Herzlich willkommen zu diesem Video über die Formel vom totalen
Erwartungswert.
Ich möchte dabei nicht zu technisch werden und deshalb nehmen wir an,
dass alle Zufallsvariablen auf einem diskreten Wahrscheinlichkeitsraum
definiert sind.
Die Ergebnisse gelten aber allgemeiner und ich werde an einigen
Stellen darauf hinweisen.
Grundsätzlich wird auch angenommen, dass alle auftretenden
Erwartungswerte existieren.
Für dieses Video ist es hilfreich, wenn man weiß, was ein elementarer
bedingter Erwartungswert ist.
Dazu habe ich ein eigenes Video gemacht.
Zur Erinnerung, der Erwartungswert einer Zufallsvariablen X auf einem
diskreten Wahrscheinlichkeitsraum, bei dem der Grundraum Omega
abzählbar ist, ist durch diesen Ausdruck definiert.
Dabei steht hier entweder eine endliche Summe oder, wenn Omega
abzählbar unendlich ist, der Grenzwert einer als absolut konvergent
vorausgesetzten unendlichen Reihe.
Bei einem allgemeinen Wahrscheinlichkeitsraum geht diese
Summendarstellung in diese Integraldarstellung über, die natürlich
geeignet zu definieren ist, aber das ist technisch etwas aufwendiger.
Ist A ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit positiv ist, so ist der
bedingte Erwartungswert von X unter der Bedingung A durch diesen
Ausdruck definiert.
Auch hier würde sich bei einem allgemeinen Wahrscheinlichkeitsraum nur
ändern, dass die Summe über Omega aus A durch ein Integral über A
ersetzt wird.
Stellen wir uns vor, wir hätten paarweise disjunkte Ereignisse, deren
Wahrscheinlichkeiten sämtlich positiv sind, wobei sich die
Wahrscheinlichkeiten zu 1 aufsummieren.
Wenn ich die Summe über J größer gleich 1 schreibe, ist damit immer
auch der Fall eingeschlossen, dass es sich nur um endlich viele
Ereignisse handelt, d.h.
es geht entweder um eine endliche Summe oder um den Grenzwert einer
unendlichen Reihe.
Es kann sein, dass die Ereignisse eine Zerlegung des Grundraums
bilden, aber das muss nicht notwendig der Fall sein.
D.h.
die wegen der Disjunktheit der Ereignisse durch ein Summenzeichen
innerhalb des Vereinigungszeichens über alle Ereignisse muss nicht
notwendig den gesamten Grundraum Omega ergeben.
Sollte jedoch eine nicht leere Differenzmenge vorhanden sein, hat
diese die Wahrscheinlichkeit 0.
Ist nun x eine Zufallsvariable auf Omega, so können wir den
Erwartungswert von x, der ja diese Summe ist, auch so erhalten, dass
wir die Summanden umsortieren, was wegen des sogenannten großen
Umordnungssatzes erlaubt ist.
Denn für den Fall, dass hier eine unendliche Reihe vorliegt, wurde
absolute Konvergenz vorausgesetzt.
Also summieren wir zunächst über j größer gleich 1 und dann kommt eine
innere Summe über alle Omega aus aj.
Wohlgemerkt, das ist möglich wegen des großen Umordnungssatzes und im
Fall eines allgemeinen Wahrscheinlichkeitsraums greift hier der Satz
von der dominierten oder majorisierten Konvergenz von Lebesgue.
Ich kopiere einmal die äußere Summe über j und wenn man die innere
Summe gedanklich durch die Wahrscheinlichkeit von aj teilt, ergibt
sich der bedingte Erwartungswert von x unter der Bedingung aj.
Das heißt, die innere Summe ist gleich diesem Produkt.
Die Voraussetzung, dass die Summe der Wahrscheinlichkeiten der aj
gleich 1 ist, haben wir übrigens beim ersten Gleichheitszeichen
ausgenutzt, denn wir müssen nur diejenigen Summanden in dieser Summe
hier umsortieren, bei denen die rechts stehende Wahrscheinlichkeit
positiv ist.
