Herzlich willkommen zu diesem dritten Video zur Verteilungskonvergenz.
Man muss die beiden vorigen Videos zu diesem Thema nicht unbedingt
gesehen haben, um diesem Video folgen zu können, denn wir benötigen
nur die Definition der Verteilungskonvergenz und die gebe ich gleich
noch einmal an.
In diesem Video geht es um einen Satz des ukrainischen Mathematikers
Anatoly Vadimirovich Skorohot und um den sogenannten Abbildungssatz.
Wir werden gleich sehen, wie diese Sätze aussehen und wozu sie gut
sind.
Der Ausgangspunkt ist der gleiche wie bei den beiden anderen Videos.
Gegeben seien reelle Zufallsvariablen x, x1, x2 usw., die auf einem
gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsraum definiert seien.
Die Verteilungsfunktionen dieser Zufallsvariablen seien mit f, f1, f2
usw.
bezeichnet.
Die Verteilungskonvergenz von xn gegen x für n gegen unendlich ist
dadurch definiert, dass die Folge der Verteilungsfunktion der xn
punktweise gegen die Verteilungsfunktion f von x konvergiert, und zwar
für jede Stetigkeitsstelle von f.
Was in diesem Video gezeigt wird, ist folgendes.
Falls Verteilungskonvergenz von xn gegen x vorliegt, so kann, und das
ist eine plakative Botschaft des Satzes von Skorohot, für viele Zwecke
ohne Beschränkung der Allgemeinheit angenommen werden, dass die Folge
xn sogar fast sicher, also mit Wahrscheinlichkeit 1, gegen x
konvergiert.
Das ist auf den ersten Blick erstaunlich, denn die fast sichere
Konvergenz ist wesentlich stärker als die Konvergenz in Verteilung.
Die zweite Botschaft ist die des Abbildungssatzes.
Aus der Verteilungskonvergenz von xn gegen x folgt die
Verteilungskonvergenz von h von xn gegen h von x, wenn h eine stetige
Funktion ist.
Es gilt also dann etwa e hoch xn konvergiert in Verteilung gegen e
hoch x oder Sinus von xn konvergiert in Verteilung gegen den Sinus von
x.
Wir werden die Stetigkeit der Abbildung h sogar abschwächen können.
Was für dieses Video benötigt wird, sind Kenntnisse über die
Quantilfunktion.
Ist allgemein g eine Verteilungsfunktion, also eine monoton wachsende
rechtsseitig stetige Funktion, die salopp gesprochen von 0 kommt und
nach 1 geht, so kann man zu g eine Funktion g hoch –1 definieren.
Diese Funktion ist im offenen Einheitsintervall erklärt und für jedes
p größer als 0 und kleiner als 1 ist g hoch –1 von p das Infimum über
alle Reellen x mit der Eigenschaft g von x größer gleich p.
Diese Funktion heißt Quantilfunktion zu g. Ist g stetig und streng
monoton wachsend, so ist g hoch –1 die Umkehrfunktion zu g. Wer die
Quantilfunktion noch nicht kennt, dem empfehle ich mein Video über die
Quantil - und die Wahrscheinlichkeitsintegraltransformation, das in
der Beschreibung zu diesem Video aufgeführt ist.
Ich nehme einmal die Definition der Quantilfunktion auf die nächste
Folie.
Wir werden entscheidend von folgendem Sachverhalt Gebrauch machen.
Auch dieser kommt in dem besagten Video vor.
Ist u eine Zufallsvariable mit einer stetigen Gleichverteilung im
Einheitsintervall, so besitzt die über die Quantilfunktion definierte
Zufallsvariable g hoch –1 von u die Verteilungsfunktion g. Der
Übergang von u zu g hoch –1 von u heißt Quantiltransformation.
Benötigt wird auch ein Resultat, das eine Übungsaufgabe in der
Analysis darstellt.
Konvergiert eine Folge von Verteilungsfunktionen fn punktweise gegen
eine Verteilungsfunktion f, und zwar in jeder Stetigkeitsstelle von f,
so überträgt sich diese Konvergenz auf die entsprechenden
Quantilfunktionen.
Das heißt, es konvergiert fn hoch –1 von p gegen f hoch –1 von p, und
zwar in jeder Stetigkeitsstelle der Funktion f hoch –1.
Damit könnten wir den Satz von Skorohot formulieren und recht einfach
beweisen.
In unserer Situation konvergiere die Folge xn in Verteilung gegen x.
Dann gibt es einen Wahrscheinlichkeitsraum Omega-Schlange, A-Schlange,
P -Schlange und es gibt auf diesem Wahrscheinlichkeitsraum
Zufallsvariablen y, y1, y2 usw.
Sodass folgendes gilt, y hat die gleiche Verteilung wie x und für
jedes n hat yn die gleiche Verteilung wie xn.
An dieser Stelle muss man sich an die Schreibweise für Verteilungen
erinnern.
p hoch x ist das Bildmaß von p unter der Abbildung x.
p hoch x von einer Borellmenge b ist also die unter dem
Wahrscheinlichkeitsmaß p berechnete Wahrscheinlichkeit des Urbildes
von b unter der Abbildung x.
Da alle diese Verteilungsidentitäten bestehen, konvergiert yn in
Verteilung gegen y.
Es gilt aber viel mehr, denn die Folge yn konvergiert sogar p-Schlange
fast sicher gegen y.
Sehen wir uns den Beweis an.
Wir setzen den gesuchten Wahrscheinlichkeitsraum einfach so an.
