WEBVTT 00:00.000 --> 00:03.660 Herzlich willkommen zu diesem Video über Verteilungen und 00:03.660 --> 00:04.960 Verteilungsfunktionen. 00:05.440 --> 00:09.760 Es wendet sich insbesondere an Studierende der Mathematik, könnte aber 00:09.760 --> 00:14.160 auch für Mathematiklehrkräfte an Gymnasien interessant sein, weil 00:14.160 --> 00:16.000 verschiedene Begriffe geklärt werden. 00:16.720 --> 00:20.920 Hierzu gehören die Begriffe Verteilung und Verteilungsfunktion, aber 00:20.920 --> 00:25.480 auch die Konzepte einer diskreten, einer absolut stetigen und einer 00:25.480 --> 00:29.080 singulären Verteilung und zu guter Letzt die Begriffe 00:29.080 --> 00:32.580 Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion oder kurz 00:32.580 --> 00:35.640 Wahrscheinlichkeitsfunktion und Dichtefunktion. 00:36.300 --> 00:39.920 Für dieses Video wird vorausgesetzt, dass man weiß, was ein 00:39.920 --> 00:41.320 Wahrscheinlichkeitsraum ist. 00:41.880 --> 00:45.700 Das heißt, solch ein Tripel mit einer nicht leeren Menge Omega dem 00:45.700 --> 00:49.440 Grundraum einer Sigma-Algebra a über Omega und einem 00:49.440 --> 00:53.660 Wahrscheinlichkeitsmaß auf dieser Sigma-Algebra ist einem nicht fremd 00:53.660 --> 00:57.580 und man sollte die Sigma-Algebra der Borellmengen über R kennen. 00:58.400 --> 01:02.080 Auch der Begriff reelle Zufallsvariable sollte kein Fremdwort sein. 01:02.680 --> 01:07.340 In diesem Video steht Groß X für eine solche Zufallsvariable, also 01:07.340 --> 01:12.160 eine reellwertige Abbildung auf Omega mit der Eigenschaft, dass für 01:12.160 --> 01:16.660 jede reelle Zahl t die Menge aller Elemente klein Omega im Grundraum, 01:16.660 --> 01:21.740 für die x von Omega kleiner gleich t ist, zur Sigma-Algebra a gehört. 01:22.860 --> 01:27.460 Das ist die sogenannte Messbarkeitsbedingung von x und aus der folgt 01:27.460 --> 01:31.900 mit Techniken der Maßtheorie, dass sogar für jede Borellmenge b das 01:31.900 --> 01:37.220 Urbild von b unter x, also diese Menge, zur Sigma-Algebra a gehört. 01:38.520 --> 01:42.120 Mit diesen Vorbetrachtungen können wir auch schon definieren, was die 01:42.120 --> 01:43.520 Verteilung von x ist. 01:43.520 --> 01:48.940 Es ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß, das mit p und einem hochgestellten 01:48.940 --> 01:53.380 x bezeichnet wird und jeder Borellmenge b die Wahrscheinlichkeit des 01:53.380 --> 01:58.660 Urbildes von b, also die Wahrscheinlichkeit dieser Menge, zuordnet. 01:59.460 --> 02:03.260 In dieser Definition steckt die Behauptung, dass wirklich ein 02:03.260 --> 02:07.180 Wahrscheinlichkeitsmaß vorliegt und das liegt entscheidend daran, dass 02:07.180 --> 02:11.200 Urbilder paarweise disjunkter Mengen ebenfalls paarweise disjunkt 02:11.200 --> 02:11.440 sind. 02:11.440 --> 02:16.820 Man schreibt gerne auch p von x Element b und liest das als 02:16.820 --> 02:20.640 Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen Wert in der Menge b 02:20.640 --> 02:21.140 annimmt. 02:22.380 --> 02:26.240 Die Verteilung von x ist also ein Wahrscheinlichkeitsmaß. 