WEBVTT 00:00.900 --> 00:05.360 Herzlich willkommen zu diesem Video über die studentische T-Verteilung 00:05.360 --> 00:08.640 oder wie man auch kürzer sagt, die T-Verteilung. 00:09.220 --> 00:13.600 Die T-Verteilung ist nach William Sealy Gossett benannt, der unter dem 00:13.600 --> 00:15.480 Pseudonym Student publiziert. 00:16.220 --> 00:20.180 Gossett hat die T-Verteilung im Jahr 1908 entdeckt. 00:20.640 --> 00:25.200 Sie war aber schon Jahrzehnte vorher Jakob Lüroth bekannt, der unter 00:25.200 --> 00:29.660 anderem mehr als zehn Jahre Professor an der TH Karlsruhe war und 00:29.660 --> 00:32.160 Nachfolger von Felix Klein in München wurde. 00:33.040 --> 00:36.540 Die T-Verteilung ist mit dem aus der Mechanik stammenden Begriff 00:36.540 --> 00:40.960 Freiheitsgrad verknüpft und sie ist, wie wir sehen werden, eine aus 00:40.960 --> 00:43.760 der Normalverteilung abgeleitete Verteilung. 00:44.380 --> 00:48.800 Für die Statistik wichtig ist, dass sie Konfidenzintervalle für den 00:48.800 --> 00:53.280 als unbekannt angenommen Erwartungswert µ einer Normalverteilung 00:53.280 --> 00:56.520 liefert, wenn auch deren Varianz unbekannt ist. 00:56.520 --> 01:00.880 Zudem stellt sie kritische Werte für den sogenannten T-Test für den 01:00.880 --> 01:03.900 Erwartungswert bei unbekannter Varianz bereit. 01:05.040 --> 01:09.740 In diesem Video zeige ich zunächst, welchem Problem sich Gossett, der 01:09.740 --> 01:13.320 als Mathematiker bei der Guinness Brauerei in Dublin arbeitete, 01:13.500 --> 01:14.320 gegenüber sah. 01:15.120 --> 01:18.520 Gossett führte häufig wiederholte Messungen unter gleichen, sich 01:18.520 --> 01:22.980 gegenseitig nicht beeinflussenden Bedingungen durch und er machte die 01:22.980 --> 01:28.040 Annahme, dass die Messwerte Realisierungen stochastisch unabhängiger 01:28.040 --> 01:33.600 und identisch verteilter Zufallsvariablen sind, die ich mit x1 bis xn 01:33.600 --> 01:34.040 bezeichne. 01:35.100 --> 01:38.260 Dabei sei stets n größer gleich 2 vorausgesetzt. 01:38.980 --> 01:44.580 Eine übliche Modellannahme ist hier, dass x1 und damit jedes xj eine 01:44.580 --> 01:49.140 Normalverteilung besitzt, wobei der Erwartungswert µ und die Varianz 01:49.140 --> 01:52.280 σ² dieser Normalverteilung unbekannt sind. 01:52.280 --> 01:57.480 Von Interesse ist der Erwartungswert µ und nicht die Varianz σ². 01:58.340 --> 02:02.960 In diesem Zusammenhang bezeichnet man dann σ² auch gerne als 02:02.960 --> 02:04.060 Störparameter. 02:05.540 --> 02:09.860 Ein natürlicher Schätzer für µ ist das mit xn quer bezeichnete 02:09.860 --> 02:14.420 arithmetische Mittel der xj und dieses arithmetische Mittel ist nach 02:14.420 --> 02:21.360 Sätzen über die Normalverteilung mit Erwartungswert µ und Varianz σ² 02:21.360 --> 02:22.080 durch n. 02:23.000 --> 02:27.380 Subtrahiert man µ von xn quer und teilt dann durch die 02:27.380 --> 02:32.500 Standardabweichung σ dividiert durch Wurzel aus n, so folgt, dass 02:32.500 --> 02:35.860 dieser Quotient eine Standardnormalverteilung besitzt. 