WEBVTT 00:00.000 --> 00:03.940 Herzlich willkommen zu diesem Video über das schwache Gesetz großer 00:03.940 --> 00:04.440 Zahlen. 00:04.920 --> 00:09.220 Alles, was wir zu dessen Formulierung benötigen, ist eine Folge von 00:09.220 --> 00:12.700 Zufallsvariablen, die auf dem gleichen Wahrscheinlichkeitsraum 00:12.700 --> 00:13.560 definiert sind. 00:14.100 --> 00:18.560 Die Wortwahl schwaches Gesetz großer Zahlen schreit geradezu auch nach 00:18.560 --> 00:20.660 einem starken Gesetz großer Zahlen. 00:20.660 --> 00:26.360 Das gibt es auch und beide Gesetze machen Aussagen über die Folge der 00:26.360 --> 00:31.880 mit xn quer bezeichneten arithmetischen Mittel von x1 bis xn beim 00:31.880 --> 00:34.340 Grenzübergang n gegen unendlich. 00:35.040 --> 00:39.520 Wohltu und vage formuliert gibt es unter gewissen Voraussetzungen eine 00:39.520 --> 00:42.200 reelle Zahl µ, sodass folgendes gilt. 00:42.200 --> 00:46.740 Für jedes noch so kleine positive y konvergiert die 00:46.740 --> 00:52.040 Wahrscheinlichkeit, dass sich xn quer von µ betragsmäßig um mindestens 00:52.040 --> 00:57.020 y unterscheidet beim Grenzübergang n gegen unendlich gegen 0. 00:58.080 --> 01:02.420 Diese Aussage bedeutet definitionsgemäß, dass die Folge der 01:02.420 --> 01:05.540 arithmetischen Mittel stochastisch gegen µ konvergiert. 01:05.540 --> 01:10.460 Das ist das sogenannte schwache Gesetz großer Zahlen und das Adjektiv 01:10.460 --> 01:14.200 schwach bezieht sich gerade auf diese Konvergenzart, also 01:14.200 --> 01:15.680 stochastische Konvergenz. 01:16.360 --> 01:20.200 Man muss natürlich Voraussetzungen formulieren unter denen dieses 01:20.200 --> 01:23.060 schwache Gesetz gilt und das werden wir gleich machen. 01:23.060 --> 01:27.860 Es gibt aber auch gewisse Voraussetzungen unter denen für jedes noch 01:27.860 --> 01:32.720 so kleine positive y gilt, dass sogar die Wahrscheinlichkeit, dass das 01:32.720 --> 01:37.320 Supremum über alle k größer gleich n des Betrages der Abweichung 01:37.320 --> 01:42.880 zwischen xk quer und µ mindestens gleich y ist, für n gegen unendlich 01:42.880 --> 01:44.040 gegen 0 konvergiert. 01:44.040 --> 01:49.000 Diese Aussage ist stärker als die darüber stehende und sie gilt genau 01:49.000 --> 01:53.340 dann, wenn die Folge der arithmetischen Mittel fast sicher, also mit 01:53.340 --> 01:56.140 Wahrscheinlichkeit 1, gegen µ konvergiert. 01:56.480 --> 02:00.340 Ich habe hier bewusst rechts an dem Doppelpfeil keinen 02:00.340 --> 02:04.940 Definitionsdoppelpunkt gemacht, weil die fast sichere Konvergenz 02:04.940 --> 02:09.040 anders definiert wird, nämlich als punktweise Konvergenz der 02:09.040 --> 02:13.440 Realisierungen der arithmetischen Mittel auf einer Menge im zugrunde 02:13.440 --> 02:16.680 liegenden Wahrscheinlichkeitsraum, die die Wahrscheinlichkeit 1 02:16.680 --> 02:17.580 besitzt. 02:18.000 --> 02:21.200 Man nennt dieses Gesetz das starke Gesetz großer Zahlen. 02:21.940 --> 02:25.980 In diesem Video geht es um das schwache Gesetz und der folgende Satz 02:25.980 --> 02:29.060 gibt hinreichende Bedingungen für dessen Gültigkeit an. 02:29.060 --> 02:34.440 Liegt eine Folge stochastisch unabhängiger Zufallsvariablen vor, die 02:34.440 --> 02:39.380 den gleichen Erwartungswert µ und die gleiche Varianz besitzen, so 02:39.380 --> 02:42.140 gilt das schwache Gesetz großer Zahlen. 