02:26.960 --> 02:31.620 Diese Verteilung ist aber schon eindeutig bestimmt dadurch, dass man 02:31.620 --> 02:35.200 für jede reelle Zahl t die Werte kennt, die dieses 02:35.200 --> 02:39.060 Wahrscheinlichkeitsmaß für das nach links unbeschränkte abgeschlossene 02:39.060 --> 02:42.180 Intervall mit rechtem Endpunkt t annimmt. 02:42.900 --> 02:47.320 Dieses Resultat folgt aus dem sogenannten Eindeutigkeitssatz für Maße. 02:48.400 --> 02:52.080 Mit dieser Erkenntnis drängt sich der Begriff der Verteilungsfunktion 02:52.080 --> 02:53.020 geradezu auf. 02:53.020 --> 02:58.840 Für jede reelle Zahl t definiert man F von t als Wahrscheinlichkeit, 02:59.200 --> 03:03.160 dass die Zufallsvariable einen Wert kleiner oder gleich t annimmt, 03:03.420 --> 03:06.000 also als diese Wahrscheinlichkeit. 03:07.040 --> 03:12.160 Dann ist f eine Funktion, die auf ganz r definiert ist und Werte im 03:12.160 --> 03:16.380 Einheitsintervall annimmt und diese Funktion heißt Verteilungsfunktion 03:16.380 --> 03:20.920 von x oder ausführlicher kumulative Verteilungsfunktion von x. 03:20.920 --> 03:24.240 Den Zusatz kumulativ erkläre ich gleich. 03:25.400 --> 03:29.000 Wir wollen uns zunächst einige Eigenschaften ansehen, die jede 03:29.000 --> 03:33.480 Verteilungsfunktion besitzt und dazu nehme ich die Definition auf die 03:33.480 --> 03:34.420 nächste Folie. 03:35.320 --> 03:40.460 Für die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariable gilt, zunächst ist f 03:40.460 --> 03:45.080 monoton wachsend, das heißt aus s kleiner gleich t folgt f von s 03:45.080 --> 03:46.440 kleiner gleich f von t. 03:46.440 --> 03:50.180 Diese Eigenschaft ergibt sich unmittelbar aus der Monotonie der 03:50.180 --> 03:54.160 Verteilung als Wahrscheinlichkeitsmaß, denn aus dem Ereignis x kleiner 03:54.160 --> 03:57.400 gleich s folgt das Ereignis x kleiner gleich t. 03:58.080 --> 04:01.500 Die zweite Eigenschaft ist die rechtzeitige Stetigkeit. 04:02.200 --> 04:06.740 Das heißt für jedes t und jede Folge tn, die monoton fallend von 04:06.740 --> 04:10.960 rechts gegen t konvergiert, konvergieren auch die Funktionswerte f von 04:10.960 --> 04:13.680 tn monoton fallend gegen f von t. 04:13.680 --> 04:17.560 Ich sage gleich noch was dazu, wie man diese Eigenschaft sowie die 04:17.560 --> 04:18.900 noch folgenden beweist. 04:19.760 --> 04:24.540 Die nächste Eigenschaft formuliere ich plakativ als f kommt von 0 und 04:24.540 --> 04:25.520 geht nach 1. 04:26.180 --> 04:31.060 Dies bedeutet, dass f von t für t gegen minusunendlich gegen 0 und für 04:31.060 --> 04:33.620 t gegen unendlich gegen 1 konvergiert. 04:34.860 --> 04:39.500 Eigenschaft d besagt, dass für beliebige reelle Zahlen a und b mit a 04:39.500 --> 04:44.540 kleiner als b die Wahrscheinlichkeit, dass x größer als a und kleiner 04:44.540 --> 04:49.280 gleich b ist, gleich der Differenz f von b minus f von a ist. 04:50.280 --> 04:52.780 Die letzte Eigenschaft ist ebenfalls wichtig. 