Das schwache Gesetz großer Zahlen

Author

Norbert Henze

Participating institute

Institut für Stochastik (STOCH)
Fakultät für Mathematik (MATH)

Genre

Lehrmaterialien

Description

Es sei $X_1,X_2,\ldots$ eine Folge von Zufallsvariablen auf einem gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsraum. Gesetze großer Zahlen machen Aussagen über die stochastische bzw. die fast sichere Konvergenz der Folge der arithmetischen Mittel von $X_1,\ldots ,X_n$ beim Grenzübergang $n \to \infty$. In diesem Video wird zunächst gezeigt, dass unter schwachen Voraussetzungen, die ohne die stochastische Unabhängigkeit und die gleiche Verteilung der Zufallsvariablen auskommen, obiges arithmetische Mittel gegen den Erwartungswert von $X_1$ konvergiert, wenn alle Zufallsvariablen den gleichen, als existent vorausgesetzten Erwartungswert besitzen. Als Spezialfall ergibt sich mit dem schwachen Gesetz großer Zahlen von Jacob Bernoulli das Hauptresultat der 1713 veröffentlichten Ars Conjectandi, der "Kunst des Vermutens". Im zweiten, technisch anspruchsvolleren Teil des Videos werden für den Fall, dass $X_1,X_2,\ldots $ stochastisch unabhängig und identisch verteilt sind, notwendige und hinreichende Bedingungen für die stochastische Konvergenz des arithmetischen Mittels gegen eine Konstante angegeben und bewiesen, dass diese Bedingungen hinreichend sind. Diese Bedingungen sind schwächer als die Existenz des Erwartungswertes von $X_1$, die ja nach dem starken Gesetz großer Zahlen von Kolmogorov die fast sichere Konvergenz der Folge der arithmetischen Mittel nach sich zöge.

Keywords

Stochastik, schwaches Gesetz großer Zahlen

Duration (hh:mm:ss)

00:19:01

Published on

13.09.2021

Subject area

Mathematics

License

Creative Commons Attribution – NonCommercial 4.0 International