02:36.800 --> 02:40.760 Wenn man σ kennen würde, so könnte man aus dieser Verteilungsaussage 02:41.520 --> 02:44.700 sofort einen Konfidenzbereich für µ angeben. 02:44.700 --> 02:50.440 σ ist aber unbekannt und muss ebenfalls aus x1 bis xn geschätzt 02:50.440 --> 02:50.740 werden. 02:51.480 --> 02:56.360 Es ist hier üblich, als Schätzer für σ die mit sn bezeichnete Wurzel 02:56.360 --> 03:01.900 aus der durch n-1 dividierten Summe der Abweichungsquadrate der xj von 03:01.900 --> 03:03.460 xn quer zu verwenden. 03:04.500 --> 03:10.000 Die Frage, die sich Gosset stellte, war, welche Verteilung besitzt der 03:10.000 --> 03:15.700 hier stehende Quotient, wenn wir σ durch sn ersetzen. 03:16.660 --> 03:19.800 Ich nenne den so modifizierten Quotienten tn. 03:20.600 --> 03:24.600 Welche Verteilung besitzt also diese zufallsvariable tn? 03:26.220 --> 03:31.780 Wir überlegen uns zunächst, dass diese Verteilung nur von n abhängt 03:31.780 --> 03:38.420 und ich nehme dazu die Definition von tn sowie von sn als Memo auf die 03:38.420 --> 03:39.380 nächste Folie. 03:42.660 --> 03:46.460 Hier noch einmal das als Satz formulierte Resultat. 03:47.380 --> 03:50.440 Der Beweis ergibt sich schnell durch Standardisierung. 03:51.520 --> 03:57.780 Es sei hierzu für jedes j von 1 bis n yj gleich xj minus µ dividiert 03:57.780 --> 03:58.940 durch σ gesetzt. 04:00.200 --> 04:04.980 Dann sind y1 bis yn unabhängige und identisch verteilte 04:04.980 --> 04:07.520 Zufallsvariablen mit einer Standardnormalverteilung. 04:08.200 --> 04:13.900 Es gilt also xj gleich σ mal yj plus µ. 04:14.960 --> 04:18.960 Und wenn wir hier auf beiden Seiten über j summieren und dann durch n 04:18.960 --> 04:26.480 teilen, ist xn² gleich σ mal den mit yn² bezeichneten arithmetischen 04:26.480 --> 04:28.720 Mittel der yj plus µ. 04:30.020 --> 04:36.500 Bei der Bildung der Differenz von xj und xn² hebt sich das µ weg und 04:36.500 --> 04:38.620 wir erhalten diese Gleichungen. 04:39.960 --> 04:45.580 Damit ergibt sich sn als σ mal die Wurzel der durch n-1 geteilten 04:45.580 --> 04:50.100 Summe der Abweichungsquadrate von yj zu yn quer. 04:51.740 --> 04:56.240 Der Zähler von tn im Memo wird zu diesem Ausdruck. 04:57.440 --> 04:59.340 Und jetzt kommt der Clou. 05:00.200 --> 05:06.940 Wenn wir durch sn dividieren, kürt sich dieses σ hier gegen das σ hier 05:06.940 --> 05:07.400 weg. 05:08.600 --> 05:11.700 Und tn nimmt diese Gestalt an. 05:13.000 --> 05:17.880 Da die yj Standardnormal verteilt sind, ist die Verteilung von tn nur 05:17.880 --> 05:20.560 von n abhängig, was zu zeigen war. 05:21.820 --> 05:25.260 Ich nehme dieses Resultat einmal auf die nächste Folie. 05:28.100 --> 05:33.100 Die Frage ist natürlich, welche Verteilung tn besitzt und wie man 05:33.100 --> 05:34.800 diese Verteilung erhalten kann. 05:35.560 --> 05:39.640 Wie die Verteilung strukturell aussieht, beschreibt der folgende Satz. 05:40.360 --> 05:46.140 Es seien Z0 bis Zn-1 stochastisch unabhängige und je Standardnormal 05:46.140 --> 05:47.780 verteilte Zufallsvariable. 