04:52.780 --> 04:57.100 Für jedes t ist die Wahrscheinlichkeit, dass x den Wert t annimmt, 04:57.500 --> 05:00.720 gleich f von t minus f von t minus. 05:01.360 --> 05:06.040 Und f von t minus ist der linkseitige Grenzwert von f an der Stelle t. 05:06.740 --> 05:10.300 Hier lässt man also monoton wachsende Folgen von links gegen t 05:10.300 --> 05:14.040 konvergieren, wobei jedes Folgenglied kleiner als t ist. 05:15.460 --> 05:18.940 Alle Eigenschaften ergeben sich aus Eigenschaften der Verteilung als 05:18.940 --> 05:20.040 Wahrscheinlichkeitsmaß. 05:20.040 --> 05:25.320 Zum Nachweis von b beachte man, dass dieses Intervall der Durchschnitt 05:25.320 --> 05:28.100 einer monoton fallenden Folge von Mengen ist. 05:28.660 --> 05:31.740 Die Behauptung ergibt sich dann, weil ein Wahrscheinlichkeitsmaß 05:31.740 --> 05:33.200 stetig von oben ist. 05:33.940 --> 05:38.160 Um c zu zeigen, greifen Widerstätigkeitseigenschaften eines 05:38.160 --> 05:39.400 Wahrscheinlichkeitsmaßes. 05:39.400 --> 05:44.300 Ist tn eine Folge, die monoton fallend gegen minus-unendlich 05:44.300 --> 05:49.640 divergiert, so liegt eine absteigende Folge von Intervallen vor, die 05:49.640 --> 05:53.460 gegen die leere Menge konvergiert und da die leere Menge das 05:53.460 --> 05:57.620 Wahrscheinlichkeitsmaß 0 besitzt, folgt das f von 0 kommt. 05:58.500 --> 06:02.820 Divergiert die Folge tn monoton gegen unendlich, so gilt diese 06:02.820 --> 06:06.420 Gleichung und jetzt kommt die Stetigkeit von unten eines 06:06.420 --> 06:08.200 Wahrscheinlichkeitsmaßes zum Tragen. 06:08.200 --> 06:11.280 Was bedeutet, dass f nach 1 geht? 06:12.600 --> 06:17.700 Eigenschaft d ergibt sich aus der Zerlegung dieses Intervalls in diese 06:17.700 --> 06:21.320 beiden disjunkten Intervalle und der Additivität eines 06:21.320 --> 06:25.320 Wahrscheinlichkeitsmaßes und die letzte Eigenschaft erhält man wie 06:25.320 --> 06:26.200 folgt. 06:26.980 --> 06:32.340 Ist s1, s2 und so weiter eine monoton wachsende Folge von Zahlen 06:32.340 --> 06:37.820 kleiner als t, die gegen t konvergiert, so ist die Vereinigung dieser 06:37.820 --> 06:41.740 aufsteigenden Intervalle gleich dem offenen Intervall von 06:41.740 --> 06:42.980 minusunendlich bis t. 06:43.800 --> 06:47.120 Das heißt, der Punkt t ist nicht erfasst, was ich farblich 06:47.120 --> 06:48.160 hervorgehoben habe. 06:49.020 --> 06:52.600 Wegen der Stetigkeit von unten eines Wahrscheinlichkeitsmaßes ist also 06:52.600 --> 06:56.500 der linksseitige Grenzwert von f an der Stelle t gleich der 06:56.500 --> 07:00.400 Wahrscheinlichkeit für dieses offene Intervall, woraus die Behauptung 07:00.400 --> 07:00.860 folgt. 07:01.720 --> 07:05.260 Der folgende Plot macht Eigenschaften der Verteilungsfunktion 07:05.260 --> 07:05.800 sichtbar. 07:06.460 --> 07:09.900 Horizontal sei t und nach oben f von t aufgetragen. 07:10.440 --> 07:14.940 Hier sei die Höhe 1 und f kann von 0 kommend unter Umständen streng 07:14.940 --> 07:19.380 monoton wachsend und differenzierbar sein, dann könnte ein Knick 07:19.380 --> 07:24.200 vorliegen und f könnte auf einem Intervall konstant sein und an dieser 07:24.200 --> 07:27.980 mit t0 bezeichneten Stelle könnte eine Unstetigkeit vorliegen. 