Omega-Schlange ist das offene Einheitsintervall und A-Schlange ist die
Sigma -Algebra aller Borellmengen über dem Einheitsintervall.
Das Wahrscheinlichkeitsmaß p-Schlange ist das auf dem
Einheitsintervall eingeschränkte Borelli-Peck-Maß, also die
Gleichverteilung auf Omega-Schlange.
Die Zufallsvariable y sei nichts anderes als die Quantilfunktion f
hoch –1 zu f und für jedes n sei yn die Quantilfunktion zu fn.
Aus der zweiten im Memo stehenden Eigenschaft der
Quantiltransformation folgt dann unmittelbar die in 1 notierte
Eigenschaft, da eine Verteilung ist durch ihre Verteilungsfunktion
eindeutig festgelegt.
Der Hilfsatz besagt, dass yn von p für jede Stetigkeitsstelle p von f
hoch –1 gegen y von p konvergiert, Da eine Quantilfunktion nur
abzählbar viele Unstetigkeitsstellen haben kann, folgt Eigenschaft 2
und damit sind wir fertig.
Ich habe das ebenso schnell dahergesagt, aber warum hat eine
Quantilfunktion nur höchstens abzählbar viele Unstetigkeitsstellen?
Ganz einfach, weil sie wie eine Verteilungsfunktion auch eine monoton
wachsende Funktion ist.
Die Unstetigkeitsstellen können also nur Sprungstellen sein und die
Sprungintervalle sind paarweise disjunkt.
Jede Sprungintervall enthält mindestens eine rationale Zahl.
Da es nur abzählbar viele rationale Zahlen gibt, gibt es auch nur
abzählbar viele Unstetigkeitsstellen.
Wir kommen jetzt zum Abbildungssatz, der in der englischsprachigen
Literatur auch als Continuous Mapping Theorem bezeichnet wird.
Es seien x, x1, x2 und so weiter Zufallsvariablen auf einem
gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsraum und es sei h eine messbare
Funktion, die bezüglich der Verteilung von x fast überall stetig ist.
D.h.
die Menge der Stetigkeitsstellen von h besitze die Wahrscheinlichkeit
1 oder mit anderen Worten mit Wahrscheinlichkeit 1 sind die
Realisierungen von x Stetigkeitsstellen von h.
Diese Bedingung ist natürlich trivialerweise erfüllt, wenn h stetig
ist.
In dieser Situation können wir folgendes sagen.
Konvergiert xn in Verteilung gegen x, so konvergiert h von xn in
Verteilung gegen h von x.
Verteilungskonvergenz vererbt sich also unter messbaren Abbildungen,
die bezüglich der Grenzverteilung fast überall stetig sind.
Zum Beweis wählen wir den Wahrscheinlichkeitsraum sowie die
Zufallsvariablen yn und y wie im Satz von Skorohot, also über die
Quantilfunktion.
Nach dem Satz von Skorohot gibt es in diesem Wahrscheinlichkeitsraum
eine messbare Menge, die die Wahrscheinlichkeit 1 besitzt.
Und auf dieser mit Omega Null Schlange bezeichneten Menge liegt
punktweise Konvergenz von yn gegen y vor.
Jetzt kommt die Voraussetzung des Abbildungssatzes zum Tragen.
Die Menge der Stetigkeitsstellen von h besitzt die Wahrscheinlichkeit
1.
Da x und y dieselbe Verteilung besitzen, gilt dieses
Gleichheitszeichen.
Und nach Definition der Verteilung erhalten wir dieses
Gleichheitszeichen.
Wir definieren jetzt eine Menge Omega 1 Schlange als Durchschnitt von
Omega Null Schlange mit dem Urbild der Stetigkeitsstellen von h unter
der Abbildung y.
Als Durchschnitt zweier Mengen der Wahrscheinlichkeit 1 besitzt auch
Omega 1 Schlange die Wahrscheinlichkeit 1.
Ich behaupte jetzt, dass wir jedes p in dieser Menge h von yn von p
gegen h von y von p konvergiert.
Warum?
Nun yn von p konvergiert gegen y von p und y von p ist
Stetigkeitsstelle von h.
Das heißt h ist an der Stelle y von p stetig.
Damit gilt diese Konvergenz.
Und punktweise Konvergenz auf einer Menge der Wahrscheinlichkeit 1 ist
fast sichere Konvergenz.
Und damit auch Verteilungskonvergenz, denn fast sichere Konvergenz
zieht Verteilungskonvergenz nach sich.
Ich behaupte jetzt, dass wir jedes n h von yn und h von xn dieselbe
Verteilung haben und auch die Verteilungen von h von y und h von x
sind die gleichen.
Warum?
Ganz einfach, weil yn und xn dieselbe Verteilung haben und diese
Verteilungsgleichheit überträgt sich auf eine messbare Funktion von yn
und xn.
Gleiches gilt für y und x.
Damit konvergiert h von xn in Verteilung gegen h von x und das war zu
zeigen.
Man kann den Abbildungssatz als eine Rechenregel im Umgang mit
Verteilungskonvergenz ansehen, vergleichsweise mit der Regel aus der
Analyse, dass mit der Konvergenz einer Zahlenfolge an gegen einen Wert
a auch h von an gegen h von a konvergiert, wenn h eine stetige
Funktion ist.
Damit sind wir am Ende dieses Videos über die Verteilungskonvergenz
angekommen.
Ich bedanke mich herzlich fürs Zuschauen.
Für Hinweise und konstruktive Kritik bin ich wie immer dankbar.