Die multivariate Normalverteilung

Author

Norbert Henze

Participating institute

Institut für Stochastik (STOCH)

Genre

Lehrmaterialien

Description

Für jedes $d$ größer oder gleich $2$ entsteht die (nichtausgeartete) $d$-dimensionale Normalverteilung als Verteilung einer affinen Transformation $A Y + b$ eines Zufallsvektors $Y$ mit stochastisch unabhängigen und je standardnormalverteilten Komponenten. Dabei sind $A$ eine $d$-reihige invertierbare Matrix und $b$ ein Vektor im $\mathbb{R}^d$. In diesem Video wird die nichtausgeartete $d$-dimensionale Normalverteilung eines Zufallsvektors $X$ auf diese (konstruktive) Weise definiert. Die Dichte von $X$ ergibt sich mithilfe des Transformationssatzes für Lebesgue-Dichten, Für das Video sollte man die eindimensionale Normalverteilung kennen, und man sollte mit den Begriffen Erwartungswertvektor und Kovarianzmatrix vertraut sein. Eventuell ist es auch hilfreich, sich erst mit dem Spezialfall $d=2$ vertraut zu machen, zu dem ein separates Video existiert. Im Video wird die Existenz von $d$-dimensionalen Normalverteilungen gezeigt und verdeutlicht, dass die Menge aller nichtausgearteten $d$-dimensionalen Normalverteilungen gegenüber affinen Transformationen abgeschlossen ist. Des Weiteren wird nachgewiesen, dass die (eindimensionalen) Marginalverteilungen eines normalverteilten Zufallsvektors Normalverteilungen sind, und dass im Falle einer $d$-dimensionalen Normalverteilung Unabhängigkeit und Unkorreliertheit äquivalent sind. Ein weiterer Punkt ist die Haupkomponentendarstellung eines multivariat normalverteilten Zufallsvektors. Zu guter Letzt wird eine Definition der multivariaten Normalverteilung angegeben, die den Fall ausgesarteter Normalverteilungen mit einschließt.

Keywords

Stochastik, multivariate Normalverteilung, affine Transformation

Duration (hh:mm:ss)

00:20:06

Published on

02.10.2023

Subject area

Mathematics

License

Creative Commons Attribution – NonCommercial – ShareAlike 4.0 International