07:27.980 --> 07:32.740 Wegen der Monotonie kann das nur ein Sprung nach oben sein und danach 07:32.740 --> 07:35.180 könnte f streng monoton nach 1 gehen. 07:36.060 --> 07:39.500 Ich mache deutlich, dass wegen der rechtseitigen Stetigkeit der 07:39.500 --> 07:43.780 Funktionswert an der Stelle t0 am oberen Ende des Sprungintervalls 07:43.780 --> 07:44.660 angenommen wird. 07:45.180 --> 07:49.380 Das heißt, hier lesen wir f von t0 auf der vertikalen Achse ab. 07:50.220 --> 07:54.040 Die Eigenschaften der Monotonie und der rechtseitigen Stetigkeit sowie 07:54.040 --> 07:59.220 die Tatsache, dass f von 0 kommt und nach 1 geht, haben aus Sicht der 07:59.220 --> 08:02.200 Theorie reeller Funktionen nichts mit Stochastik zu tun. 08:02.760 --> 08:05.340 Insofern ist folgender Sachverhalt interessant. 08:06.000 --> 08:10.760 Zu jeder Funktion f mit den Eigenschaften a bis c, das waren die eben 08:10.760 --> 08:15.500 genannten, gibt es eine zufallsvariable x, sodass f die 08:15.500 --> 08:17.440 Verteilungsfunktion von x ist. 08:17.440 --> 08:21.840 Der Beweis ergibt sich unmittelbar aus einem Satz der Maßtheorie. 08:22.600 --> 08:28.220 Sind a und b beliebige Zahlen mit a kleiner als b, so definieren wir 08:28.220 --> 08:33.520 eine Funktion q auf dem halboffenen Intervall von a bis b als f von b 08:33.520 --> 08:34.960 minus f von a. 08:35.760 --> 08:40.540 Der Maßfortsetzungssatz oder Maßerweiterungssatz liefert dann, dass 08:40.540 --> 08:44.420 man die zunächst nur auf dem System aller halboffenen Intervalle 08:44.420 --> 08:49.780 definierte Funktion q auf genau eine Weise zu einem ebenfalls mit q 08:49.780 --> 08:53.780 bezeichneten Maß auf der Sigma-Algebra der Borellmengen fortsetzen 08:53.780 --> 08:54.060 kann. 08:55.480 --> 08:59.280 Definiert man den Grundraum Omega und die Sigma-Algebra a in dieser 08:59.280 --> 09:04.340 Weise und setzt man p gleich q und x als identische Abbildung auf 09:04.340 --> 09:08.720 Omega, so ist f in der Tat die Verteilungsfunktion von x. 09:09.240 --> 09:12.240 Man nennt diese Konstruktion das kanonische Modell. 09:13.600 --> 09:17.640 Wir kommen jetzt zu einer wichtigen Definition und das ist die einer 09:17.640 --> 09:18.980 diskreten Verteilung. 09:19.560 --> 09:23.640 Man nennt eine Zufallsvariable x diskret verteilt oder nur kurz 09:23.640 --> 09:28.360 diskret, falls es eine abzählbare Teilmenge der reellen Zahlen gibt, 09:28.800 --> 09:33.020 so dass x mit Wahrscheinlichkeit 1 Werte in dieser mit b bezeichneten 09:33.020 --> 09:33.860 Menge annimmt. 09:34.660 --> 09:38.500 In diesem Fall heißen sowohl die Verteilung von x als auch die 09:38.500 --> 09:40.620 Verteilungsfunktion von x diskret. 09:42.380 --> 09:47.160 Abzählbar heißt, dass die Menge b entweder endlich oder abzählbar 09:47.160 --> 09:48.000 unendlich ist. 09:48.480 --> 09:53.060 Im zweiten Fall lässt sie sich bijektiv, also ein-eindeutig, auf die 09:53.060 --> 09:54.860 Menge aller natürlichen Zahlen abbilden. 