Herzlich willkommen zu diesem Video über die Quotientenregel für
Dichten.
Mit Dichten meine ich im Folgenden immer Verteilungsdichten bezüglich
des Borrel-Lebesgue-Maßes.
Einige wichtige Verteilungen der Stochastik, wie etwa die studentische
T -Verteilung oder die Fischer'sche F-Verteilung, ergeben sich als
Verteilungen von Quotienten unabhängig an Zufallsvariablen.
Die Quotientenregel, die ich als Satz formuliere, dient dazu, die
Dichten solcher Verteilungen herzuleiten.
Die Voraussetzung des Satzes besagt, dass stochastisch unabhängige
Zufallsvariablen x und y vorliegen, die die Dichten f bzw.
g besitzen.
Behauptet wird, dass dann auch der Quotient x durch y eine Dichte
besitzt, die wie folgt gegeben ist.
Ich nenne die Dichte h und das Argument der Dichte bezeichne ich mit
s.
Es ist h von s gleich dem Integral über f an der Stelle s mal t mal g
von t mal t-Betrag dt.
Und das für jedes reelle s.
Als ich dieses Resultat als Student kennenlernte, hatte ich zunächst
etwas Unbehagen, denn wenn y den Wert 0 annimmt, wird durch 0
dividiert.
Das ist aber völlig problemlos, denn wenn x und y auf irgendeinem
gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsraum definiert sind, setzen wir den
Quotienten x durch y einfach zu 0.
Und zwar für jedes kleine Omega aus dem Grundraum, für das y von Omega
gleich 0 ist.
Da y eine Dichte besitzt, nimmt y den Wert 0 nur mit der
Wahrscheinlichkeit 0 an.
Der Beweis der Quotientenregel folgt recht schnell aus dem
Transformationssatz für Dichten im R2.
Über diesen Satz habe ich ein eigenes Video gemacht, und zwar ganz
allgemein für Dichten im R hoch n.
Definieren wir n als Menge aller Paare st im R2 mit der Eigenschaft t
gleich 0, so besitzt diese Menge das zweidimensionale Bohrerlebwegmaß
0.
Um diese Menge müssen wir uns also im Folgenden nicht kümmern.
Ich definiere jetzt eine Abbildung v vom R2 in den R1, und zwar sei v
von st gleich s durch t, falls t ungleich 0 ist, und 0 sonst.
Um den Transformationssatz für Lebeck-Dichten im R2 gewinnbringend
anwenden zu können, erweitern wir die Abbildung v zu einer Abbildung v
-Schlange mit Werten im R2, indem wir v als erste Komponente von v
-Schlange wählen und die zweite Komponente sei einfach gleich t.
Die Abbildung v-Schlange hat die Eigenschaft, dass sie die mit o
bezeichnete offene Menge aller Paare st mit t ungleich 0 bijektiv auf
sich selbst abbildet.
Man beachte, dass auf der Menge o an dieser Stelle hier s durch t
steht, und aus s durch t sowie t kann ich s als Produkt von s durch t
und t rekonstruieren.
Ich nehme die Definition der Abbildung v-Schlange einmal als Memo auf
die nächste Folie.
Auf der Menge o, und nur auf die kommt es an, besitzt v-Schlange diese
Gestalt.
Man beachte, dass o gerade das Komplement der Nullmenge n ist.
Um den Transformationssatz für Lebesgdichten anwenden zu können,
benötigen wir die Funktionaldeterminante von v-Schlange.
Die so bezeichnete Funktional- oder Jacobi-Matrix von v-Schlange
ergibt sich schnell.
Die erste Komponente, s durch t nach s abgeleitet, ergibt 1 durch t
und die Ableitung nach t liefert –s dividiert durch t².
Die zweite Komponente, t nach s abgeleitet, ergibt 0 und nach t
abgeleitet den Wert 1.
Die Funktional-Determinante ist also gleich 1 durch t und damit auf
der Menge o von 0 verschieden.
Der Transformationssatz für Lebesgdichten besagt nun, dass der
Zufallsvektor v-Schlange von xy und der sieht, wenn y von 0
verschieden ist, was mit Wahrscheinlichkeit 1 passiert, so aus, auf
der Menge o folgende Dichte besitzt.
Ich bezeichne diese Dichte mit ψ, weil ich vorübergehend einen
neutralen Buchstaben benötige.
Es ist ψ von st gleich der mit f-Index xy bezeichneten gemeinsamen
Dichte von x und y Die Funktional-Determinante von v-Schlange an der
Stelle v-Schlange hoch –1 von st dividiert durch den Betrag der
Funktional -Determinante von v-Schlange an der Stelle v-Schlange hoch
–1 von st und das gilt für jedes Paar st aus o.
Auf dem Komplement von o, also auf der Nullmenge n, können wir ψ von
st gleich 0 setzen.
In unserem Fall ist v-Schlange hoch –1 von st gleich st,t und der
Betrag der Funktional-Determinante ist gleich 1 durch t-Betrag.