02:43.360 --> 02:46.420 Hierbei wird also nicht notwendig angenommen, dass die 02:46.420 --> 02:49.160 Zufallsvariablen dieselbe Verteilung besitzen. 02:49.640 --> 02:53.760 Wir fordern nur gleiche Erwartungswerte und gleiche Varianzen, wobei 02:53.760 --> 02:56.380 wir natürlich unterstellen, dass diese existieren. 02:56.380 --> 03:01.280 Der Beweis ist recht einfach und er wird zeigen, dass wir die 03:01.280 --> 03:03.720 Voraussetzungen erheblich abschwächen können. 03:04.320 --> 03:06.620 Sei hierzu y größer 0 beliebig. 03:07.200 --> 03:10.700 Der Erwartungswert von x entquer ist wegen der Linearität der 03:10.700 --> 03:14.260 Erwartungswertbildung gleich 1 durch n mal der Summe der 03:14.260 --> 03:19.140 Erwartungswerte der xj und da diese Erwartungswerte sämtlich gleich µ 03:19.140 --> 03:21.280 sind, gilt dieses Gleichheitszeichen. 03:21.280 --> 03:25.700 Damit steht aber hier die Wahrscheinlichkeit, dass sich eine 03:25.700 --> 03:30.580 Zufallsvariable von ihrem Erwartungswert betragsmäßig um mindestens y 03:30.580 --> 03:34.420 unterscheidet und nach der Chebyschow-Ungleichung ist diese 03:34.420 --> 03:38.120 Wahrscheinlichkeit höchstens gleich der Varianz von x entquer 03:38.120 --> 03:40.380 dividiert durch y². 03:41.160 --> 03:45.460 Nach Rechenregeln über die Varianz kann man den in x entquer 03:45.460 --> 03:51.080 steckenden Faktor 1 durch n quadratisch abspalten und so folgt dieses 03:51.080 --> 03:51.960 Gleichheitszeichen. 03:52.540 --> 03:56.980 Da die xj stochastisch unabhängig sind, ist die Varianz der Summe 03:56.980 --> 04:01.940 gleich Summe der Varianzen und da die alle gleich σ² sind, ist die 04:01.940 --> 04:07.760 Summe gleich n mal σ² und da links davon n² im Nenner steht, 04:08.500 --> 04:11.480 konvergiert diese obere Schanke für die links stehende 04:11.480 --> 04:13.000 Wahrscheinlichkeit gegen 0. 04:13.620 --> 04:18.080 Somit können wir den Beweis mit einem Quatert-Demonstrandum, was zu 04:18.080 --> 04:19.300 zeigen war, abschließen. 04:20.320 --> 04:23.240 Man sollte sich nach diesem Beweis Folgendes klar machen. 04:23.760 --> 04:27.500 Die Voraussetzung der stochastischen Unabhängigkeit kann erheblich 04:27.500 --> 04:28.460 abgeschwächt werden. 04:28.460 --> 04:33.060 Die Varianz einer Summe von Zufallsvariablen ist allgemein gleich der 04:33.060 --> 04:37.880 Summe der Varianzen plus die Summe der paarweisen Kovarianzen zwischen 04:37.880 --> 04:39.820 je zwei verschiedenen xj. 04:40.400 --> 04:44.500 Sind diese Kovarianzen gleich 0, sind die xj also paarweise 04:44.500 --> 04:48.020 unkorreliert, so bleibt die Aussage des Satzes gültig. 04:48.560 --> 04:52.120 Wir können aber auch die Voraussetzung der paarweisen Unkorreliertheit 04:52.120 --> 04:52.660 abschwächen. 04:52.660 --> 04:57.320 Entscheidend ist ja nur, dass die Varianz der Summe der xj nach 04:57.320 --> 05:00.280 Division durch n² gegen 0 konvertiert. 05:00.840 --> 05:06.200 So kann etwa für jedes K, jedes xj mit höchstens K anderen xi 05:06.200 --> 05:10.640 korreliert sein und man sieht auch, dass die Varianzen der xj gar 05:10.640 --> 05:12.100 nicht alle gleich sein müssen. 