05:47.780 --> 05:54.280 Dann besitzt tn die gleiche Verteilung wie der Quotient aus Z0 und der 05:54.280 --> 06:01.760 Wurzel aus der durch n-1 dividierten Summe von Z1² bis Zn-1². 06:02.540 --> 06:06.820 Bevor wir diesen Satz beweisen, sehen wir uns den Quotienten genauer 06:06.820 --> 06:07.080 an. 06:08.020 --> 06:11.900 Zähler und Nenner sind stochastisch unabhängig, denn im Zähler steht 06:11.900 --> 06:17.220 Z0 und im Nenner treten nur Z1 bis Zn-1 auf. 06:17.220 --> 06:21.920 Die Summe der Quadrate im Nenner besitzt nach Definition eine Chi 06:21.920 --> 06:25.220 -Quadratverteilung mit n-1 Freiheitsgrad. 06:26.420 --> 06:28.540 Nun zum Beweis des Satzes. 06:29.620 --> 06:34.900 Es sei hierzu H eine beliebige orthogonale n-reihige Matrix mit der 06:34.900 --> 06:39.720 Eigenschaft, dass die Einträge in der letzten Zeile identisch gleich 1 06:39.720 --> 06:41.220 durch Wurzel aus n sind. 06:41.220 --> 06:47.180 Die letzte Zeile stellt also einen Einheitsvektor im r hoch n dar und 06:47.180 --> 06:50.260 auf die übrigen Zeilen kommt es, wie wir gleich sehen werden, 06:50.400 --> 06:51.600 überhaupt nicht an. 06:52.080 --> 06:55.780 Entscheidend ist nur, dass die Matrix H orthogonal ist. 06:57.060 --> 07:01.320 Wir definieren jetzt einen n-dimensionalen Zufallsvektor, den wir als 07:01.320 --> 07:02.600 Spaltenvektor schreiben. 07:03.200 --> 07:08.740 Dabei treten von oben nach unten gelesen zunächst Z1 bis Zn-1 und dann 07:08.740 --> 07:09.760 Z0 auf. 07:09.760 --> 07:15.840 Dieser Zufallsvektor ist definiert als H mal dem Vektor, der aus Y1 07:15.840 --> 07:17.100 bis Yn besteht. 07:18.140 --> 07:21.680 Jetzt muss man ein wenig über die multivariate Normalverteilung 07:21.680 --> 07:24.540 wissen, über die ich ein eigenes Video gemacht habe. 07:25.320 --> 07:30.300 Der Zufallsvektor mit den Komponenten Y1 bis Yn ist n-dimensional 07:30.300 --> 07:31.440 normal verteilt. 07:31.440 --> 07:35.840 Dabei ist der Erwartungswertvektor gleich dem Nullvektor und die 07:35.840 --> 07:39.580 Kovarianzmatrix ist gleich der n-reihigen Einheitsmatrix. 07:40.380 --> 07:43.700 Dann ist aber auch der links vom Definitionszeichen stehende 07:43.700 --> 07:46.600 Zufallsvektor n-dimensional normal verteilt. 07:47.320 --> 07:49.780 Und der Erwartungswertvektor ist der Nullvektor. 07:51.160 --> 07:56.080 Die Kovarianzmatrix dieses Zufallsvektors hier ist nach allgemeinen 07:56.080 --> 08:02.480 Rechenregeln gleich H mal der Kovarianzmatrix von Y1 bis Yn mal H 08:02.480 --> 08:03.420 transponiert. 08:04.000 --> 08:09.000 Wegen der Orthogonalität von H ist H transponiert gleich der Inversen 08:09.000 --> 08:14.740 von H und da die Kovarianzmatrix der Yj gleich der Einheitsmatrix ist, 08:15.120 --> 08:19.480 ist die Kovarianzmatrix der Zj ebenfalls gleich der Einheitsmatrix. 08:20.420 --> 08:26.640 Damit sind Z0, Z1 und so weiter bis Zn-1 stochastisch unabhängig und 08:26.640 --> 08:28.320 je Standard normal verteilt. 