09:55.960 --> 10:00.160 Die Menge b könnte also etwa die Menge der rationalen Zahlen sein und 10:00.160 --> 10:02.620 damit in der Menge der reellen Zahlen dicht liegen. 10:03.360 --> 10:07.000 Man sollte also mit dem Konzept einer diskreten Verteilung keine 10:07.000 --> 10:08.780 isolierten Zahlenwerte assoziieren. 10:11.560 --> 10:15.620 Beispiele für diskrete Verteilung sind die Binomialverteilung, die 10:15.620 --> 10:19.660 hypergeometrische Verteilung, die Poisson-Verteilung, die geometrische 10:19.660 --> 10:23.040 Verteilung, die negative Binomialverteilung, die diskrete 10:23.040 --> 10:25.640 Gleichverteilung auf einer endlichen Menge usw. 10:26.560 --> 10:30.120 Diese Verteilung muss man nicht alle kennen, sie deuten aber die 10:30.120 --> 10:32.380 Wichtigkeit diskreter Verteilung an. 10:33.180 --> 10:37.200 Ein Beispiel sehen wir uns mal genauer an, und zwar, dass X nicht 10:37.200 --> 10:40.840 negative ganze Zahlen mit diesen Wahrscheinlichkeiten annimmt. 10:42.120 --> 10:45.620 Das ist das Beispiel der geometrischen Verteilung mit p gleich ein 10:45.620 --> 10:45.940 Viertel. 10:46.540 --> 10:49.900 Diese Verteilung modelliert die Anzahl der Nieten vor dem ersten 10:49.900 --> 10:54.220 Treffer in einer Folge unabhängiger Bernoulli-Versuche mit gleicher 10:54.220 --> 10:55.760 Trefferwahrscheinlichkeit ein Viertel. 10:56.760 --> 10:59.000 Wie sieht die Verteilungsfunktion von X aus? 10:59.000 --> 11:03.380 In einem Koordinatensystem sieht man auf der horizontalen Achse die 11:03.380 --> 11:06.420 nicht -negativen Zahlen 0, 1, 2 usw. 11:06.980 --> 11:10.100 und auf der vertikalen Achse Zahlen zwischen 0 und 1. 11:10.760 --> 11:14.060 Auf dieser Achse werden die Werte der Verteilungsfunktion aufgetragen. 11:15.540 --> 11:18.420 Da X nur die Werte 0, 1, 2 usw. 11:18.520 --> 11:23.620 annehmen kann, ist für jedes t kleiner als 0 der Wert f von t der 11:23.620 --> 11:27.140 Verteilungsfunktion gleich 0, was sich durch diesen kleinen 11:27.140 --> 11:31.180 Farbwechsel von schwarz zu blau hier unten andeute. 11:32.320 --> 11:36.560 An der Stelle 0 springt die Verteilungsfunktion, da f von 0 gleich der 11:36.560 --> 11:40.140 Wahrscheinlichkeit ist, dass X einen Wert kleiner oder gleich 0 11:40.140 --> 11:44.400 annimmt und dieser Wert ist die Wahrscheinlichkeit, dass X den Wert 0 11:44.400 --> 11:46.640 annimmt, also gleich ein Viertel. 11:47.260 --> 11:49.600 Ich deute das durch diesen kleinen Kreis an. 11:49.600 --> 11:54.040 Bis direkt vor dem Abscissenwert 1 bleibt die Verteilungsfunktion 11:54.040 --> 11:58.640 konstant und an der Stelle 1 erfolgt der nächste Sprung und die 11:58.640 --> 12:02.220 Sprunghöhe ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass X den Wert 1 12:02.220 --> 12:05.800 annimmt, also gleich 3 Viertel mal ein Viertel. 12:06.120 --> 12:09.940 Bis direkt vor die Stelle 2 bleibt dann f wieder konstant und so geht 12:09.940 --> 12:10.440 es weiter. 