Ich nenne das Resultat, dass wir erhalten haben, die Formel vom
totalen Erwartungswert, also noch einmal plakativ.
In der obigen Situation gilt diese Darstellung des Erwartungswertes
von x als Summe gewichteter bedingter Erwartungswerte.
Dabei wird jeder bedingte Erwartungswert gerade mit der
Wahrscheinlichkeit des Ereignisses, nach dem bedingt wird, gewichtet.
Setzt man in diese Gleichung speziell die Indikatorfunktion eines
Ereignisses b ein, so ist der Erwartungswert von x gleich der
Wahrscheinlichkeit von b und der bedingte Erwartungswert von x unter
der Bedingung aj ist die bedingte Wahrscheinlichkeit von b unter der
Bedingung aj.
Die Formel vom totalen Erwartungswert ist also eine Verallgemeinerung
der Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit.
Natürlich ist die Formel vom totalen Erwartungswert nur dann nützlich,
wenn die rechts stehenden bedingten Erwartungswerte nicht aufwendig
berechnet werden müssen, sondern aufgrund der Rahmenbedingungen eines
stochastischen Vorgangs einfach erhältlich sind.
Wir werden dazu gleich zwei Beispiele sehen.
Zunächst notieren wir jedoch noch unter dem Schlagwort iterierte
Erwartungswertbildung eine einfache Folgerung.
Sei dazu z, ein k-dimensionaler Zufallsvektor, der die verschiedenen
Werte z1, z2 usw.
mit positiven Wahrscheinlichkeiten annimmt.
Auch hier können das endlich viele oder absehbar unendlich viele zj
sein.
Definieren wir aj als das Ereignis, das z den Wert zj annimmt, so sind
die aj paarweise disjunkte Ereignisse, auf die die Formel vom totalen
Erwartungswert zutrifft und somit gilt diese Gleichung.
Dabei habe ich hier die Mengenklammern um das Ereignis z gleich zj
weggelassen.
Wie im Video über bedingte Erwartungswerte und bedingte Erwartungen
gezeigt wurde, steht aber rechts der Erwartungswert der bedingten
Erwartung von x gegeben z, denn die bedingte Erwartung nimmt für jedes
j größer gleich 1 diesen bedingten Erwartungswert hier mit dieser
Wahrscheinlichkeit an.
Man kann also den Erwartungswert von x iteriert erhalten, indem man
zunächst die bedingten Erwartungswerte von x nach den einzelnen
Realisierungen von z bildet und dann den Erwartungswert dieser
bedingten Erwartungswerte bildet.
Sehen wir uns dazu ein Beispiel an, das plakativ mit Augensumme bei
zufälliger Wurfanzahl betitelt ist.
Die Situation ist die, dass ein fairer Würfel geworfen wird.
Tritt als Ergebnis die Augenzahl j auf, so wird der Würfel danach noch
j mal geworfen.
Die Zufallsvariable x beschreibt die insgesamt geworfene Augensumme.
Es finden also insgesamt mindestens 2 und höchstens 7 Würfe statt,
wobei die extremen Fälle zu j gleich 1 bzw.
zu j gleich 6 gehören.
Was uns interessiert, ist der Erwartungswert von x.
Wissen Sie, was jemand mit einem guten stochastischen Spür hier sagen
würde?
Ein Wurf findet auf jeden Fall statt.
Und das Mittel der Augenzahlen bei diesem Wurf ist 3,5.
Also wird danach noch im Schnitt 3,5 mal geworfen.
Zusammen mit dem ersten Wurf macht das insgesamt im Schnitt 4,5 Würfe
und bei jedem Wurf ergibt sich auf Dauer im Durchschnitt die Augenzahl
3,5.
Also muss ich 3,5 mal 4,5 rechnen.
Das ist aber 4 minus 1 Halb in Klammern mal 4 plus 1 Halb in Klammern
und nach der dritten binomischen Formel sind das 4 Quadrat minus 1
Halb zum Quadrat, also 16 minus 1 Viertel und damit 15,75.
Wir wollen natürlich sauber modellieren und können gespannt sein, ob
wir das gleiche herausbekommen.
