Fast sichere Konvergenz: Reihenkriterium

Autor

Norbert Henze

Beteiligtes Institut

Institut für Stochastik (STOCH)

Genre

Lehrmaterialien

Beschreibung

Fast sichere Konvergenz einer Folge $(X_n)$ von Zufallsvariablen gegen eine Zufallsvariable $X$ bedeutet punktweise Konvergenz von $X_n$ gegen $X$ auf einer Teilmenge des gemeinsamen Definitionsbereiches, die die Wahrscheinlichkeit eins besitzt. Dieser Konvergenzbegriff ist im Allgemeinen stärker als der der stochastischen Konvergenz. Konvergiert für jede positive Zahl $a$ die aus den Wahrscheinlichkeiten, dass sich $X_n$ von $X$ betragsmäßig um mehr als $a$ unterscheidet, gebildete Reihe, so konvergiert $X_n$ fast sicher gegen $X$. Im Video wird dieses Reihenkriterium bewiesen. Als Anwendung wird gezeigt, dass im Fall unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen das starke Gesetz großer Zahlen gilt, wenn das vierte Moment dieser Zufallsvariablen existiert. Im Video wird eine Charakterisierung der fast sicheren Konvergenz verwendet, die in diesem Video vorgestellt wird:
Entscheidendes Hilfsmittel im Beweis ist das Lemma von Borel--Cantelli.

Schlagwörter

Stochastik, fast sichere Konvergenz, Reihenkriterium

Laufzeit (hh:mm:ss)

00:07:43

Publiziert am

07.01.2026

Fachgebiet

Mathematik

Lizenz

Creative Commons Namensnennung – Nicht kommerziell – Weitergabe unter gleichen Bedingungen 4.0 International

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