Herzlich willkommen zu diesem Video über die Gumbel'sche
Extremwertverteilung, die nach Emil Julius Gumbel benannt ist.
Man findet diese Verteilung manchmal auch unter dem Namen
Doppeltexponentialverteilung und wir werden gleich sehen, warum.
Auch die Bezeichnung Typ 1 Extremwertverteilung ist geläufig.
Das Attribut Extremwert rührt daher, dass die Gumbel'sche
Extremwertverteilung eine von drei überhaupt möglichen
Grenzverteilungen für maxima von unabhängigen und identisch verteilten
Zufallsvariablen ist.
Ich werde am Ende des Videos kurz darauf eingehen.
Im Folgenden spreche ich meist kurz von der Gumbelverteilung.
Die Gumbelverteilung hat zahlreiche Anwendungen, zum Beispiel in der
Hydrologie und in der Meteorologie.
Und sie ist eine ganze Familie von Verteilungen, die analog wie die
Familie der Normalverteilungen durch affine Transformation aus einer
Mutterverteilung hervorgeht.
Man nennt solch eine Verteilungsfamilie eine Lokationsskalenfamilie.
Unter der Normalverteilung ist die Mutterverteilung die
Standardnormalverteilung.
Wie sieht es bei der Gumbelverteilung aus?
Wir sagen, eine Zufallsvariable x0 habe eine Standard
-Gumbelverteilung, falls sie folgende Verteilungsfunktion besitzt.
Ich bezeichne diese Verteilungsfunktion mit f0.
Es ist also für jedes reelle x f0 von x definitionsgemäß gleich dieser
Wahrscheinlichkeit und die sei gegeben durch e hoch minus e hoch minus
x und das für jedes reelle x.
Das ist eigentlich das Wichtigste, was man sich bei der
Gumbelverteilung merken muss.
Jetzt wird auch klar, warum die Verteilung auch manchmal als Doppelt
-Exponentialverteilung bezeichnet wird.
Ich führe für diese Verteilung eine Abkürzung ein, und zwar schreibe
ich kurz x0 tilde gu01, falls x0 die Verteilungsfunktion f0 besitzt.
Warum hier 0 und 1 stehen, wird gleich klar, wenn wir die allgemeine
Gumbelverteilung eingeführt haben.
Man mache sich klar, dass f0 alle Eigenschaften einer
Verteilungsfunktion besitzt.
Insbesondere konvergiert f0 von x für x gegen minus-unendlich gegen 0
und für x gegen unendlich gegen 1.
In Teil b der Definition führen wir jetzt ein Lageparameter µ und
einen Skalenparameter σ ein.
Dann nennt man die Verteilung der zufallsvariablen x, die aus x0 durch
diese affine Transformation hervorgeht, Gumbelverteilung mit
Lageparameter µ und Skalenparameter σ und verschreiben kurz x tilde gu
µ σ, wenn x diese Verteilung besitzt.
Jetzt wird auch die Bezeichnung in a klar, wenn wir µ gleich 0 und σ
gleich 1 setzen.
Wir können unmittelbar die mit f bezeichnete Verteilungsfunktion von x
angeben, denn nach Definition ist f von x gleich dieser
Wahrscheinlichkeit.
Wenn wir diese Ungleichung umschreiben, folgt dieses
Gleichheitszeichen und diese Wahrscheinlichkeit ist gleich f0 an der
Stelle x minus µ dividiert durch σ und somit gleich diesem Ausdruck.
Die Botschaft dieser Folie sollte ganz klar sein, entscheidend ist die
Standardgumbelverteilung.
Jede andere Gumbelverteilung ergibt sich daraus durch eine affine
Transformation.
Im folgenden sollen einige wichtige Eigenschaften der
Standardgumbelverteilung vorgestellt werden.
An manchen Stellen wird man vielleicht pausieren und Papier und
Bleistift zur Hand nehmen müssen, aber das ist bei manchen meiner
Videos so.
Wir sehen uns zunächst die Dichte der Standardgumbelverteilung an und
ich nehme dazu die Verteilungsfunktion dieser Verteilung als Memo auf
die nächste Folie.
f0 ist stetig differenzierbar und streng monoton wachsend und wir
erhalten somit die mit klein f0 bezeichnete Dichte von x0 durch
Differentiation.
Mithilfe der Kettenregel ergibt sich dieser Ausdruck.
Der Graph von f0 besitzt diese Gestalt.
Was auffällt, ist eine ausgeprägte Asymmetrie.
Die Werte der Dichte steigen zunächst schnell an und fallen nach
Erreichen des bei 0 liegenden Maximums langsamer wieder ab.
Der Erwartungswert von x0 liegt an dieser Stelle, die etwas größer als
ein Halb ist.