Da maximal sieben Würfe stattfinden, können wir quasi auf Vorrat
sieben Zufallsvariablen bereithalten, die ich x0 bis x6 nenne und die
seien stochastisch unabhängig und jeweils auf den Werten von 1 bis 6
gleichverteilt.
Dabei modelliere x0 das Ergebnis des ersten Wurfs und für l von 1 bis
6 stehe xl für das Ergebnis des lten weiteren Wurfs.
Ein Grundraum, auf dem alle diese Zufallsvariablen definiert sind, ist
die Menge aller sieben Tupel, deren Komponenten jeweils eine der
Zahlen von 1 bis 6 sind.
Für jedes i von 0 bis 6 nimmt die Zufallsvariable xi für ein solches
Omega den Wert ai an.
Die Zufallsvariablen sind also das, was man die Koordinatenabbildungen
nennt.
Nehmen wir ein Laplace-Modell an, so sind diese Zufallsvariablen
stochastisch unabhängig und je gleichverteilt auf den Werten von 1 bis
6.
Die insgesamt gewürfelte Augensumme x können wir jetzt modellieren als
x0, das ist das Ergebnis des allerersten Wurfs, und jetzt kommt noch
die Augensumme aus x0 weiteren Würfen hinzu.
Und das ist diese Summe mit einem zufälligen oberen Summationsindex.
Elementweise auf dem Grundraum als Abbildung definiert, sieht das
Ganze dann so aus.
Den Erwartungswert von x erhalten wir, wenn wir in obiger Formel über
die iterierte Erwartungswertbildung z gleich x0 setzen.
Es ergibt sich dann diese Darstellung.
Die konstante Wahrscheinlichkeit von 1 Sechstel für die Realisierung
von x0 können wir vor die Summe ziehen und jetzt benötigen wir den
Erwartungswert von x unter der Bedingung, dass der erste Wurf die
Augenzahl j ergibt.
Unter dieser Bedingung haben wir aber j Augen aufgrund des ersten
Wurfs und jetzt gibt es noch j weitere Würfe und jeder dieser Würfe
liefert einen Erwartungswert der Augenzahl von 3,5.
Also kommt dieser Summand hinzu.
Wenn man jetzt rechnet, kommt der mithilfe von Stochastikgespür durch
Kopfrechnen ermittelte Wert heraus, wie es sein sollte.
Das zweite Beispiel betrifft das Warten auf den ersten Doppeltreffer.
Genauer sei x, die Anzahl unabhängiger Bernoulli-Versuche mit
Trefferwahrscheinlichkeit p bis erstmals direkt hintereinander zwei
Treffer auftreten.
Dabei wird natürlich vorausgesetzt, dass p größer als 0 ist.
Auch hier interessiert der Erwartungswert von x.
Bei den folgenden Überlegungen gehen wir davon aus, dass schon gezeigt
wurde, dass der Erwartungswert von x endlich ist, aber wie sieht
dieser Erwartungswert aus?
Man kann sich die Situation anhand eines Graphen veranschaulichen.
Das ist der sogenannte Startknoten und hier sind die Knoten 1 und
Doppel1.
Vor dem ersten Bernoulli-Versuch ist man im Startknoten und von dem
aus gelangt man mit Wahrscheinlichkeit p in den Knoten 1, man hat also
einen Treffer erzielt.
Von da aus kommt man zur Doppel1, wenn man noch einen Treffer landet.
Am Anfang kann aber auch eine Niete auftreten, was mit der
Wahrscheinlichkeit q gleich 1-p passiert und man verbleibt im
Startknoten, solange Nieten auftreten.
Ist man im Knoten 1 und erzielt eine Niete, was mit der
Wahrscheinlichkeit q passiert, so wird man in den Startknoten
zurückgeworfen.
Diesen Graphen mit drei Knoten und Übergangswahrscheinlichkeiten nennt
man den Zustandsgraphen beim Warten auf den ersten Doppeltreffer.