08:29.220 --> 08:34.580 Nach Definition der letzten Zeile der Matrix H ist Z0 gleich der 08:34.580 --> 08:37.260 Wurzel aus N mal Yn quer. 08:38.680 --> 08:43.020 Sehen wir uns jetzt die im Nenner im Memo auftretende Summe der 08:43.020 --> 08:46.880 Abweichungsquadrate der Yj von Yn quer an. 08:46.880 --> 08:52.460 Nach der binomischen Formel ist das gleich der Summe der Yj Quadrat 08:52.460 --> 09:00.180 minus 2 mal Yn quer mal die Summe der Yj, also minus 2 mal N mal Y 09:00.180 --> 09:07.400 quer Quadrat plus N mal Yn quer Quadrat, also minus N mal Yn quer 09:07.400 --> 09:07.980 Quadrat. 09:07.980 --> 09:14.720 Da die Matrix H orthogonal ist, ist die Summe der Yj Quadrat gleich 09:14.720 --> 09:19.240 der Summe der Zj Quadrat und aufgrund der ersten Gleichung in dieser 09:19.240 --> 09:23.980 Zeile ist N mal Yn quer Quadrat gleich Z0 Quadrat. 09:25.180 --> 09:30.200 Wir erhalten also dieses Gleichheitszeichen, womit der Satz bewiesen 09:30.200 --> 09:30.560 ist. 09:32.180 --> 09:37.700 Wenn man sich von der vorigen Folie daran erinnert, dass Xn quer eine 09:37.700 --> 09:44.180 Funktion von Yn quer und damit von Z0 ist und dass Sn nur von dieser 09:44.180 --> 09:51.840 Quadratsumme hier und damit von Z1 bis Zn minus 1 abhängt, folgt, dass 09:51.840 --> 09:55.200 Xn quer und Sn stochastisch unabhängig sind. 09:55.200 --> 10:00.040 Diese Unabhängigkeit ist übrigens charakteristisch dafür, dass eine 10:00.040 --> 10:04.020 Normalverteilung zugrunde liegt, aber darauf kann ich in diesem Video 10:04.020 --> 10:05.060 nicht eingehen. 10:06.060 --> 10:10.300 Ich nehme einmal die erhaltenen Ergebnisse als Memo auf die nächste 10:10.300 --> 10:11.220 Folie. 10:11.680 --> 10:15.580 Das ist die Zufallsvariable, deren Verteilung William Seely-Gossett 10:15.580 --> 10:19.860 interessiert hat und wir haben gesehen, dass diese Verteilung gleich 10:19.860 --> 10:24.300 der Verteilung dieses Quotienten ist, wobei die Zj stochastisch 10:24.300 --> 10:27.320 unabhängig und jeweils standardnormal verteilt sind. 10:28.320 --> 10:32.520 Diese Darstellung führt uns allgemein zur T-Verteilung mit k 10:32.520 --> 10:33.580 Freiheitsgraden. 10:34.240 --> 10:38.260 Es seien k eine natürliche Zahl und Z0, Z1 usw. 10:38.440 --> 10:43.160 Zk unabhängige und je standardnormal verteilte Zufallsvariablen. 10:43.160 --> 10:48.100 Dann heißt die Verteilung des so definierten Quotienten, und diese 10:48.100 --> 10:54.440 Definition erhält einen Stern, studentische T-Verteilung oder kurz T 10:54.440 --> 11:00.300 -Verteilung mit k Freiheitsgraden und wir schreiben kurz T-Tilde-Tk, 11:00.820 --> 11:04.880 wenn eine Zufallsvariable T diese Verteilung besitzt. 11:05.800 --> 11:10.540 Wenn man sich überhaupt etwas über die T-Verteilung merken möchte, 11:10.920 --> 11:16.000 dann diese Erzeugungsweise der T-Verteilung aus der Normalverteilung. 11:16.520 --> 11:20.860 Ich sagte ja schon zu Beginn des Videos, dass die T-Verteilung aus der 11:20.860 --> 11:22.880 Normalverteilung abgeleitet ist. 11:23.660 --> 11:25.300 Folgendes sollte man beachten. 