> 03:49.280 Hierzu wäre es gut, wenn man sich das Video zur Modellierung 03:49.280 --> 03:52.460 mehrstufiger stochastischer Vorgänge angesehen hat. 03:53.160 --> 03:54.560 Also um was geht es? 03:55.280 --> 03:59.340 Gegeben sei ein stochastischer Vorgang, dessen Ergebnisse durch den 03:59.340 --> 04:01.300 Grundraum Omega beschrieben seien. 04:01.880 --> 04:05.840 Uns wird mitgeteilt, dass das Ereignis B eingetreten sei. 04:06.580 --> 04:10.820 Die Frage ist, wie groß ist unter dieser Bedingung die 04:10.820 --> 04:12.840 Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A? 04:13.720 --> 04:17.020 Es kann etwa sein, dass die Wahrscheinlichkeit von A ohne die 04:17.020 --> 04:20.580 Information, dass B eingetreten ist, gleich einhalb ist. 04:21.280 --> 04:25.480 Wenn aber A und B disjunkt sind, sich also gegenseitig ausschließen, 04:25.840 --> 04:29.500 so kann A nicht eintreten, wenn B eingetreten ist. 04:30.080 --> 04:33.960 Die wie immer definierte bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter der 04:33.960 --> 04:38.200 Bedingung, dass B eingetreten ist, sollte also dann gleich Null sein. 04:39.560 --> 04:43.240 Um die Definition einer bedingten Wahrscheinlichkeit zu motivieren, 04:43.680 --> 04:48.060 stellen wir uns vor, dass der stochastische Vorgang N mal unter 04:48.060 --> 04:51.740 gleichen, sich gegenseitig nicht beeinflussenden Bedingungen 04:51.740 --> 04:52.840 durchgeführt wird. 04:53.520 --> 04:58.400 Es sei Hn von B die Anzahl der Male, bei denen das Ergebnis B 04:58.400 --> 05:03.480 eintritt, also der Ausgang des Vorgangs als Element von Omega zu B 05:03.480 --> 05:03.880 gehört. 05:04.620 --> 05:10.220 In gleicher Weise sei Hn von A geschnitten B die Anzahl der Male, bei 05:10.220 --> 05:13.000 denen sowohl A als auch B eintreten. 05:13.640 --> 05:18.900 Dann ist dieser Quotient der relative Anteil derjenigen Fälle unter 05:18.900 --> 05:23.960 allen Fällen, in denen B eintritt, in denen auch noch A eintritt. 05:25.400 --> 05:29.740 Dieser Quotient ändert sich nicht, wenn wir Zähler und Nenner durch N 05:29.740 --> 05:33.040 teilen und so erhalten wir dieses Gleichheitszeichen. 05:34.020 --> 05:38.580 Im Zähler steht jetzt die relative Häufigkeit des Eintretens von A 05:38.580 --> 05:40.880 geschnitten B in den N-Durchführungen. 05:41.320 --> 05:45.540 Nach dem empirischen Gesetz über die Stabilisierung relative 05:45.540 --> 05:50.160 Häufigkeiten sollte sich der Zähler bei wachsendem N um die 05:50.160 --> 05:53.380 Wahrscheinlichkeit von A geschnitten B herum stabilisieren. 05:54.280 --> 05:58.060 In gleicher Weise sollte sich der Nenner gegen die Wahrscheinlichkeit 05:58.060 --> 05:59.320 von B stabilisieren. 06:00.040 --> 06:04.840 Aus diesem Grund macht es offenbar Sinn, auf der mathematischen Ebene 06:04.840 --> 06:09.620 den Quotienten P von A geschnitten B geteilt durch P von B zu 06:09.620 --> 06:13.900 betrachten und schon sind wir bei der Definition der bedingten 06:13.900 --> 06:14.700 Wahrscheinlichkeit. 06:15.500 --> 06:20.060 Es seien hierzu Omega P ein Wahrscheinlichkeitsraum und A sowie B 06:20.060 --> 06:24.120 Ereignisse, wobei die Wahrscheinlichkeit von B größer als 0 sei. 06:24.880 --> 06:28.680 Je nach Kenntnisstand kann man sich hier einen endlichen, einen 06:28.680 --> 06:32.800 diskreten oder sogar einen allgemeinen Wahrscheinlichkeitsraum 06:32.800 --> 06:36.720 vorstellen, bei dem ich dann natürlich noch zwischen dem Omega und dem 06:36.720 --> 06:39.120 P eine Sigma-Algebra setzen müsste. 