12:11.320 --> 12:15.560 Da f von t anschaulich gesprochen die bis zur Stelle t aufgehäuften, 12:15.820 --> 12:20.660 also kumulierten Sprunghöhen angibt, wird eine Verteilungsfunktion oft 12:20.660 --> 12:24.420 auch als kumulative Verteilungsfunktion bezeichnet. 12:25.240 --> 12:28.700 Im Zusammenhang mit diskreten Verteilungen ist auch der Begriff 12:28.700 --> 12:32.580 Wahrscheinlichkeitsfunktion oder Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion 12:32.580 --> 12:33.000 wichtig. 12:33.760 --> 12:37.080 Nimmt die Zufallsgröße X mit Wahrscheinlichkeit 1 Werte in der 12:37.080 --> 12:41.260 abzählbaren Menge b an, so nennt man die mit klein f bezeichnete 12:41.260 --> 12:46.100 Funktion, die jedem reellen t die Wahrscheinlichkeit zuordnet, dass X 12:46.100 --> 12:50.180 den Wert t annimmt, Wahrscheinlichkeitsfunktion oder ausführlicher 12:50.180 --> 12:55.280 Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion von X oder von der Verteilung von X. 12:56.360 --> 12:59.780 Natürlich können die Funktionswerte dabei nur für die t aus der Menge 12:59.780 --> 13:01.160 b positiv sein. 13:02.320 --> 13:05.200 Für den Fall, dass die Menge b endlich ist, kann man die 13:05.200 --> 13:08.640 Wahrscheinlichkeitsfunktion mit Hilfe eines sogenannten Stabdiagrammes 13:08.640 --> 13:09.420 veranschaulichen. 13:09.420 --> 13:13.560 Die Vorstellung, die man grundsätzlich mit diskreten Verteilungen 13:13.560 --> 13:16.740 verbinden sollte, ist, dass in einzelnen Punkten 13:16.740 --> 13:18.720 Wahrscheinlichkeitsmassen angebracht sind. 13:19.300 --> 13:23.120 Aber auch etwa der Fall, dass die Menge b gleich der Menge aller 13:23.120 --> 13:26.440 rationalen Zahlen ist, ist hierbei eingeschlossen. 13:27.180 --> 13:30.480 Nummerieren wir diese Menge in irgendeiner Weise mit Hilfe der 13:30.480 --> 13:36.100 natürlichen Zahlen durch und vereinbaren, dass X den Wert qj mit der 13:36.100 --> 13:40.460 Wahrscheinlichkeit ein Halbhochj annimmt, so wird auch hierdurch eine 13:40.460 --> 13:42.320 diskrete Verteilung definiert. 13:43.420 --> 13:46.980 Da in der Schule seit einiger Zeit diskrete Verteilungen mit Hilfe 13:46.980 --> 13:50.480 sogenannter Histogramme veranschaulicht werden und dass 13:50.480 --> 13:54.640 Darstellungsmittel für Histogramme Flächen sind, kann ich diesem, 13:55.040 --> 13:59.240 sagen wir, konzeptionellen Frevel nur die Botschaft entgegenhalten, 13:59.240 --> 14:03.680 diskrete Verteilungen haben begrifflich nichts mit Flächen zu tun. 14:05.180 --> 14:08.500 Wir kommen jetzt zu einer weiteren wichtigen Klasse von Verteilungen, 14:08.920 --> 14:11.680 und zwar sind das die absolut stetigen Verteilungen. 14:12.240 --> 14:15.680 Man sagt zwar oft nur stetige Verteilung, muss aber bei dieser 14:15.680 --> 14:17.920 verkürzten Sprechweise auf der Hut sein. 14:18.680 --> 14:23.220 Man nennt eine Zufallsvariable X absolut stetig verteilt, wobei man 14:23.220 --> 14:27.900 gerne mindestens einen der Klammerzusätze weglässt, wenn es eine nicht 14:27.900 --> 14:31.780 negative Funktion f gibt, die folgende Eigenschaften besitzt. 