05:12.620 --> 05:16.480 Es reicht völlig aus, dass alle Varianzen eine gemeinsame obere 05:16.480 --> 05:17.460 Schanke besitzen. 05:17.460 --> 05:21.580 Das schwache Gesetz großer Zahlen gilt also unter schwachen 05:21.580 --> 05:26.000 Bedingungen und ich hebe auch das noch einmal hervor, wir haben nicht 05:26.000 --> 05:29.900 vorausgesetzt, dass die xj dieselbe Verteilung besitzen. 05:31.000 --> 05:35.280 Als Spezialfall ergibt sich das sogenannte schwache Gesetz großer 05:35.280 --> 05:36.980 Zahlen von Jakob Bernoulli. 05:37.440 --> 05:40.840 Das entsteht, wenn unabhängige Ereignisse mit gleicher 05:40.840 --> 05:45.600 Wahrscheinlichkeit vorliegen und die xj die Indikatorvariablen der aj 05:45.600 --> 05:46.000 sind. 05:46.000 --> 05:51.460 Diese Situation nennt man oft unabhängige Bernoulli-Versuche, wobei 05:51.460 --> 05:54.000 sich aj auf den jten Versuch bezieht. 05:54.600 --> 05:56.680 Deuten wir das Eintreten bzw. 05:56.960 --> 06:00.180 Nicht-Eintreten von aj als Treffer bzw. 06:00.540 --> 06:05.480 Niete im jten Versuch, so ist b, die von der Versuchsnummer 06:05.480 --> 06:09.440 unabhängige Trefferwahrscheinlichkeit und man kann das Gesetz großer 06:09.440 --> 06:10.920 Zahlen so formulieren. 06:10.920 --> 06:14.440 Für jedes noch so kleine y größer 0 konvergiert die 06:14.440 --> 06:18.940 Wahrscheinlichkeit, dass sich die zufällige relative Trefferhäufigkeit 06:18.940 --> 06:23.700 nach n Versuchen von der Trefferwahrscheinlichkeit p betragsmäßig um 06:23.700 --> 06:27.700 mindestens y unterscheidet für n gegen unendlich gegen 0. 06:28.540 --> 06:33.200 Dieses Resultat ist das Hauptergebnis der Post-Hum 1713 06:33.200 --> 06:38.760 veröffentlichten Ars Conjectandi, auf Deutsch der Kunst des Vermutens 06:38.760 --> 06:40.320 von Jakob Bernoulli. 06:40.820 --> 06:44.080 Dieses Werk ist das erste systematische Lehrbuch zur 06:44.080 --> 06:46.040 Wahrscheinlichkeitsrechnung. 06:46.040 --> 06:50.920 Obiges Gesetz ist auch für die Statistik wichtig, denn es besagt, dass 06:50.920 --> 06:54.920 man aus relativen Trefferhäufigkeiten in unabhängig voneinander unter 06:54.920 --> 06:58.580 gleichen Bedingungen durchgeführten Bernoulli-Versuchen eine 06:58.580 --> 07:02.280 unbekannte Trefferwahrscheinlichkeit sinnvoll schätzen kann. 07:03.420 --> 07:07.740 Das schwache Gesetz präzisiert auch unsere intuitive Vorstellung, dass 07:07.740 --> 07:12.260 der Erwartungswert eine gute Prognose für einen auf Dauer erhaltenen 07:12.260 --> 07:14.080 durchschnittlichen Wert sein sollte. 07:14.080 --> 07:18.520 Ich zeige diesbezüglich einmal einen Plot von simulierten und 07:18.520 --> 07:22.680 fortlaufend notierten arithmetischen Mitteln der Augenzahlen beim 07:22.680 --> 07:24.640 wiederholten Werfen eines Würfels. 07:25.700 --> 07:30.180 Dabei sind auf der horizontalen Achse die Anzahl n der Würfe und auf 07:30.180 --> 07:34.540 der vertikalen Achse die erhaltenen arithmetischen Mittel nach jeweils 07:34.540 --> 07:36.040 n Würfen aufgetragen. 