Strukturell haben wir es hier mit einer sogenannten Markov-Kette mit
drei Zuständen zu tun, wobei die Doppel1 ein absorbierender Zustand
ist, aus dem man nicht mehr herauskommt.
Der natürliche Grundraum für diesen stochastischen Vorgang ist eine
überabzählbare Menge, nämlich die Menge aller Folgen aus Nullen und
Einzen, aber ich hatte ja am Anfang gesagt, dass der zugrunde liegende
Wahrscheinlichkeitsraum diskret sein sollte.
Wir können den Grundraum als diese abzählbare Menge von Sequenzen
endlicher Länge aus Nullen und Einzen ansetzen.
Die Sequenz 1,1 steht für zweimal Treffer gleich zu Beginn, sodass wir
schon nach zwei Versuchen im absorbierenden Zustand sind, also die
Zufallsvariable x den Wert 2 annimmt.
Man sieht, dass bei jeder Sequenz nur am Ende eine Doppelte 1 steht.
Formal können wir die Menge Omega so ansetzen.
Es sind alle Sequenzen der Länge n, wobei n mindestens gleich 2 ist,
jedes aj entweder 0 oder 1 ist, für jedes j kleiner gleich n-2 das
Produkt aus aj und aj plus 1 gleich 0 ist, das heißt es dürfen nie
zwei Einzen hintereinander auftreten, aber an-1 und an müssen beide
gleich 1 sein.
Die Idee ist jetzt, dass wir eine Fallunterscheidung nach den
Ergebnissen der beiden ersten Bernoulli-Versuche vornehmen.
Hierzu sei a1 die Menge derjenigen Sequenzen, die mit einer 0
beginnen, das heißt der erste Versuch ergibt eine Niete.
Disjunkt dazu sei a2 die Menge derjenigen Sequenzen, für die a1 gleich
1 und a2 gleich 0 ist, das heißt einem Anfangstreffer folgt sofort
eine Niete.
Was übrig bleibt sind diejenigen Sequenzen, die am Anfang mit zwei
Treffern starten und das ist nur diese eine Sequenz aus zwei Einzen.
Die Mengen a1, a2 und a3 sind paarweise disjunkt und wenn man sie
vereinigt, erhält man alle Sequenzen.
Die Wahrscheinlichkeit von a1 ist gleich q, denn mit dieser
Wahrscheinlichkeit ergibt der erste Versuch eine Niete.
Da beim Ereignis a2 auf einen Treffer eine Niete folgt, ist p von a2
gleich p mal q und p von a3 ist gleich p².
Nach der Formel vom totalen Erwartungswert benötigen wir unter anderem
den bedingten Erwartungswert von x unter der Bedingung a1.
Wenn der erste Versuch einen Treffer ergibt, müssen wir diesen Versuch
natürlich zählen, deshalb diese 1.
Aber was kommt dazu?
Nach einer Niete sind wir wie zu Beginn im Startknoten und damit in
der Ausgangssituation.
Das heißt, der Erwartungswert der Anzahl der Versuche, die wir
benötigen, um den ersten Doppeltreffer zu erzielen, ist gleich dem
Erwartungswert von x.
Analog haben wir nach einem Treffer und einer Niete zwei vergebliche
Versuche gemacht, die wir zählen müssen und sind wieder im
Startknoten, also kommt wie oben dieser Summand hinzu.
Startet die Bernoulli-Folge jedoch mit zwei Treffern, so sind wir
schon nach zwei Versuchen fertig, sodass dieser bedingte
Erwartungswert gleich 2 ist.
Nach der Formel vom totalen Erwartungswert haben wir also diese
Gleichung.
Und aus der kann man den Erwartungswert von x ausrechnen und erhält
dieses Resultat.
Im wichtigsten Spezialfall p gleich 1 halb ergibt sich der Wert 6.
Man benötigt also bei einer fairen Münze im Durchschnitt sechs Würfe,
bis sie direkt zweimal hintereinander Zahl zeigt.
Ja, damit sind wir am Ende dieses Videos angekommen.
Ich bedanke mich ganz herzlich fürs Zuschauen und für Hinweise und
konstruktive Kritik bin ich wie immer dankbar.