Wir werden diesen interessanten Erwartungswert gleich herleihen.
Der Median von x0, also der Wert, bei dem von links kommend die Hälfte
der Gesamtfläche zwischen dem Graphen von f0 und der x-Achse
aufgelaufen ist, ist etwas kleiner als der Erwartungswert.
Setzen wir im Memo f0 von x gleich ein Halb, so können wir leicht nach
x auflösen und erhalten –log von log2.
Dabei bezeichnet log den natürlichen Logarithmus.
Auf vier Nachkommastellen genau ist das der Median der Standard-Gummel
-Verteilung.
Da eine zufallsvariable x mit einer allgemeinen Gummel-Verteilung als
affine Transformation sigma x0 plus µ aus x0 hervorgeht, ist der
Erwartungswert von x gleich sigma mal dem Erwartungswert von x0 plus µ
und dieses Gleichheitszeichen überträgt sich auch auf die
entsprechenden Mediane.
Außerdem ist die Varianz von x gleich sigma² mal der Varianz von x0.
Kennen wir also Erwartungswert und Varianz der Standard-Gummel
-Verteilung, so kennen wir diese Größen für jede Gummel-Verteilung.
Man mache sich klar, dass nicht nur der Erwartungswert und die Varianz
von x0, sondern für jede natürliche Zahl k, das k-te Moment von x0,
also der Erwartungswert von x hoch k, existieren.
Sehen wir uns als nächstes Erwartungswert und Varianz von x0 an.
Ich nehme dazu die Dichte von x0 als Memo auf die nächste Folie.
Ich formuliere das Ergebnis als Satz.
Ist x0 Standard-Gummel-Verteilt, so ist der Erwartungswert von x0
gleich einer berühmten, meist mit c, oft aber auch mit Gamma
bezeichneten Konstanten.
Dieses c ist definitionsgemäß gleich diesem Grenzwert, der auf fünf
Dezimalen genau durch 0,57721 gegeben ist und damit wie im Plot der
Dichte gesehen etwas größer als ein Halb ist.
Man nennt c zu Ehren von Leonard Euler und Lorenzo Mascheroni die
Euler -Mascheroni-Konstante.
Wer mehr darüber wissen möchte, ich habe dazu ein eigenes Video
gemacht.
Der zweite Teil des Satzes betrifft die Varianz und die ist
interessanterweise gleich Pi Quadrat Sechstel.
Warum ergeben sich diese beiden Werte?
Nun, der Erwartungswert lässt sich bekannterweise als Integral über x
mal f0 von x dx ausrechnen.
Wenn wir f0 von x aus dem Memo einsetzen, ergibt sich dieses nicht
schön aussehende Integral.
Das schreit geradezu danach, die Substitution y gleich e hoch minus x
zu versuchen und damit erhält man dieses etwas einfache aussehende
Integral.
Bevor wir hier weitermachen, sehen wir uns an, auf was die Bestimmung
der Varianz führt.
Wenn wir den Erwartungswert von x0 Quadrat kennen, kennen wir auch die
Varianz, denn wir müssen hiervon nur das Quadrat des Erwartungswertes
subtrahieren.
Der Erwartungswert von x0 Quadrat ist aber das gleiche Integral wie
eine Zeile darüber, nur dass wir anstelle von x jetzt x Quadrat setzen
müssen.
Mit der oberen Substitution ergibt sich dann dieses Integral.
Ich nehme diese beiden Integrale einmal als Memo auf die nächste
Folie.
Weiter kommt man jetzt mithilfe der Gamma-Funktion, über die auch ein
eigenes Video existiert.
Diese Funktion ist für positives x definiert über dieses uneigentliche
Integral, das wir auch in dieser Form schreiben können.
Jetzt benötigen wir Resultate aus der Analysis.
Die Gamma-Funktion ist beliebig oft differenzierbar und Ableitungen
können unter dem Integralzeichen durchgeführt werden.
Somit ist die Ableitung der Gamma-Funktion gleich diesem Integral,
wobei sich der Integrand aus dem Integranden eine Zeile darüber durch
Ableiten mithilfe der Kettenregel nach x ergibt.
In gleicher Weise ergibt sich die zweite Ableitung zu diesem Integral.
Was folgt daraus für die im Memo stehenden Integrale?
Setzen wir in dem zu Gamma Strich gehörenden Integranden x gleich 1,
so ergibt sich der Erwartungswert von x0 zu Minus Gamma Strich an der
Stelle 1 und wir müssen uns noch überlegen, dass das gleich der Euler
-Maskeronischen Konstanten c ist.
Setzen wir im Integranden eine Zeile darüber x gleich 1, so ergibt
sich der Erwartungswert von x0² zur zweiten Ableitung der Gamma
-Funktion an der Stelle 1.
