Die Formel vom totalen Erwartungswert

Autor

Norbert Henze

Beteiligtes Institut

Institut für Stochastik (STOCH)
Fakultät für Mathematik (MATH)

Genre

Lehrmaterialien

Beschreibung

Sind $A_1,A_2, \ldots $ endlich oder unendlich viele paarweise disjunkte Ereignisse in einem Wahrscheinlichkeitsraum, die alle eine positive Wahrscheinlichkeit besitzen, so ergibt sich die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses $B$, indem man die Produkte $\mathbb{P}(A_j) \mathbb{P}(B|A_j)$ über alle j summiert. Diese Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit ist ein Spezialfall der Formel vom totalen Erwartungswert, nach der der als existent vorausgesetzte Erwartungswert $\mathbb{E}(X)$ einer Zufallsgröße $X$ durch Summation der Produkte $\mathbb{P}(A_j) \mathbb{E}(X|A_j)$ erhalten werden kann. Dabei ist $\mathbb{E}(X|A_j)$ der bedingte Erwartungswert von $X$ unter der Bedingung $A_j$. Setzt man speziell $X = {\bf 1}\{B\}$, wobei ${\bf 1}\{\cdot \}$ die Indikatorfunktion bezeichnet, so ergibt sich aus der Formel vom totalen Erwartungswert die Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit. Gilt $A_j=\{Z=z_j\}$ , wobei $Z$ ein $k$-dimensionaler Zufallsvektor ist, so bedeutet die Formel vom totalen Erwartungswert nichts anderes als iterierte Erwartungswertbildung, d.h., es gilt $\mathbb{E}(X) = \mathbb{E}(\mathbb{E}(X|Z))$. In diesem Video wird die Formel vom totalen Erwartungswert in einem elementaren Rahmen (diskrete Wahrscheinlichkeitsräume) hergeleitet und anhand zweier Beispiele illustriert. Das Video setzt Vertrautheit mit elementaren bedingten Erwartungswerten voraus.

Schlagwörter

Stochastik, bedingter Erwartungswert, bedingte Wahrscheinlichkeit, Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit, Formel vom totalen Erwartungswert, iterierte Erwartungswertbildung

Laufzeit (hh:mm:ss)

00:15:43

Publiziert am

12.05.2021

Fachgebiet

Mathematik

Lizenz

Creative Commons Namensnennung – Nicht kommerziell – Keine Bearbeitungen 4.0 International