06:40.340 --> 06:44.280 Für das Verständnis des Begriffs bedingte Wahrscheinlichkeit kommt es 06:44.280 --> 06:45.580 aber darauf nicht an. 06:46.420 --> 06:51.460 Man nennt P Index B von A, das auch so geschrieben wird und durch 06:51.460 --> 06:55.740 diesen Quotienten definiert ist, die bedingte Wahrscheinlichkeit von A 06:55.740 --> 06:57.140 unter der Bedingung B. 06:58.780 --> 07:02.600 Jetzt kommt noch eine Definition, die zugleich etwas behauptet. 07:03.320 --> 07:07.880 Man nennt nämlich das Wahrscheinlichkeitsmaß P Index B die bedingte 07:07.880 --> 07:10.480 Verteilung von P unter der Bedingung B. 07:11.520 --> 07:15.740 Behauptet wird also, dass P Index B ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf den 07:15.740 --> 07:17.360 Teilmengen von Omega ist. 07:17.680 --> 07:17.920 Warum? 07:19.040 --> 07:20.800 Was müssen wir dazu nachprüfen? 07:22.120 --> 07:26.640 Zunächst ist P Index B von A eine nicht-negativere L-Zahl. 07:27.360 --> 07:30.340 Die zweite Bedingung für ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist die 07:30.340 --> 07:30.940 Normierung. 07:30.940 --> 07:35.980 Wenn wir für A den Grundraum Omega einsetzen, muss 1 herauskommen. 07:36.740 --> 07:41.680 Wenn aber A gleich Omega ist, so ist Omega-geschnitten B gleich B und 07:41.680 --> 07:44.120 der rechts stehende Quotient ist gleich 1. 07:45.280 --> 07:48.840 Die noch fehlende Bedingung für ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist die 07:48.840 --> 07:50.540 Additivität bzw. 07:50.800 --> 07:54.240 die Sigma-Additivität für den Fall, dass kein endlicher 07:54.240 --> 07:55.860 Wahrscheinlichkeitsraum vorliegt. 07:55.860 --> 08:01.460 Wenn man aber hier anstelle von A die Vereinigung von Paarweise des 08:01.460 --> 08:06.220 jungen Mengen einsetzt, so steht diese Vereinigung auch hier und dann 08:06.220 --> 08:10.020 verwendet man das Distributivgesetz der Mengenlehre und die 08:10.020 --> 08:11.360 Additivität bzw. 08:11.680 --> 08:16.860 Sigma-Additivität von P und daraus folgt, dass P Index B ein 08:16.860 --> 08:18.120 Wahrscheinlichkeitsmaß ist. 08:18.900 --> 08:22.860 Das Wahrscheinlichkeitsmaß P Index B ist anschaulich ganz auf der 08:22.860 --> 08:29.400 Menge B konzentriert, denn ist die Menge A disjunkt zu B, so steht im 08:29.400 --> 08:33.640 Zähler rechts die Wahrscheinlichkeit der leeren Menge und die ist 0 08:33.640 --> 08:37.360 und damit ergibt sich auch die bedingte Wahrscheinlichkeit zu 0. 08:38.640 --> 08:42.260 Ich nehme einmal die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit auf 08:42.260 --> 08:43.220 die nächste Folie. 08:45.040 --> 08:48.780 Man kann sich zum Beispiel den Übergang von P zur bedingten Verteilung 08:48.780 --> 08:50.880 P Index B so veranschaulichen. 08:51.640 --> 08:56.040 Hier ist für den Fall, dass die Menge Omega aus den Zahlen von 1 bis 5 08:56.040 --> 09:00.580 besteht, ein Stabdiagramm der an diesen Zahlen angebrachten 09:00.580 --> 09:01.700 Wahrscheinlichkeitsmassen. 09:02.340 --> 09:06.280 Die Menge B bestehe aus den Zahlen 1, 2 und 3. 