14:32.340 --> 14:36.720 Erstens, das Lebesgue-Integral von f über die gesamte reelle Achse ist 14:36.720 --> 14:41.960 gleich 1 und zweitens, für jedes reelle t ist die Verteilungsfunktion 14:41.960 --> 14:46.820 f von x an der Stelle t gleich dem Integral von f in den Grenzen von 14:46.820 --> 14:48.200 minusunendlich bis t. 14:49.780 --> 14:53.100 In diesem Fall nennt man sowohl die Verteilung von x als auch die 14:53.100 --> 14:55.480 Verteilungsfunktion f absolut stetig. 14:55.480 --> 15:00.600 Die Funktion f heißt Dichte oder Dichtefunktion der Verteilung bzw. 15:00.980 --> 15:02.140 von f bzw. 15:02.440 --> 15:02.920 von x. 15:04.040 --> 15:08.580 Wichtig ist, dass diese Integrale grundsätzlich als Lebesgue-Integrale 15:08.580 --> 15:09.480 zu verstehen sind. 15:10.120 --> 15:13.000 Die Dichte ist also grundsätzlich eine messbare Funktion. 15:13.860 --> 15:18.080 Meist wird f jedoch bis auf endlich viele Stellen stetig sein und dann 15:18.080 --> 15:22.620 können konkrete Berechnungen auch mit dem Riemann-Integral erfolgen. 15:22.620 --> 15:26.560 Wichtig ist auch, dass die Dichte im Gegensatz zur Verteilungsfunktion 15:26.560 --> 15:30.380 nicht eindeutig bestimmt ist, denn ein Lebesgue-Integral bleibt 15:30.380 --> 15:34.220 gleich, wenn man den Integranden etwa an endlich vielen Stellen 15:34.220 --> 15:34.840 abändert. 15:35.740 --> 15:39.880 Was den Buchstaben f betrifft, es ist der gleiche wie bei der 15:39.880 --> 15:43.600 Wahrscheinlichkeitsfunktion und das hat einen tieferen Sinn, der sich 15:43.600 --> 15:47.460 erschließt, wenn man in der Maß- und Integrationstheorie allgemein 15:47.460 --> 15:49.600 Maße mit Dichten betrachtet. 15:50.680 --> 15:54.840 Beispiele für absolut stetige Verteilungen gibt es zuhauf, wie etwa 15:54.840 --> 15:58.720 alle Normalverteilungen, Exponentialverteilungen, stetige 15:58.720 --> 16:02.640 Gleichverteilungen auf Intervallen, Weibel-Verteilungen, Gamma 16:02.640 --> 16:03.880 -Verteilungen usw. 16:04.560 --> 16:07.060 Auch diese Verteilung muss man nicht unbedingt kennen. 16:07.720 --> 16:12.340 Diese fast beliebig fortsetzbare Liste soll aber andeuten, dass auch 16:12.340 --> 16:14.800 absolut stetige Verteilungen wichtig sind. 16:16.140 --> 16:19.760 Zur Veranschaulichung sieht man hier den Graphen einer Dichte-Funktion 16:19.760 --> 16:23.540 und rechts den Graphen der zugehörigen Verteilungsfunktion. 16:24.460 --> 16:28.440 Der Zusammenhang ergibt sich aus dieser Gleichung hier oben, wonach 16:28.440 --> 16:32.320 die Verteilungsfunktion an der Stelle t anschaulich der bis zur Stelle 16:32.320 --> 16:37.000 t aufgelaufene Flächeninhalt zwischen der x-Achse und dem Graphen der 16:37.000 --> 16:37.760 Dichte angibt. 16:37.760 --> 16:43.220 Ist also hier eine Stelle t, so ist der bis zur Stelle t aufgelaufene 16:43.220 --> 16:47.480 Flächeninhalt blau dargestellt und der Wert der Verteilungsfunktion an 16:47.480 --> 16:50.380 der Stelle t ist gerade dieser Flächeninhalt. 16:51.260 --> 16:54.840 Ich möchte das Video mit einer Klasse von Verteilungen beschließen, 16:54.940 --> 16:59.120 die man kennen sollte und die das Gesamtbild über alle möglichen 16:59.120 --> 17:02.160 Verteilungen reeller Zufallsvariablen vervollständigt. 