Da wegen der Unabhängigkeit von x und y die gemeinsame Dichte gleich
dem Produkt der Dichten von x und y ist, ergibt sich ψ von st gleich
der Dichte f von x an der Stelle st mal der Dichte von y an der Stelle
t mal t-Betrag.
Warum wir den Umweg über den R2 gegangen sind, zeigt sich jetzt.
Wir haben die gemeinsame Dichte von x durch y und y.
Wir benötigen aber nur die marginale Dichte von x durch y.
Nichts leichter als das.
Unter dem Stichwort Marginalverteilungsbildung integrieren wir einfach
über die nicht benötigte zweite Komponente aus.
Die mit h bezeichnete gesuchte Dichte von x durch y ergibt sich also
als dieses Integral und damit, wenn wir für ψ das zwei Zeilen darüber
stehende Resultat einsetzen, in dieser Form.
Und das war zu zeigen.
Sehen wir uns abschließend die Quotientenregel in Aktion an, und zwar
anhand des Beispiels der studentischen t-Verteilung oder nur kurz t
-Verteilung.
Über diese Verteilung habe ich ein eigenes Video gemacht.
In diesem Video wird jedoch die Dichte dieser Verteilung nicht
hergeleitet.
Wenn man sich zur t-Verteilung etwas merken möchte, dann die folgende
Erzeugungsweise.
Es seien k eine natürliche Zahl und z eine Zufallsvariable, die eine
Chi -Quadratverteilung mit k Freiheitsgraden besitze.
Auch über diese Verteilung existiert ein eigenes Video.
Um die Quotientenregel anwenden zu können, benötigen wir unabhängige
Zufallsvariablen x und y.
Wir setzen voraus, dass x standardnormal verteilt ist und dass y die
gleiche Verteilung wie die positive Wurzel aus z dividiert durch k
besitzt.
Dann heißt die Verteilung des mit t bezeichneten Quotienten von x und
y t-Verteilung mit k Freiheitsgraden und man schreibt hier für kurz t
tilde t-Index k.
Wir wollen die Dichte von t nach der Quotientenregel herleiten und
benötigen dafür die Dichten von x und y.
Die Dichte der Standardnormalverteilung ist bekannt.
An die Dichte von y gelangen wir schnell über die Dichte von z, die
ich mit f-Index z bezeichne.
Als Argument habe ich den neutralen Buchstaben u gewählt.
Die Dichte der Chi-Quadratverteilung mit k Freiheitsgraden besitzt
diese Gestalt und sie ist gleich 0 für u kleiner gleich 0.
An die Dichte von y gelangen wir recht leicht über die
Verteilungsfunktion von y.
Da y die gleiche Verteilung wie die Wurzel aus z durch k besitzt, ist
für positives t diese Wahrscheinlichkeit gleich der
Wahrscheinlichkeit, dass z höchstens gleich k mal t Quadrat ist.
Durch Ableiten nach der Kettenregel ergibt sich dann die Dichte von y
an der Stelle t als Dichte von z an der Stelle k mal t Quadrat mal die
innere Ableitung, also mal 2k t.
Wenn wir bei der oben stehenden Dichte von z für u k mal t Quadrat
einsetzen, so ergibt sich g von t zu diesem Ausdruck.
Wir benötigen noch die Dichte der Standardnormalverteilten
Zufallsvariablen x und die besitzt diese vertraute Gestalt.
Wir können jetzt direkt losrechnen, denn nach der Quotientenregel
sieht die Dichte von x durch y so aus.
Was ergibt sich konkret?
Wir ziehen zunächst alle Konstanten vor das Integral.
Von der Dichte f ist das 1 durch Wurzel aus 2pi und von der Dichte g
erhalten wir diesen Ausdruck.
Da g von t für t kleiner als 0 verschwindet, läuft das Integral von 0
bis unendlich.
Von der Normalverteilungsdichte bleibt das hier übrig und von g von t
ergibt sich dieser Exponentialanteil.
g von t enthält noch den Faktor t hoch k minus 1 und den können wir
zusammen mit dem t-Betrag im Memo zu t hoch k zusammenziehen, denn t
ist ja positiv.
Ich belasse den Vorfaktor und fasse die beiden Exponentialausdrücke
zusammen.
Was jetzt weiterhilft, ist diese Substitution.
Wenn man ein wenig rechnet und sich an diese Definition der Gamma
-Funktion für positives u erinnert, ergibt sich folgendes Resultat,
das ich als Satz formuliere.
Die Dichte der t-Verteilung mit k Freiheitsgraden besitzt diese
Gestalt.
Diesen Ausdruck muss man sich nicht merken, man sollte aber gesehen
haben, dass es mithilfe der Quotientenregel für Dichten möglich ist,
sich die Dichte der t-Verteilung herzuleiten.
Weitere Informationen über diese Dichte gibt es im Video zur t
-Verteilung.
Damit sind wir am Ende dieses Videos angekommen.
Ich bedanke mich ganz herzlich fürs Anschauen und für Hinweise und
konstruktive Kritik bin ich wie immer dankbar.