09:07.080 --> 09:11.760 Beim Übergang zur bedingten Verteilung P Index B fallen diese beiden 09:11.760 --> 09:14.380 jetzt gelb markierten Wahrscheinlichkeitsmassen weg. 09:15.340 --> 09:19.440 Das Stabdiagramm der bedingten Verteilung zeigt, die mit kleinen P 09:19.440 --> 09:23.580 Index B bezeichneten Wahrscheinlichkeitsmassen der bedingten 09:23.580 --> 09:28.200 Verteilung P Index B, also die bedingten Wahrscheinlichkeiten der 09:28.200 --> 09:31.580 einzelnen Elementarereignisse unter der Bedingung B. 09:32.580 --> 09:35.040 Dieses Stabdiagramm sieht so aus. 09:35.600 --> 09:38.760 Das heißt die Werte 4 und 5 erhalten jeweils die bedingte 09:38.760 --> 09:41.720 Wahrscheinlichkeit 0, weil sie nicht zu B gehören. 09:42.180 --> 09:46.480 Und jede der als Stäbchenlängen veranschaulichten Wahrscheinlichkeiten 09:46.480 --> 09:51.680 zu den Zahlen 1, 2 und 3 im linken Bild wird jeweils um den gleichen 09:51.680 --> 09:55.880 Faktor, nämlich 1 dividiert durch P von B, gestreckt. 09:56.480 --> 09:59.940 So sieht also der Übergang zur bedingten Verteilung für dieses 09:59.940 --> 10:00.820 Beispiel aus. 10:02.260 --> 10:06.680 Liegt speziell eine Gleichverteilung auf diesen fünf Werten vor, so 10:06.680 --> 10:11.220 entsteht beim Übergang zur bedingten Verteilung eine Gleichverteilung 10:11.220 --> 10:13.600 auf den Werten 1, 2 und 3. 10:15.400 --> 10:20.020 Als weiteres Beispiel sei Omega das Einheitsquadrat und das 10:20.020 --> 10:23.760 Wahrscheinlichkeitsmaß sei die sogenannte stetige Gleichverteilung auf 10:23.760 --> 10:24.700 diesem Quadrat. 10:25.400 --> 10:29.400 Dieser Fall modelliert die rein zufällige Wahl eines Punktes im 10:29.400 --> 10:33.240 Quadrat und die Wahrscheinlichkeit für eine Teilmenge ist einfach 10:33.240 --> 10:34.540 deren Flächeninhalt. 10:35.160 --> 10:39.340 Genauer muss ich sagen, wir betrachten nur Teilmengen und die 10:39.340 --> 10:43.540 Flächeninhaltsfunktion ist das Borelle-Beck-Maß auf dem Quadrat. 10:44.640 --> 10:49.000 Das sei das Einheitsquadrat und das sei eine Teilmenge A. 10:49.800 --> 10:54.400 Diese besitzt den Flächeninhalt ein Halb und so gilt P von A gleich 10:54.400 --> 10:55.040 ein Halb. 10:56.120 --> 10:58.520 Ich nehme die Menge A einmal weg. 11:00.120 --> 11:04.420 Was man jetzt sieht sind vier parallele Streifen der Breite ein 11:04.420 --> 11:07.560 Viertel, die ich B1 bis B4 nenne. 11:08.540 --> 11:12.880 Jede dieser Mengen hat den Flächeninhalt ein Viertel und so erhalten 11:12.880 --> 11:14.340 wir diese Gleichungen. 11:15.560 --> 11:20.500 Jetzt mache ich die Menge A wieder sichtbar und wir fragen uns, was 11:20.500 --> 11:24.740 die bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B1 ist. 11:25.420 --> 11:29.400 Nach Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit ist das P von A 11:29.400 --> 11:35.260 geschnitten B1, also die Fläche dieses kleinen schraffierten Dreiecks 11:35.260 --> 11:41.060 hier links, dividiert durch P von B1 und das liefert den Wert ein 11:41.060 --> 11:41.480 Achtel. 11:42.320 --> 11:45.620 In gleicher Weise ergibt sich die Wahrscheinlichkeit von A unter der 11:45.620 --> 11:51.280 Bedingung B2 zu drei Achtel und auch diese beiden Gleichungen folgen 11:51.280 --> 11:51.700 analog. 11:53.300 --> 11:57.600 Ich möchte zum Schluss noch einen Zusammenhang zwischen bedingten 11:57.600 --> 12:00.560 Wahrscheinlichkeiten und Übergangswahrscheinlichkeiten zeigen. 