07:37.240 --> 07:42.040 Insgesamt sind es 300 Würfe und ich habe in der Höhe 3,5 den 07:42.040 --> 07:46.100 theoretischen Erwartungswert aufgetragen, der für die zufällige 07:46.100 --> 07:50.040 Augenzahl zutrifft, wenn der Würfel als fair angenommen wird. 07:50.740 --> 07:55.520 Wir versehen jetzt noch das My mit einem kleinen Intervall der Breite 07:55.520 --> 07:56.240 2ε. 07:57.360 --> 08:01.980 Zunächst habe ich einen handelsüblichen Würfel 300 mal geworfen und 08:01.980 --> 08:03.800 dabei diesen Plot erhalten. 08:04.940 --> 08:09.680 Dann wurde das Ganze noch zweimal mithilfe von Pseudo-Zufallszahlen 08:09.680 --> 08:13.380 simuliert und dabei ergaben sich diese beiden Plots. 08:14.040 --> 08:16.360 Ich denke, die Ergebnisse sprechen für sich. 08:17.620 --> 08:21.420 Ich möchte für den Rest des Videos mathematischer werden und dem 08:21.420 --> 08:25.700 schwachen Gesetz großer Zahlen näher auf den Zahn fühlen, wenn wir 08:25.700 --> 08:29.860 annehmen, dass alle Zufallsvariablen nicht nur stochastisch unabhängig 08:29.860 --> 08:32.940 sind, sondern auch dieselbe Verteilung besitzen. 08:32.940 --> 08:37.700 In dieser Situation gilt das starke Gesetz großer Zahlen genau dann, 08:37.900 --> 08:42.400 wenn der Erwartungswert von x1 existiert und dann konvergiert die 08:42.400 --> 08:46.780 Folge der arithmetischen Mittel mit Wahrscheinlichkeit 1 gegen den 08:46.780 --> 08:47.640 Erwartungswert. 08:48.300 --> 08:52.600 Die Existenz des Erwartungswertes ist also notwendig und hinreichend 08:52.600 --> 08:55.480 für die Gültigkeit des starken Gesetzes großer Zahl. 08:55.480 --> 08:59.700 Bezüglich der Gültigkeit des schwachen Gesetzes gilt folgende 08:59.700 --> 09:05.080 Charakterisierung und das Akronym UIV-Fall bedeutet gerade, dass die 09:05.080 --> 09:09.420 xj als stochastisch unabhängig und identisch verteilt angenommen 09:09.420 --> 09:09.720 werden. 09:10.400 --> 09:14.840 Dann gilt, die Folge der arithmetischen Mittel konvergiert genau dann 09:14.840 --> 09:18.860 stochastisch gegen den Wert µ, wenn zwei Bedingungen erfüllt sind. 09:19.280 --> 09:22.820 Beide Bedingungen gelten übrigens, wenn der Erwartungswert von x1 09:22.820 --> 09:27.360 existiert und gleich µ ist, aber dann gilt ja sogar das starke Gesetz 09:27.360 --> 09:28.100 großer Zahl. 09:28.480 --> 09:32.360 Die beiden Bedingungen, die jetzt kommen, sind also schwächer als die 09:32.360 --> 09:34.460 Existenz des Erwartungswertes. 09:35.020 --> 09:39.340 Die erste Bedingung besagt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass sich x1 09:39.340 --> 09:43.880 von µ betragsmäßig um mindestens n unterscheidet und die ja für n 09:43.880 --> 09:48.700 gegen unendlich gegen 0 konvergiert, so schnell konvergiert, dass 09:48.700 --> 09:53.200 selbst nach Multiplikation mit n noch Konvergenz gegen 0 vorliegt. 09:54.140 --> 09:57.640 Die zweite Bedingung betrifft einen Erwartungswert. 09:57.980 --> 10:01.340 Und da wir nicht voraussetzen, dass der Erwartungswert von x1 10:01.340 --> 10:05.760 existiert, ist natürlich spannend, welcher Erwartungswert hier gegen 10:05.760 --> 10:07.040 was konvergieren soll. 10:07.600 --> 10:12.440 Es ist der Erwartungswert dieser Zufallsvariablen und der soll gegen 0 10:12.440 --> 10:13.100 konvergieren. 