Wir müssen noch zeigen, dass das gleich Pi Quadrat Sechstel plus c
Quadrat ist, denn die Varianz von x0 soll ja gleich Pi Quadrat
Sechstel sein.
Um hier weiterzukommen, hilft eine alternative Darstellung der Gamma
-Funktion, nämlich als Grenzwert dieser Quotienten, die auf Carl
Friedrich Gauss zurückgeht und Gaussche Produktdarstellung genannt
wird.
Jetzt kommt aber noch eine entscheidende Idee.
Wir betrachten nämlich den Logarithmus.
Da der Logarithmus eine stetige Funktion ist, ist der Logarithmus des
Limes gleich dem Limes des Logarithmus und damit der Limes dieser
Summe.
Ich nehme dieses Resultat als Memo auf die nächste Folie.
Wir sehen uns jetzt diesen Quotienten an.
Der ist nach der Kettenregel die Ableitung des Logarithmus der Gamma
-Funktion.
Wir differenzieren in der Darstellung im Memo gliedweise und ich
begründe gleich, warum das erlaubt ist.
Diese Ableitung ist also gleich dem Limes und jetzt kommt gliedweise
Differentiation.
Der Logarithmus von n Fakultät ist eine Konstante, die fällt weg und
von x mal log n erhalten wir den Logarithmus von n und subtrahieren
müssen wir diese Summe.
Gliedweise Differentiation ist erlaubt, weil das, was rechts vom
letzten Limes steht, eine Funktionenfolge in x ist, die auf jedem
kompakten Teilintervall der positiven reellen Zahlen gleichmäßig
konvergiert.
Wenn wir jetzt x gleich 1 setzen, folgt, da Gamma von 1 gleich 1 ist,
dass die Ableitung der Gamma-Funktion an der Stelle 1 gleich diesem
Grenzwert ist.
Man beachtet, dass ich in der Summe schräg darüber x gleich 1 gesetzt
und eine Indexverschiebung vorgenommen habe.
Der letzte Summanden für k gleich n plus 1 spielt für den Grenzwert
keine Rolle und so ergibt sich nach Definition das Negative der Euler
-Mascheroni -Konstante.
Damit ist Teil a des Satzes bewiesen.
Um Teil b zu beweisen, leiten wir diesen Quotienten hier noch einmal
ab.
Nach der Quotientenregel entsteht dieser Bruch.
Der ist aber gleich der zweiten Ableitung des Logarithmus der Gamma
-Funktion.
Dessen erste Ableitung ist der Limes in der Zeile nach dem Memo.
Wir dürfen wieder gliedweise differenzieren.
Der Logarithmus hier fällt weg und die Ableitung von 1 durch x plus j
ist minus 1 durch x plus j in Klammern zum Quadrat.
Somit erhalten wir diesen Grenzwert für die zweite Ableitung.
Setzen wir wieder x gleich 1, so ergibt sich wegen Gamma von 1 gleich
1 Gamma 2 Strich von 1 und wegen Gamma Strich von 1 gleich minus c
wird c Quadrat abgezogen.
Wenn wir hier für x 1 einsetzen und k gleich 1 plus j setzen, steht
rechts diese unendliche Reihe und deren Grenzwert ist Pi Quadrat
Sechstel.
Damit ist auch Teil b bewiesen.
Wir können jetzt eine unmittelbare Folgerung ziehen.
Hat x eine Gumbelverteilung mit Parametern µ und σ, so ist der
Erwartungswert von x gleich σ mal c plus µ und die Varianz von x ist
gleich σ Quadrat mal Pi Quadrat Sechstel.
Wir werden jetzt sehen, dass ein einfacher Zusammenhang zwischen der
Standard -Gumbel- und der Standard-Exponential-Verteilung besteht.
Ich nehme hierzu die Verteilungsfunktion der Standard-Gumbel
-Verteilung auf die nächste Folie.
Der angekündigte Zusammenhang ist wie folgt.
x0 hat eine Standard-Gumbel-Verteilung genau dann, wenn e hoch minus
x0 eine Standard-Exponential-Verteilung, also eine Exponential
-Verteilung mit Erwartungswert 1, besitzt.
Der Beweis ist schnell erbracht.
Um diese Richtung zu zeigen, sei t eine beliebige positive Zahl.
Die Wahrscheinlichkeit, dass e hoch minus x0 höchstens gleich t ist,
ist gleich dieser Wahrscheinlichkeit und damit gleich der
Wahrscheinlichkeit, dass x0 größer gleich minus dem Logarithmus von t
ist.