12:00.560 --> 12:05.040 Hierzu ist es gut, wenn man sich mein Video über die Modellierung 12:05.040 --> 12:08.180 mehrstufiger stochastischer Vorgänge angesehen hat. 12:08.880 --> 12:12.780 Es sei Omega der Grundraum für einen zweistufigen stochastischen 12:12.780 --> 12:17.720 Vorgang, dessen Teile durch die Grundräume Omega 1 und Omega 2 12:17.720 --> 12:18.640 modelliert seien. 12:19.260 --> 12:23.640 Die möglichen Ergebnisse des Vorgangs sind geordnete Paare und die 12:23.640 --> 12:27.600 Wahrscheinlichkeit für ein solches Paar wird über die erste Pfadregel 12:27.600 --> 12:31.380 in dieser Form mithilfe einer Anfangsverteilung und 12:31.380 --> 12:33.620 Übergangswahrscheinlichkeiten angesetzt. 12:34.380 --> 12:38.240 Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A ergibt sich dann in dieser 12:38.240 --> 12:40.080 Weise durch Summation. 12:41.600 --> 12:46.620 Seien jetzt A1 in Omega 1 und A2 in Omega 2 beliebig. 12:47.440 --> 12:52.480 Das Ereignis, das der erste Teilvorgang das Ergebnis A1 liefert, sieht 12:52.480 --> 12:54.820 als Teilmenge von Omega so aus. 12:55.380 --> 12:59.680 Hier ist die zweite Komponente eines Paares, dessen erste Komponente 12:59.680 --> 13:03.460 A1 ist, beliebig, weshalb Omega 2 auftritt. 13:04.280 --> 13:07.740 In gleicher Weise beschreibt die Menge A im Grundraum Omega das 13:07.740 --> 13:12.280 Ereignis, das der zweite Teilvorgang das Ergebnis A2 liefert. 13:13.440 --> 13:18.600 Der Durchschnitt der Mengen A und B besteht aus nur diesem einen Paar 13:18.600 --> 13:22.880 und insofern ist P von A geschnitten B nach der ersten Pfadregel 13:22.880 --> 13:24.360 gleich diesem Ausdruck. 13:25.380 --> 13:31.120 P von B ist die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten der Paare A1 A2 13:31.120 --> 13:34.580 Schlange mit A2 Schlange aus Omega 2. 13:35.160 --> 13:39.360 Man beachte, dass A2 schon vergeben, weil festgewählt ist. 13:40.400 --> 13:45.080 Hier kann man P1 von A1 vor die Summe ziehen, sodass sich dieses 13:45.080 --> 13:49.220 Gleichheitszeichen und damit auch dieses Gleichheitszeichen ergibt, 13:49.520 --> 13:51.420 denn diese Summe ist gleich 1. 13:52.580 --> 13:57.040 Wenn wir jetzt P von A geschnitten B durch P von B dividieren, kürze 13:57.040 --> 14:01.140 ich P1 von A1 weg und wir erhalten, dass die bedingte 14:01.140 --> 14:04.480 Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B gleich der 14:04.480 --> 14:08.840 Übergangswahrscheinlichkeit P2 von A2 gegeben A1 ist. 14:10.260 --> 14:13.240 Übergangswahrscheinlichkeiten sind also bedingte Wahrscheinlichkeiten. 14:14.280 --> 14:18.840 Zu guter Letzt, die wirklich wichtige Gleichung und Botschaft im 14:18.840 --> 14:22.120 Zusammenhang mit bedingten Wahrscheinlichkeiten ist diese hier. 14:23.020 --> 14:26.460 Bedingte Wahrscheinlichkeiten sind häufig Modellbausteine in 14:26.460 --> 14:30.980 mehrstufigen stochastischen Vorgängen, das heißt in dieser Gleichung 14:30.980 --> 14:35.680 sind die beiden Faktoren auf der rechten Seite gegeben und man erhält 14:35.680 --> 14:38.960 damit die Wahrscheinlichkeit des Durchschnitts von A und B. 14:41.160 --> 14:43.880 Damit sind wir am Ende dieses Videos angekommen. 14:44.320 --> 14:46.760 Ich bedanke mich ganz herzlich fürs Zuschauen. 14:47.300 --> 14:50.960 Für Hinweise und konstruktive Kritik bin ich wie immer dankbar.