10:13.960 --> 10:17.600 Dieser Erwartungswert existiert wegen der Indikatorfunktion. 10:17.600 --> 10:22.440 Diese ist genau dann von 0 verschieden und dann automatisch gleich 1, 10:22.800 --> 10:26.960 wenn x1 minus µ dem Betrage nach kleiner als n ist. 10:27.560 --> 10:31.480 Wir haben es hier also mit einer beschränkten Zufallsvariablen zu tun, 10:31.800 --> 10:36.360 die nur Werte im offenen Intervall von minus n bis plus n annimmt. 10:37.360 --> 10:41.560 Der Rest des Vortrags dient dem Beweis der interessanten Richtung, 10:42.120 --> 10:46.080 dass aus diesen beiden Bedingungen das schwache Gesetz großer Zahlen 10:46.080 --> 10:46.520 folgt. 10:46.520 --> 10:50.360 Jetzt wird es also etwas technisch und alle, die das nicht mehr 10:50.360 --> 10:52.580 interessiert, seien gerne verabschiedet. 10:53.400 --> 10:56.940 Die erste Überlegung ist die, dass wir ohne Beschränkung der 10:56.940 --> 11:01.100 Allgemeinheit µ gleich 0 annehmen können, denn beide Bedingungen 11:01.100 --> 11:04.680 betreffen die Zufallsvariable x1 minus µ. 11:05.780 --> 11:10.100 Ich kürze im Folgen die Summe der ersten xj mit Sn ab. 11:10.100 --> 11:15.400 Die entscheidende Beweisidee besteht jetzt darin, eine Zufallsgröße 11:15.400 --> 11:21.940 xnj einzuführen, die viel mit xj zu tun hat, denn es ist xj mal die 11:21.940 --> 11:26.580 Indikatorfunktion, dass xj dem Betrage nach kleiner als n ist. 11:27.480 --> 11:32.900 xnj ist also gleich xj, falls der Indikator gleich 1 ist, und wenn xnj 11:32.900 --> 11:38.040 dem Betrage nach größer gleich n ist, ist xnj gleich 0 gesetzt. 11:38.040 --> 11:41.400 Diese Bildung nennt man Stutzung von xj. 11:41.900 --> 11:46.080 Die ersten n Zufallsvariablen werden also dem Betrage nach in der Höhe 11:46.080 --> 11:47.420 n gestutzt. 11:48.240 --> 11:52.220 Hierdurch erhält man beschränkte Zufallsvariablen, von denen man sich 11:52.220 --> 11:56.040 erhofft, dass sie x1 bis xn gut approximieren. 11:57.240 --> 12:01.200 Diese Bildung können wir für jedes n und für jedes j mit j kleiner 12:01.200 --> 12:02.280 gleich n vornehmen. 12:02.280 --> 12:06.280 Man beachte auch, dass für jedes n größer gleich 2 die 12:06.280 --> 12:11.740 Zufallsvariablen xn1 bis xnn stochastisch unabhängig und identisch 12:11.740 --> 12:12.460 verteilt sind. 12:13.360 --> 12:17.880 Die Summe von xn1 bis xnn kürze ich mit snn ab. 12:18.540 --> 12:22.000 Die farbige Markierung dient später dem besseren Wiederauffinden. 12:22.820 --> 12:26.940 Wir müssen zeigen, dass für beliebiges positives y die 12:26.940 --> 12:32.160 Wahrscheinlichkeit, dass 1 durch n mal sn Betrag größer gleich y ist, 12:32.420 --> 12:34.860 für n gegen unendlich gegen 0 konvergiert. 12:35.800 --> 12:40.140 Man beachte hierzu, dass sn durch n gleich dem arithmetischen Mittel 12:40.140 --> 12:41.460 xn quer ist. 12:42.100 --> 12:48.380 Ein Trick besteht jetzt darin, dass wir sn durch n in dieser Form 12:48.380 --> 12:54.340 schreiben, dass wir zunächst snn subtrahieren, dann wieder addieren, 12:54.340 --> 12:59.620 jetzt den Erwartungswert von snn abziehen und zu guter Letzt wieder 12:59.620 --> 13:01.480 addieren, damit alles stimmt. 