11:25.900 --> 11:29.700 Zähler und Nenner in Sternen sind stochastisch unabhängig und die 11:29.700 --> 11:33.420 Quadratsumme im Nenner hat eine Chi-Quadrat-Verteilung mit k 11:33.420 --> 11:33.880 Freiheitsgraden. 11:35.400 --> 11:39.440 Der nächste Punkt ist der, dass wir jetzt der Verteilung von Tn im 11:39.440 --> 11:41.420 Memo einen Namen gegeben haben. 11:41.920 --> 11:45.880 Tn hat eine T-Verteilung mit n-1 Freiheitsgraden. 11:46.940 --> 11:50.620 Wir werden gleich mehr über die T-Verteilung erfahren. 11:51.580 --> 11:56.040 Die Verteilung dieses arithmetischen Mittels der zj² nennt man oft 11:56.040 --> 12:00.360 eine reduzierte Chi-Quadrat-Verteilung mit k Freiheitsgraden. 12:01.240 --> 12:04.280 Sieht man sich die Bildung in Sternen noch einmal an, so kann man 12:04.280 --> 12:08.660 jetzt sagen, die T-Verteilung mit k Freiheitsgraden ist die Verteilung 12:08.660 --> 12:13.400 eines Quotienten stochastisch unabhängiger Zufallsvariablen, wobei der 12:13.400 --> 12:17.700 Zähler eine Standard-Normalverteilung hat und der Nenner verteilt ist 12:17.700 --> 12:22.260 wie die Wurzel aus einer Zufallsvariablen mit einer reduzierten Chi 12:22.260 --> 12:23.380 -Quadrat -Verteilung. 12:24.240 --> 12:28.780 Wir können aus Sternen auch ablesen, was beim Grenzübergang k gegen 12:28.780 --> 12:29.760 unendlich passiert. 12:30.540 --> 12:35.340 Da der Erwartungswert der zj² gleich 1 ist, konvergieren nach dem 12:35.340 --> 12:39.820 Gesetz großer Zahlen das arithmetische Mittel im Nenner und damit auch 12:39.820 --> 12:44.140 die Wurzel stochastisch und sogar mit Wahrscheinlichkeit 1 gegen 1. 12:44.920 --> 12:48.660 Und damit konvergiert der Quotient in Verteilung gegen eine Standard 12:48.660 --> 12:49.740 -Normalverteilung. 12:49.740 --> 12:54.560 Die t-Verteilung nähert sich also bei wachsendem Freiheitsgrad immer 12:54.560 --> 12:56.840 mehr einer Standard-Normalverteilung an. 12:58.040 --> 13:01.460 Man kann sich jetzt fragen, alles gut und schön, aber welche Dichte 13:01.460 --> 13:04.700 besitzt denn die t-Verteilung mit k Freiheitsgraden? 13:05.160 --> 13:09.620 Diese Dichte ergibt sich direkt aus der Quotientenregel für Dichten, 13:09.760 --> 13:13.740 über die ich ein eigenes Video gemacht habe und in diesem Video wird 13:13.740 --> 13:17.200 als Beispiel die Dichte der t-Verteilung hergeleitet. 13:17.200 --> 13:20.460 Hier gebe ich die Dichte nur als Satz an. 13:21.400 --> 13:25.240 Eine Zufallsvariable mit einer t-Verteilung mit k Freiheitsgraden 13:25.240 --> 13:28.300 besitzt folgende Dichte, die ich mit fk bezeichne. 13:29.440 --> 13:34.320 Es ist fk von x für jedes Relle x gleich diesem Ausdruck, in dem die 13:34.320 --> 13:35.440 Gamma -Funktion auftritt. 13:36.660 --> 13:41.200 Diese Dichte muss man sich nicht merken, wir wollen uns aber trotzdem 13:41.200 --> 13:43.320 einige Aspekte genauer ansehen. 13:43.800 --> 13:47.420 Der Graph der Dichte ist symmetrisch zu Null und wir wollen uns diesen 13:47.420 --> 13:50.940 Graphen für einige ausgesuchte Werte von k ansehen. 