Ganz herzlich willkommen zu diesem Video mit dem Titel
Binomialkoeffizienten verstehen oder rechnen.
Sie werden natürlich fragen, warum diese vermeintliche Alternative,
man sollte doch beides können.
Der Anlass zu diesem Video ist aber ein aktuelles Schulbuch, in dem im
Wesentlichen nur gerechnet wird und die Möglichkeiten, die ein
konsequenter, konzeptioneller Ansatz bietet, nicht genutzt werden.
Ein solcher Ansatz ersetzt Rechnen durch Denken und ich habe mal
gelesen, dass das Vorenthalten von anspruchsvollem Denken eine
Versündigung an der heranwachsenden Generation sei.
Ich sehe das genauso.
Dieses Video richtet sich insbesondere an Lehrkräfte, aber auch an
interessierte Schülerinnen und Schüler.
Ich möchte zunächst erzählen, was ich so alles über den
Binomialkoeffizienten gelesen habe.
Dazu sei n eine natürliche Zahl und k eine nicht negative ganze Zahl
im Bereich von 0 bis n.
Ich habe im Studium gelernt, dass der Binomialkoeffizient n über k
gleich der Anzahl der Möglichkeiten ist, aus einer n-elementigen Menge
eine k-elementige Teilmenge zu bilden.
Das fand sich in dieser Form früher auch in Schulbüchern.
Jetzt drückt man das anders aus, um den Mengenbegriff zu umgehen,
nämlich als Anzahl der Möglichkeiten, aus n Dingen oder Objekten k
auszuwählen, wobei es nicht auf die Reihenfolge ankommt.
Man kann auch lesen, dass n über k gleich der Anzahl der Pfade im
Baumdiagramm zu einer Bernoulli-Kette der Länge n mit genau k Treffern
ist.
Ich habe hier den Wortteil Kette in Anführungsstriche gesetzt, weil er
anscheinend nur im deutschen Sprachraum auftritt und falsche Färben
legt.
Eine Kette suggeriert Abhängigkeiten zwischen Kettengliedern, aber
hier liegen n völlig unbeeinflusst voneinander ablaufende Versuche
vor, die gegebenenfalls auch gleichzeitig oder räumlich getrennt
voneinander ablaufen könnten.
Es hängt also nichts voneinander ab.
Im angelsächsischen Sprachraum heißt es hier übersetzt Bernoulli
-Prozess oder Bernoulli-Sequenz der Länge n.
Im eingangs erwähnten Schulbuch wird der Binomialkoeffizient in dieser
Form mithilfe von Fakultäten definiert.
Gleiche Definition findet sich in anderen Schulbüchern.
Wenn man das so macht, kann man danach nur noch rechnen.
Ein Konzept, das das Rechnen überflüssig macht, ist dann nicht mehr
erkennbar, denn der Binomialkoeffizient degeneriert zu einer Abkürzung
für einen Bruch mit drei Fakultäten.
Gleich wird der Binomialkoeffizient noch auf eine andere Weise
eingeführt, und wir werden sehen, was man damit machen kann.
Ich möchte ausdrücklich betonen, dass ich hier nichts Neues erzähle,
denn im Hinblick auf die Schule hat Arthur Engel schon vor 35 Jahren
geschrieben, dass man n über k als Anzahl der binären Wörter der Länge
n mit genau k Einsen auffassen kann.
Dabei sind die Buchstaben eines binären Wortes entweder 0 oder 1.
Beginnen möchte ich mit einem ganz konkreten Problem, das man
Schülerinnen und Schülern stellen könnte.
Wir haben die vier Objekte Würfel, Bonbon, Ei und Apfel, die eine
Menge m bilden.
Und zwei dieser Objekte sollen ausgewählt werden.
Wenn man gedanklich den Würfel mit der Zahl 1, das Bonbon mit der Zahl
2, das Ei mit der Zahl 3 und den Apfel mit der Zahl 4 identifiziert,
so können wir eine Auswahl sehr kompakt beschreiben.
Unter die Objekte, die wir auswählen, schreiben wir eine 1 und unter
die anderen eine 0.
Die Auswahl von Würfel und Bonbon ist dann durch diese Sequenz aus
Einsen und Nullen beschrieben.
Und diese Sequenz entspricht der Auswahl von Würfel und Ei.