13:02.500 --> 13:05.420 Wir sehen uns zunächst den Term ganz rechts an. 13:06.380 --> 13:10.640 Nach Definition von snn und der Additivität der Erwartungswertbildung 13:10.640 --> 13:15.980 sowie aus Symmetriegründen ist dieser Quotient gleich diesem Ausdruck 13:15.980 --> 13:21.340 und damit nach Definition von xn1 gleich diesem Erwartungswert. 13:21.340 --> 13:26.540 Der konvergiert aber nach Bedingung 2 für n gegen unendlich gegen 0. 13:27.720 --> 13:31.520 Das heißt aber für hinreichend großes n, sagen wir für jedes n größer 13:31.520 --> 13:36.260 gleich einem n0, ist der dritte Summand hier auf der rechten Seite 13:36.260 --> 13:39.380 betragsmäßig kleiner als epsilon Drittel. 13:40.500 --> 13:46.220 Wenn aber für solche n die linke Seite hier, also 1 durch n mal sn, 13:46.220 --> 13:51.080 betragsmäßig größer gleich epsilon sein soll, so muss nach der 13:51.080 --> 13:55.540 Dreiecksungleichung mindestens einer der beiden ersten Summanden auf 13:55.540 --> 13:58.880 der rechten Seite größer gleich epsilon Drittel sein. 13:59.480 --> 14:03.680 Wir können also für jedes n größer gleich n0 die Wahrscheinlichkeit 14:03.680 --> 14:08.400 des uns interessierenden Ereignisses durch die Summe dieser beiden 14:08.400 --> 14:10.820 Wahrscheinlichkeiten nach oben abschätzen. 14:10.820 --> 14:15.140 Dabei habe ich beim zweiten Summanden beide Seiten der Ungleichung mit 14:15.140 --> 14:16.320 n multipliziert. 14:16.980 --> 14:20.880 Wir sehen uns jetzt diese beiden Summanden genauer an. 14:22.040 --> 14:26.900 Das erste Ereignis kann nur eintreten, wenn sn und snn verschieden 14:26.900 --> 14:27.760 voneinander sind. 14:28.680 --> 14:35.540 Das geht aber nur, wenn für mindestens ein j von 1 bis n xj und xnj 14:35.540 --> 14:37.100 verschieden voneinander sind. 14:37.100 --> 14:42.160 Und das geht wiederum nur, wenn xj dem Betrage nach größer gleich n 14:42.160 --> 14:42.540 ist. 14:43.360 --> 14:47.840 Da die Wahrscheinlichkeit dafür nicht von j abhängt, besitzt der erste 14:47.840 --> 14:53.120 Summand diese obere Schranke und die konvergiert nach Bedingung 1 für 14:53.120 --> 14:54.800 n gegen unendlich gegen 0. 14:56.120 --> 14:59.860 Die zweite Wahrscheinlichkeit können wir mithilfe der Chebyschow 14:59.860 --> 15:01.720 -Ungleichung nach oben abschätzen. 15:01.720 --> 15:06.940 Wir erhalten als obere Schranke also 1 dividiert durch das Quadrat von 15:06.940 --> 15:09.660 n mal y Drittel mal... 15:09.660 --> 15:12.420 und jetzt kommt die Varianz von snn. 15:13.700 --> 15:18.580 Da snn, das im blauen Kästchen zu sehen ist, eine Summe von n 15:18.580 --> 15:22.860 unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen ist, ist die 15:22.860 --> 15:28.160 Varianz von snn gleich n mal die Varianz von xn1. 15:28.160 --> 15:33.860 Und die Varianz von xn1 können wir durch den Erwartungswert von xn1² 15:33.860 --> 15:35.520 nach oben abschätzen. 15:36.040 --> 15:38.940 Das heißt, die obere Schranke wird hierdurch komplettiert. 15:39.960 --> 15:46.380 Da hier n² steht, müssen wir also nur noch zeigen, dass 1 durch n mal 15:46.380 --> 15:50.200 der Erwartungswert von xn1² gegen 0 konvergiert. 15:51.040 --> 15:55.660 Ich nehme dazu noch einmal kurz auf, wie xn1 definiert ist. 15:55.660 --> 16:01.140 Und da der Indikator nur die Werte 0 und 1 annehmen kann, sieht das 16:01.140 --> 16:04.120 Quadrat von xn1 so aus. 16:05.520 --> 16:08.960 Wir benötigen gleich noch ein Resultat aus der Analysis. 