13:51.500 --> 13:55.120 Im Fall k gleich 1 sieht der Graph von fk so aus. 13:55.120 --> 14:01.320 Wenn wir oben in die Definition von fk k gleich 1 setzen und beachten, 14:01.980 --> 14:06.140 dass Gamma von 1 halb gleich der Wurzel aus Pi und Gamma von 1 gleich 14:06.140 --> 14:10.780 1 ist, so folgt, dass f1 von x so aussieht. 14:12.240 --> 14:15.120 Das ist die Dichte der Standard-Cauchy-Verteilung. 14:16.000 --> 14:19.700 Wer hier mehr wissen will, auch über die Cauchy-Verteilung existiert 14:19.700 --> 14:20.840 ein eigenes Video. 14:21.520 --> 14:27.480 Aus der Formel für fk von x ist ersichtlich, dass die Werte von fk von 14:27.480 --> 14:33.000 x für x gegen ±unendlich um so schneller abfallen, je größer k ist. 14:33.600 --> 14:38.960 Und das zeigt sich anhand der Plots für k gleich 3 und k gleich 11. 14:41.120 --> 14:45.000 Wir haben schon gesehen, dass die t-Verteilung mit k-Freiheitsgraden 14:45.000 --> 14:48.640 beim Grenzübergang k gegen unendlich gegen die Standard 14:48.640 --> 14:52.740 -Normalverteilung konvergiert und das zeigt sich auch für die Dichten, 14:53.260 --> 14:57.320 denn für jedes Reelle x gilt diese Konvergenzbeziehung. 14:58.320 --> 15:05.680 Dieser Ausdruck hier konvergiert nämlich gegen ±x²½ und mithilfe der 15:05.680 --> 15:09.400 Wallis -Produktdarstellung für die Kreiszahl pi, über die ich ein 15:09.400 --> 15:15.320 eigenes Video gemacht habe, folgt, dass dieser Vorfaktor hier gegen 1 15:15.320 --> 15:17.540 durch Wurzel aus 2pi konvergiert. 15:19.300 --> 15:23.060 Das hier ist ein Plot der Dichte der Standard-Normalverteilung. 15:23.640 --> 15:27.580 Wer möchte, kann hier noch ein wenig Kurrendiskussion betreiben, so 15:27.580 --> 15:32.820 liegen etwa die Wendepunkte der Funktion fk bei ±k dividiert durch 15:32.820 --> 15:33.700 k±2. 15:35.280 --> 15:39.120 Ich möchte abschließend noch etwas zu den Momenten der t-Verteilung 15:39.120 --> 15:39.480 sagen. 15:40.240 --> 15:44.560 Dazu nehme ich die Dichte der t-Verteilung mit k-Freiheitsgraden auf 15:44.560 --> 15:45.620 die nächste Folie. 15:46.720 --> 15:52.060 Ist n eine natürliche Zahl, so existiert das endte absolute Moment 15:52.060 --> 15:57.860 einer Zufallsvariante t mit der Dichte fk definitionsgemäß genau dann, 15:58.320 --> 16:05.520 wenn das Integral von x³n·fkx über die gesamte reelle Achse endlich 16:05.520 --> 16:05.860 ist. 16:05.860 --> 16:11.540 Aufgrund der Gestalt von fk ist das genau dann der Fall, wenn k 16:11.540 --> 16:14.180 mindestens gleich n±1 ist. 16:14.760 --> 16:18.660 Um Momente auszurechnen, sollte man sich daran erinnern, dass t die 16:18.660 --> 16:24.820 gleiche Verteilung besitzt wie das Produkt x·1·y, wobei x und y 16:24.820 --> 16:26.260 stochastisch unabhängig sind. 16:26.260 --> 16:31.880 Dabei besitzt x eine Standardnormalverteilung und y hat die gleiche 16:31.880 --> 16:37.320 Verteilung wie die Wurzel aus z·k, wobei z eine Chi-Quadratverteilung 16:37.320 --> 16:39.120 mit k-Freiheitsgraden besitzt. 