In gleicher Weise werden Ihre Schülerinnen und Schüler die
verbleibenden vier Möglichkeiten notieren.
Was ergeben sich hier für Einsichten?
Die erste Einsicht wird sein, dass es auf die konkreten Objekte nicht
ankommt und man diese immer mit 1 beginnend durchnummerieren kann.
Wenn man n über k begrifflich als die Anzahl der Möglichkeiten
einführt, aus N Objekten k auszuwählen, wobei es nicht auf die
Reihenfolge ankommt, so wird klar, dass 4 über 2 gleich 6 ist.
Man sieht auch, dass es bei einem 2 aus 4 Lotto 4 über 2 mögliche
Tippreihen gibt.
Dazu muss man gedanklich nur die jeweiligen Zahlen, unter denen die
Einsen stehen, ankreuzen und die anderen nicht.
Erhellend für Ihre Schülerinnen und Schüler dürfte sein, dass 4 Tupel
aus Nullen und Einsen mit 2 Einsen 2 Auswahlen aus 4 Objekten
beschreiben.
Man kann natürlich die Klammern und die Kommata zwischen den
Komponenten des Tupels weglassen und man hat dann binäre Wörter der
Länge 4 mit 2 Einsen.
Ich werde im Folgenden jedoch immer von Tupeln sprechen.
Jetzt könnten Sie Ihren Schülerinnen und Schülern die Frage stellen,
wie groß 4 über 1 ist und werden vermutlich schnell die Antwort 4
erhalten, denn es gibt 4 Möglichkeiten, in einem 4-Tupel eine 1 und
damit 3 Nullen zu platzieren.
In gleicher Weise ergibt sich 4 über 3 gleich 4.
An dieser Stelle kommt vielleicht auch schon eine Symmetrieüberlegung.
4 über 3 muss gleich 4 über 1 sein, denn man braucht ja die Einsen und
die Nullen nur zu flippen.
Also anstelle einer 1 eine 0 schreiben und umgekehrt.
Zu guter Letzt ergeben sich 4 über 4 und 4 über 0 jeweils zu 1, weil
es nur ein Tupel mit lauter Einsen und eines mit lauter Nullen gibt.
Man erhält aber noch eine weitere Einsicht.
Alle binären 4-Tupel haben entweder keine 1 oder eine 1 oder zwei
Einsen oder drei Einsen oder vier Einsen.
Das hier ist also die Anzahl aller möglichen binären 4-Tupel.
Auf der anderen Seite gibt es für jede der vier Stellen im Tupel zwei
Möglichkeiten, nämlich 1 oder 0.
Insofern ist die Summe dieser Binomialkoeffizienten gleich 16, nämlich
2 mal 2 mal 2 mal 2.
Da wir schon lange im Zeitalter der Digitalisierung leben, könnte man
den Binomialkoeffizienten n über k auch als Anzahl der binären n-Tupel
mit genau k Einsen definieren.
Automatisch hat solch ein Tupel dann n minus k Nullen.
Der begriffliche Zusammenhang mit den k-Auswahlen aus n Objekten ohne
Beachtung der Reihenfolge ergibt sich, wenn man die n Objekte von 1
bis N durchnummeriert und im Tupel für jedes j von 1 bis N aj gleich 1
setzt, falls das Objekt j ausgewählt wird.
Für jedes nicht ausgewählte Objekt notiert man eine 0.
Auch hier ergeben sich ohne jegliches Rechnen unmittelbare Einsichten.
n über 0 ist 1, weil es nur ein Tupel mit lauter Nullen gibt.
n über 1 ist gleich n, denn bei einem n-Tupel mit genau einer 1 kann
diese 1 an n Stellen stehen.
n über n ist ebenfalls gleich 1, weil es nur ein n-Tupel mit lauter
Einsen gibt.
Weiter gilt, n über n-k ist gleich n über k, denn dazu müssen wir bei
einem n-Tupel mit n-k Einsen die Einsen und die Nullen nur gedanklich
flippen.
Auch diese wichtige Symmetriebeziehung für die Binomialkoeffizienten
ergibt sich ohne jegliche Rechnung.
Eine weitere zentrale Einsicht folgt, wenn man ein Objekt hinzunimmt
und sich fragt, wie viele n plus 1 Tupel mit k Einsen gibt es.