16:09.740 --> 16:14.500 Ist an eine Folge, die gegen 0 konvergiert, so konvergiert auch die 16:14.500 --> 16:16.620 Folge der arithmetischen Mittel gegen 0. 16:17.100 --> 16:21.680 Wir werden dieses Resultat später auf diese Folge anwenden, von der 16:21.680 --> 16:23.600 wir wissen, dass sie gegen 0 geht. 16:24.420 --> 16:30.520 Den Erwartungswert von xn1² können wir als Erwartungswert dieser Summe 16:30.520 --> 16:31.020 schreiben. 16:32.300 --> 16:37.340 Dabei haben wir einfach das Ereignis hier oben, dass x1-betrag kleiner 16:37.340 --> 16:43.000 als n ist, in die für l von 1 bis n paarweise disjunkten Ereignisse, 16:43.260 --> 16:49.340 dass x1-betrag kleiner als l und größer gleich l-1 ist, aufgespalten. 16:49.340 --> 16:53.860 Wir schätzen jetzt nach oben ab, indem wir zunächst die Summe nach 16:53.860 --> 16:59.480 vorne ziehen und jetzt ausnutzen, dass x1² auf dem zum Indikator 16:59.480 --> 17:03.060 gehörenden Ereignis kleiner als l² ist. 17:03.840 --> 17:07.680 Was übrig bleibt, ist der Erwartungswert des Indikators und damit 17:07.680 --> 17:09.120 diese Wahrscheinlichkeit. 17:10.120 --> 17:14.420 Für die nächste Abschätzung nach oben lassen wir die Summe über l und 17:14.420 --> 17:18.500 jetzt schätzen wir l² durch diesen Term nach oben ab. 17:18.940 --> 17:24.440 Denn die Summe über i von 1 bis l ist ja l mal l plus 1 halbe. 17:25.460 --> 17:27.280 Die Wahrscheinlichkeit lassen wir stehen. 17:28.060 --> 17:30.220 Die 2 ziehen wir erstmal nach vorne. 17:31.140 --> 17:35.860 Die Doppelsumme läuft über alle i und l von 1 bis n mit i kleiner 17:35.860 --> 17:36.480 gleich l. 17:37.380 --> 17:42.900 Äquivalent dazu ist, i von 1 bis n laufen zu lassen und dann l von i 17:42.900 --> 17:43.440 bis n. 17:44.800 --> 17:50.420 Das i hier ziehen wir vor die Summe über l und summiert werden diese 17:50.420 --> 17:51.500 Wahrscheinlichkeiten. 17:52.540 --> 17:56.040 Die Ereignisse, deren Wahrscheinlichkeiten hier addiert werden, sind 17:56.040 --> 18:00.760 paarweise disjunkt und ihre Vereinigung ist das Ereignis, dass x1 18:00.760 --> 18:05.560 -betrag größer gleich i-1 und kleiner als n ist. 18:05.560 --> 18:11.140 Lassen wir die Bedingung kleiner als n weg, so ergibt sich diese obere 18:11.140 --> 18:11.700 Schranke. 18:13.520 --> 18:17.980 Teilen wir jetzt durch n, so folgt diese Ungleichung. 18:19.820 --> 18:25.280 Nach Voraussetzung 1 konvergiert die Folge i mal p von x1-betrag 18:25.280 --> 18:27.560 größer gleich i-1 gegen 0. 18:28.960 --> 18:34.480 Hier oben steht zwar für i gleich n, i mal p von x1-betrag größer 18:34.480 --> 18:40.200 gleich i, aber ob eines der beiden i durch i-1 ersetzt wird, spielt 18:40.200 --> 18:40.920 keine Rolle. 18:42.020 --> 18:46.280 Aus Bedingung 1 und dem Satz aus der Analyse folgt dann die 18:46.280 --> 18:46.860 Behauptung. 18:48.700 --> 18:51.820 Damit wären wir am Ende dieses Videos angelangt. 18:51.820 --> 18:56.480 Ich bedanke mich ganz herzlich fürs Anschauen und für Hinweise und 18:56.480 --> 18:59.080 konstruktive Kritik bin ich wie immer dankbar.