16:39.120 --> 16:44.720 Da die Dichte fk symmetrisch zu Null ist, sind die Ungradmomente, 16:44.980 --> 16:51.080 sofern sie existieren, gleich Null und die Existenz des 2l±1 Moments 16:51.080 --> 16:54.120 ist gleichbedeutend mit dieser Ungleichung. 16:54.800 --> 16:59.120 Insbesondere existiert der Erwartungswert der t-Verteilung erst ab dem 16:59.120 --> 17:00.220 Freiheitsgrad 2. 17:01.980 --> 17:07.220 Ist l eine natürliche Zahl, die diese Ungleichung erfüllt, so können 17:07.220 --> 17:13.740 wir den Erwartungswert von t hoch 2l leicht ausrechnen, wenn wir diese 17:13.740 --> 17:18.360 Verteilungsgleichheit hier ausnutzen und die Multiplikationsregel für 17:18.360 --> 17:19.760 Erwartungswerte verwenden. 17:20.540 --> 17:24.100 Danach ist dieser Erwartungswert gleich diesem Produkt von 17:24.100 --> 17:25.220 Erwartungswerten. 17:26.200 --> 17:28.480 Den ersten Faktor lasse ich stehen. 17:29.540 --> 17:34.540 Und jetzt nutze ich diese Verteilungsgleichheit hier aus. 17:35.840 --> 17:41.080 Das liefert mir das Produkt aus k hoch l und diesem Erwartungswert. 17:41.720 --> 17:46.320 Der Erwartungswert von x hoch 2l ist das Produkt der ungeraten 17:46.320 --> 17:49.880 natürlichen Zahlen von 1 bis 2l-1. 17:49.880 --> 17:54.180 Hierzu habe ich ein eigenes Video gemacht, das in der Beschreibung zu 17:54.180 --> 17:56.160 diesem Video aufgeführt ist. 17:57.420 --> 18:02.120 Den Faktor k hoch l lassen wir und der verbleibende Erwartungswert ist 18:02.120 --> 18:05.800 der Erwartungswert einer Funktion einer chi-Quadrat verteilten 18:05.800 --> 18:08.540 Zufallsvariablen mit k Freiheitsgraden. 18:09.120 --> 18:13.100 Von der Dichte dieser chi-Quadrat-Verteilung ziehe ich den konstanten 18:13.100 --> 18:19.960 Faktor nach vorne und übrig bleibt das Integral über t hoch minus l 18:19.960 --> 18:26.500 und von der Dichte von z kommt noch t hoch k halbe minus 1 mal e hoch 18:26.500 --> 18:27.500 minus t halbe. 18:28.400 --> 18:32.860 Das letzte Integral führt nach Substitution auf die Gamma-Funktion. 18:32.860 --> 18:37.580 Nutzt man dann die Funktionalgleichung der Gamma-Funktion, nach der 18:37.580 --> 18:43.380 für jedes positive x Gamma von x plus 1 gleich x mal Gamma von x ist, 18:43.700 --> 18:47.120 so ergibt sich nach direkter Rechnung dieses Resultat. 18:49.660 --> 18:53.140 Speziell erhält man für l gleich 1 die Varianz von t. 18:53.140 --> 18:58.240 Da t den Erwartungswert 0 besitzt, ist diese Varianz gleich dem 18:58.240 --> 19:03.340 zweiten Moment und damit nach der Gleichung darüber gleich k dividiert 19:03.340 --> 19:04.780 durch k minus 2. 19:05.480 --> 19:09.320 Man beachte, dass die Varianz von t nur für k größer gleich 3 19:09.320 --> 19:10.040 existiert. 19:12.380 --> 19:16.360 Ja, damit sind wir am Ende dieses doch recht langen Videos angekommen. 19:16.360 --> 19:19.320 Ich bedanke mich ganz herzlich fürs Anschauen. 19:19.840 --> 19:23.580 Wem das Video gefallen hat, der kann es ja gerne weiterempfehlen.