Hier können wir k größer gleich 1 voraussetzen, denn es gibt nur ein n
plus 1 Tupel, das keine 1 hat.
Diese Frage können wir unmittelbar beantworten, denn nach Definition
gibt es n plus 1 über k solche Tupel.
Wir machen aber jetzt eine Fallunterscheidung.
Ist a n plus 1 gleich 0, steht also an der letzten Stelle keine 1, so
müssen sich die k Einsen auf die ersten n Stellen des Tupels verteilen
und dafür gibt es nach Definition n über k Möglichkeiten.
Der zweite Fall ist der, dass an der letzten Stelle eine 1 steht und
dann sind nur noch k minus 1 Einsen auf die ersten n Stellen des
Tupels zu verteilen.
Hierfür gibt es wiederum nach Definition n über k minus 1
Möglichkeiten.
Wir erhalten also und zwar wiederum völlig ohne jegliche Rechnung
diese wichtige Rekursionsformel für die Binomialkoeffizienten.
Diese Formel ist zusammen mit den Randbedingungen n über 0 gleich 1
und n über n gleich 1 das Bildungsgesetz des berühmten Paskalschen
Dreiecks, auf das ich in diesem Video jedoch nicht eingehen möchte,
sondern es soll um weitere Einsichten gehen.
Dazu nehme ich unsere Definition des Binomialkoeffizienten als Memo
auf die nächste Folie.
Das hier ist ein solches binäres n-Tupel mit k Einsen.
In diesem konkreten Fall ist n gleich 10 und k gleich 6, aber wir
versuchen davon zu abstrahieren.
Für die geistige Flexibilität Ihrer Schülerinnen und Schüler könnte es
hilfreich sein, n über k als Anzahl der möglichen Tippreihen bei einem
k -aus-n-Lotto zu deuten.
So wurden im obigen Tupel für ein 6-aus-10-Lotto die Zahlen 1, 2, 4,
6, 7 und 10 getippt.
Man kann n über k aber auch als Anzahl der Möglichkeiten ansehen, k
von n Fächern zu belegen.
Das obige Tupel steht dann für die Belegung der Fächer 1, 2, 4, 6, 7
und 10 bei insgesamt 10 Fächern.
n über k ist aber auch die Anzahl der Rechtshochwege in einem
ganzzahligen Gitter, die vom Punkt 0,0 zum Punkt k n-k führen.
Warum?
Hier ist ein Ausschnitt des Gitters.
Der Weg soll von der linken unteren in die rechte obere Ecke führen
und bei jedem Schritt können wir entweder nach rechts oder nach oben
gehen.
Hier sieht man einen solchen Weg.
Notiert man jeden Schritt nach rechts als 1 und jeden Schritt nach
oben als 0, so kann man einen solchen Weg als n-Tupel mit genau k
einzeln notieren, denn insgesamt sind es n Schritte und davon sind k
Schritte nach rechts.
Dieser Weg wird übrigens durch das obige, konkrete 10-Tupel
beschrieben.
Jetzt wird auch klar, warum n über k die Anzahl der Pfade in einem
Baumdiagramm zu einer Bernoulli-Kette der Länge n mit genau k Treffern
ist.
Notieren wir einen Treffer als 1 und eine Niete als 0, so ist jeder
solche Pfad durch ein binäres n-Tupel mit genau k einzeln beschrieben.
So korrespondiert der obige Weg zum Pfad Treffer, Treffer, Niete usw.
und er wird durch das obige, konkrete 10-Tupel beschrieben.
Es gibt natürlich viele weitere Einkleidungen für das Auftreten der
Binomial -Koeffizienten.
Sind die n Objekte Personen und sollen k davon zur Bildung eines
Ausschusses ausgewählt werden, so ist n über k die Anzahl der
Möglichkeiten, einen solchen Ausschuss zu bilden.
Als Kontrast möchte ich jetzt vorstellen, was man in aktuellen
Schulbüchern liest.
Da wird n über k mithilfe von Fakultäten definiert.
Das kann man so machen, aber danach kann man in Bezug auf
Eigenschaften der Binomial-Koeffizienten nur noch rechnen.
Als Beispiel diene die Rekursionsformel, wobei im Schulbuch im
Gegensatz zu unserer Darstellung nur n durch n-1 ersetzt wurde.