17:02.160 --> 17:06.360 Ich hatte ja schon dafür sensibilisiert, dass man bei einer stetigen 17:06.360 --> 17:09.920 Verteilung immer an die Existenz einer Dichte denken sollte. 17:10.400 --> 17:13.280 Der Punkt ist nämlich der, die Verteilungsfunktion einer 17:13.280 --> 17:15.800 Zufallsvariable mit einer Dichte ist stetig. 17:16.260 --> 17:19.880 Es wird also jede reelle Zahl nur mit der Wahrscheinlichkeit 0 17:19.880 --> 17:20.620 angenommen. 17:21.360 --> 17:24.700 Aber jetzt kommt der springende Punkt, nicht jede stetige 17:24.700 --> 17:29.740 Verteilungsfunktion ist absolut stetig, lässt sich also als Integral 17:29.740 --> 17:31.360 über eine Dichte darstellen. 17:31.360 --> 17:35.040 Das führt uns auf den Begriff der singulären Verteilung. 17:35.700 --> 17:39.700 Man nennt eine Zufallsvariable singulär verteilt, wenn die 17:39.700 --> 17:43.860 Verteilungsfunktion von x stetig ist und wenn die Ableitung dieser 17:43.860 --> 17:46.980 Verteilungsfunktion fast überall, d.h. 17:47.180 --> 17:50.140 außerhalb einer Lebesgue-Nullmenge, gleich 0 ist. 17:51.020 --> 17:54.420 In diesem Fall nennt man die Verteilungsfunktion singulär. 17:55.250 --> 17:59.800 Hier geht ein berühmter Satz von Henri Lebesgue aus dem Jahr 1904 ein, 18:00.240 --> 18:04.940 nachdem jede Verteilungsfunktion und allgemeiner jede monotone 18:04.940 --> 18:07.620 Funktion fast überall differenzierbar ist. 18:08.380 --> 18:11.940 Ein Beispiel einer solchen singulären Verteilungsfunktion ist die 18:11.940 --> 18:14.880 kantorsche Verteilungsfunktion, die im Rahmen der 18:14.880 --> 18:18.540 Darstellungsmöglichkeiten auf einem Bildschirm angenähernd so 18:18.540 --> 18:19.060 aussieht. 18:19.060 --> 18:24.020 Diese Funktion entsteht über einen Grenzprozess und dazu habe ich ein 18:24.020 --> 18:25.200 eigenes Video gemacht. 18:25.600 --> 18:29.180 Manche nennen diese Verteilungsfunktion auch die Teufelstreppe. 18:30.720 --> 18:33.860 Warum runden singuläre Verteilungen das Gesamtbild ab? 18:34.320 --> 18:36.780 Hierzu gibt es einen Satz über die Struktur aller 18:36.780 --> 18:40.820 Verteilungsfunktionen und der lautet Jede Verteilungsfunktion hat 18:40.820 --> 18:45.680 genau eine Darstellung in dieser Form als Linearkombination von drei 18:45.680 --> 18:51.020 Funktionen, wobei die Vorfaktoren nicht negativ sind und sich zu eins 18:51.020 --> 18:51.840 aufsummieren. 18:52.560 --> 18:55.500 Es handelt sich also um eine sogenannte Konvexkombination. 18:56.360 --> 19:02.700 Hierbei sind fd eine diskrete, fa eine absolut stetige und fs eine 19:02.700 --> 19:04.420 singuläre Verteilungsfunktion. 19:04.420 --> 19:10.000 Der Beweis dieses Satzes würde den Umfang dieses ohnehin schon langen 19:10.000 --> 19:14.680 Videos sprengen und so sage ich einfach nur Danke fürs Anschauen und 19:14.680 --> 19:18.320 jeder weiß, dass ich für Hinweise und konstruktive Kritik stets 19:18.320 --> 19:19.020 dankbar bin.