Statt größer gleich können wir auch größer schreiben und erhalten
durch Komplementbildung 1 minus die Wahrscheinlichkeit, dass x0
kleiner gleich minus Log t ist, also 1 minus f0 an der Stelle minus
Log t.
Setzen wir für x oben im Memo minus Log t ein, so ergibt sich 1 minus
e hoch minus t.
Somit besitzt e hoch minus x0 eine Standard-Exponential-Verteilung.
Für die umgekehrte Richtung sei x eine beliebige reelle Zahl.
Wir müssen zeigen, dass diese Wahrscheinlichkeit gleich f0 von x ist.
Wenn wir beide Seiten der Ungleichung mit minus 1 multiplizieren,
ergibt sich dieses Gleichheitszeichen und jetzt wenden wir die e
-Funktion an und erhalten dieses Gleichheitszeichen.
Weil e hoch minus x0 eine Standard-Exponential-Verteilung besitzt, ist
diese Wahrscheinlichkeit gleich e hoch e hoch minus x, was zu zeigen
war.
Mit diesem Zusammenhang ergibt sich sofort die momentenerzeugende
Funktion von x0.
Ist x0 Standard-Gummel verteilt, so ist die mit m bezeichnete
momentenerzeugende Funktion von x0 an der Stelle t durch diesen
Erwartungswert definiert.
Ich behaupte, dass dieser Erwartungswert für jedes t kleiner als 1
existiert und durch die Gamma-Funktion an der Stelle 1 minus t gegeben
ist.
Zum Beweis schreiben wir den Erwartungswert in dieser Form.
Da e hoch minus x0 Standard-Exponential verteilt ist, ist dieser
Erwartungswert das Integral von 0 bis unendlich über x hoch minus t
mal e hoch minus x dx, also gleich diesem Integral.
Für jedes t, für das 1 minus t größer als 0 ist, also für jedes t
kleiner als 1, ist das die Gamma-Funktion an der Stelle 1 minus t.
Für jede natürliche Zahl k erhält man das Kartemoment von x0, also den
Erwartungswert von x0 hoch k, als Karteableitung der
momentenerzeugenden Funktion an der Stelle 0.
Hieran sieht man insbesondere nur einmal, dass der Erwartungswert von
x0 gleich minus Gamma Strich von 1 und das zweite Moment gleich Gamma
2 Strich von 1 sind.
Man kann Realisierungen einer gumbelverteilten Zufallsvariablen sehr
einfach simulieren.
Da jede Gumbelverteilung durch affine Transformation aus der Standard
-Gumbelverteilung hervorgeht, kommt es hierbei nur auf diese
Verteilung an und deren Verteilungsfunktion zeigt noch einmal das
Memo.
Für Ergebnis u aus dem offenen Einheitsintervall kann man die
Gleichung u gleich f0 von x ganz leicht nach x auflösen, indem man
zweimal hintereinander erst logarithmiert und dann das negative
Vorzeichen bildet.
Die Quantiltransformation, über die ich ein eigenes Video gemacht
habe, liefert dann folgendes Resultat.
Ist u eine Zufallsvariable mit einer Gleichverteilung im
Einheitsintervall, so hat diese Zufallsvariable eine Standard
-Gumbelverteilung.
Zum Schluss des Videos möchte ich noch andeuten, warum die
Gumbelverteilung als Extremwertverteilung bezeichnet wird.
Es sei dazu x1, x2 usw.
eine Folge unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen und
es sei Mn das Maximum von x1 bis xn.
Die Realisierungen von Mn liefern also in Bezug auf große Werte den
extremsten Wert unter den Realisierungen von x1 bis xn.
Ein klassischer, fast 100 Jahre alter Satz von Fischer und Tippett
besagt nun, falls es überhaupt reelle Folgen an und bn mit positiven
bn´s gibt, sodass diese Folge in Verteilung gegen eine nicht
ausgeartete Verteilungsfunktion g konvergiert, so gibt es für g bis
auf eine affine Transformation des Argumentes nur drei mögliche
Verteilungsfunktionen.
Eine davon ist die Verteilungsfunktion der Standard-Gummel-Verteilung.
Ein einfaches Beispiel hierfür ist der Fall, dass die xj
standardexponential verteilt sind.
In diesem Fall konvergiert die Folge Mn minus Logarithmus n gegen die
Standard -Gummel-Verteilung.
Das heißt an ist gleich dem Logarithmus von n und die bn´s sind
sämtlich gleich 1.
Dieses Beispiel wird ausführlich in meinem ersten Video zur
Verteilungskonvergenz behandelt.
Ja, dieses Video ist schon recht lang geworden und wir sind am Ende
angelangt.
Ich bedanke mich herzlich fürs Anschauen und für Hinweise und
konstruktive Kritik bin ich wie immer dankbar.