Der Beweis sieht dann so aus, wobei ich am Ende noch einige Schritte
weggelassen habe.
Ich enthalte mich eines Kommentars, welches Bild von Mathematik mit
dieser völlig unnötigen Rechnung in den Köpfen der Schülerinnen und
Schüler hinterlassen wird, wenn man ihnen nicht klar macht, dass sie
gar nicht hätten rechnen müssen.
Natürlich kann man sich die Frage stellen, warum denn überhaupt
unserer über die binären n-Tupel mit k1 ein eingeführter Binomial
-Koeffizient gleich diesem Bruch mit drei Fakultäten ist.
Diese Gleichung ist natürlich wichtig, wenn man Binomial-Koeffizienten
konkret ausrechnen muss.
Nehmen wir an, wir wählen aus den Zahlen von 1 bis n k Stück aus und
achten dabei auf die Rallenfolge.
Und wir fragen uns, wie viele Möglichkeiten es dafür gibt.
Wir erhalten obige Gleichung, wenn wir die Anzahl der Möglichkeiten
auf zwei verschiedene Weisen abzählen.
Die erste, sich unmittelbar aufdrängende Methode besteht darin, erst
eine Zahl auszuwählen, dafür gibt es n Möglichkeiten, dann eine
zweite, dafür gibt es jetzt nur noch n-1 Möglichkeiten usw.
Die ausgewählten Zahlen können wir als ein k-Tupel notieren.
Dabei ist b1 die Zahl, die zuerst gewählt wurde, b2 die Zahl, die
danach gewählt wurde usw.
Nach der Multiplikationsregel der Kombinatorik ist die Anzahl solcher
Tupel gleich n mal n-1 mal n-2 usw.
bis wir k Faktoren erreicht haben.
Und der letzte Faktor sieht so aus.
Wenn wir dieses Produkt mit dem Produkt der Zahlen von 1 bis n-k, also
mit n-k Fakultät multiplizieren, ergibt sich n Fakultät und damit
dieses Gleichheitszeichen seine Berechtigung hat, müssen wir durch n-k
Fakultät dividieren.
Jetzt kommt die zweite Vorgehensweise.
Wir wählen zuerst eine Teilmenge von k Zahlen, also k Zahlen ohne
Berücksichtigung der Reihenfolge, aus.
Dafür gibt es nach Definition n über k Möglichkeiten.
In einem zweiten Schritt legen wir fest, welche dieser ausgewählten
Zahlen die erste, welche die zweite usw.
ist.
Für die erste Zahl haben wir k Möglichkeiten, für die zweite noch k-1
usw.
Das geht somit auf k Fakultätweisen.
Die Anzahl der Möglichkeiten unter der zweiten Zählmethode ist also
wiederum nach der Multiplikationsregel der Kombinatorik gleich diesem
Produkt.
Da wir ein und dieselbe Anzahl der Möglichkeiten nur auf zwei
verschiedene Art und Weisen bestimmt haben, gilt also diese Gleichung
und damit ist das zu Beginn rot notierte Warum beantwortet.
Wem das zu abstrakt ist, der betrachte einmal das Beispiel n gleich 7
und k gleich 3.
Wir wollen also drei Zahlen unter Beachtung der Reihenfolge aus den
Zahlen von 1 bis 7 auswählen.
Nach der ersten Methode wählen wir drei Zahlen hintereinander, also
etwa zuerst die 6, dann die 3 und dann die 4.
Diese Auswahl mit Beachtung der Reihenfolge können wir als dieses
Triple notieren.
Dabei steht Triple für Dreitupel.
Allgemein haben wir hierbei 7 mal 6 mal 5 und damit 210 Möglichkeiten.
Bei der zweiten Abzählmethode wählen wir die Zahlen 3, 4 und 6 ohne
Beachtung der Reihenfolge, also gleichsam mit einem Griff.
Diese Auswahl können wir als dieses Siebentupel kodieren.
Allgemein haben wir nach Definition für eine Dreierauswahl aus den
Zahlen von 1 bis 7 7 über 3 Möglichkeiten.
Anhand des Tuples sieht man nur, dass die Zahlen 3, 4 und 6 ausgewählt
wurden, aber es ist keine Reihenfolge festgelegt.
Wir machen jetzt durch Anbringen von Indizes 1, 2 und 3 an die
Dreieinzen klar, in welcher Reihenfolge die Zahlen 3, 4 und 6
ausgewählt werden sollen.
Damit wir auf die Reihenfolge 6, 3 und 4 kommen, sieht die Indizierung
so aus.
Für eine solche Indizierung gibt es allgemein 3 Fakultät, also 6
Möglichkeiten.
Wichtig ist, dass man sich noch einmal die Gleichwertigkeit der
Informationen klar macht, die einerseits im Triple auf der linken
Seite und andererseits im Siebentupel mit den 3 indizierten Einzen auf
der rechten Seite stecken.
Links steht kurz und bündig, dass erst die 6, dann die 3 und dann die
4 gewählt wird.
Rechts sieht man am Siebentupel mit den 3 Einzen, dass die 3, die 4
und die 6 gewählt wurden und die Indizierung liefert dann die
Information erst die 6, dann die 3 und dann die 4.
Auf der linken Seite ist die Anzahl der Möglichkeiten gleich 7 mal 6
mal 5, also gleich 210 und für die rechts stehenden indizierten
Siebentupel ist die Anzahl gleich 7 über 3 mal 3 Fakultät und hieraus
ergibt sich 7 über 3 zu 35.
Wenn man verstanden hat, was der Binomialkoeffizient bedeutet, kann
man auch schnell die Frage beantworten, warum dieser allgemeine
binomische Leersatz gilt.
In einem vor Jahrzehnten geschriebenen Schulbuch habe ich diesen Satz
als Übungsaufgabe gefunden.
Heute gilt dieser Leersatz offenbar als zu schwer.
Vielleicht könnten für Ihre Schülerinnen und Schüler die folgenden
Überlegungen am Spezialfall n gleich 4 hilfreich sein.
a plus b hoch 4 ist dieses Produkt.
Nach den Regeln der Klammerrechnung muss man aus jeder der 4 Klammern
entweder a oder b auswählen und das Produkt bilden.
Die so entstehenden Produkte müssen am Ende alle addiert werden.
Machen wir das mal ganz konkret.
Die Zahlen 1 bis 4 stehen für die 4 Klammern.
Wir können so beginnen, dass wir aus jeder der Klammern das a wählen
und wir erhalten dann das Produkt a hoch 4.
Wir können aber auch aus den ersten 3 Klammern das a wählen und aus
der vierten Klammer das b.
In diesem Fall ergibt sich das Produkt a hoch 3 mal b.
Für diese Auswahl ergibt sich ebenfalls das Produkt a hoch 3 mal b und
für diese Auswahl entsteht das Produkt a² mal b².
Mit ein wenig Fleiß schreibt man jetzt auch noch die anderen
Möglichkeiten hin.
Insgesamt sind es 16 Produkte, die addiert werden müssen, denn für
jede der 4 Klammern haben wir ja zwei Möglichkeiten.
Man sieht, dass einige der Produkte gleich sind, denn es kommt für
jedes Produkt nur darauf an, aus wie vielen Klammern das a und aus wie
vielen das b gewählt wird.
Wählen wir aus k der 4 Klammern das a und dann automatisch aus 4-k
Klammern das b, so entsteht das Produkt a hoch k mal b hoch 4-k.
Nach Definition gibt es aber 4 über k Möglichkeiten einer solchen
Auswahl und am Ende muss über k von 0 bis 4 summiert werden.
Um es noch deutlicher zu machen, können wir auch stets a durch 1 und b
durch 0 ersetzen, sodass wir wieder bis auf die Klammern und Kommata
Tupel aus 0 und 1 haben.
Im besagten Schulbuch, in dem der allgemeine binomische Leersatz als
Übungsaufgabe formuliert war, gab es noch als Hinweis die Frage, wie
oft kommt beim Ausmultiplizieren der Term a hoch k mal b hoch n-k vor.
Natürlich kann man den binomischen Leersatz mithilfe vollständiger
Induktion beweisen.
Das sieht dann so aus.
Man übt daran zwar diese Beweistechnik, aber am Ende wird man kaum
verstanden haben, warum dieser Leersatz gilt.
Damit sind wir auch schon am Ende dieses Videos angekommen.
Ich bedanke mich ganz herzlich für die Aufmerksamkeit und für Hinweise
und konstruktive Kritik bin ich wie immer dankbar.